第03讲 利用二阶导函数解决9类函数问题（高阶拓展、竞赛适用）（学生版）-2025版高中数学一轮复习考点帮

Page第03讲利用二阶导函数解决函数问题（高阶拓展、竞赛适用）（9类核心考点精讲精练）命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度较大，分值为13-17分【备考策略】1会导数的基本运算2能理解导函数与原函数关系3能进行函数转化求原函数导函数的导函数，并得到原函数导函数关系，进而求解原函数单调性及其他综合问题【命题预测】在历年全国高考数学试题中，函数与导数部分是高考重点考查的内容，利用导数求解函数的单调性、极值和最值等问题是高考考查导数问题的主要内容和形式，并多以压轴题的形式出现.常常考查运算求解能力、概括抽象能力、推理论证能力和函数与方程、化归与转化思想、分类与整合思想、特殊与一般思想的渗透和综合运用，难度较大.知识讲解一般导数题目中求出导函数即可判断原函数的单调性，而在有些函数问题中，如含有指数式、对数式的函数问题，求导之后往往不易或不能直接判断出原函数的单调性，从而不能进一步判断函数的单调性及极值、最值情况，此时解题受阻。需要利用“二次求导才能找到导数的正负，找到原函数的单调性，才能解决问题，若遇这类问题，必须“再构造，再求导”。本文会说明函数的二阶导数在解高考函数题中的应用。二阶导的定义定义1:若函数的导函数在点处可导,则称在点的导数为在点的二阶导数,记作,同时称在点为二阶可导.定义2:若在区间上每一点都二阶可导,则得到一个定义在上的二阶可导函数,记作函数极值的第二判定定理若在附近有连续的导函数,且（1）若,则在点处取极大值;（2）若,则在点处取极小值曲线的凹凸性

设函数y=fx在区间a,b设函数在内具有二阶导数,如果在内,那么对应的曲线在内是凹的,如果在内,那么对应的曲线在内是凸的设在区间上连续,如果对上任意两点,恒有则称在上的图形是凹的,简称为凹弧;如果恒有则称在上的图形是凸的,或简称为凸弧。曲线的拐点曲线上凸部和凹部的分界点叫做拐点。因此拐点一定是使的点,但是使的点不一定都是拐点。解决这类题的常规解题步骤为:求函数的定义域;求函数的导数,无法判断导函数正负;构造求,求;列出的变化关系表;根据列表解答问题。考点一、二阶导与函数单调性1．（23-24高三上·辽宁大连·阶段练习）已知函数，讨论函数的单调性.2．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数，(1)若，求的单调区间；(2)若是的极小值点，求实数a的取值范围．1．（23-24高三上·重庆·阶段练习）已知函数满足．(1)讨论的单调性；(2)当时，，求的取值范围．2．（23-24高三上·广东湛江·阶段练习）（1）证明：函数在上单调递减.（2）已知函数，若是的极小值点，求实数的取值范围.3．（23-24高三上·四川成都·阶段练习）已知函数，其中.(1)当时，求证：在上单调递减；(2)若有两个不相等的实数根，，求实数a的取值范围.考点二、二阶导与函数极值、最值1．（2023·黑龙江·模拟预测）已知函数．(1)当时，求函数的极值；(2)证明：．2．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知函数，.（注：是自然对数的底数）(1)若无极值点，求实数的取值范围；(2)当时，恒成立，求实数的取值范围.1．（2024·广西贵港·模拟预测）已知函数．(1)当时，请判断的极值点的个数并说明理由；(2)若恒成立，求实数a的取值范围．2．（2024·全国·模拟预测）已知函数，.(1)当时，求在区间内极值点的个数；(2)若恒成立，求的值；(3)求证：，，.考点三、二阶导与不等式证明1．（2024高三下·全国·专题练习）已知函数．(1)证明：；(2)若，且，证明：．2．（23-24高三下·内蒙古锡林郭勒盟·开学考试）已知函数，且恒成立．(1)求实数a取值的集合；(2)证明：．1．（2024·广东佛山·一模）已知，其中.(1)求的单调区间；(2)若，证明：当时，.2．（2023·吉林长春·模拟预测）函数．(1)求证：；(2)若方程恰有两个根，求证：．考点四、二阶导与恒成立问题1．（23-24高三上·河南周口·阶段练习）已知函数，．(1)若，求函数的图象在点处的切线方程；(2)若在上恒成立，求实数的最大值．2．（23-24高二上·山西吕梁·期末）已知函数.(1)讨论函数的单调区间；(2)当时，恒成立，求实数的取值范围.1．（2023高三·全国·专题练习）已知函数．(1)若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围．(2)当时，恒成立，求实数a的取值范围．2．（23-24高三上·江苏·阶段练习）已知函数.(1)当时，求的图象在点处的切线方程；(2)对任意，不等式恒成立，求的取值范围.考点五、二阶导与函数零点或方程的根1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，为的导函数.求证:有且仅有两个不同的零点.2．（23-24高二下·山东淄博·阶段练习）已知函数，．(1)讨论的单调性；(2)若，试判断函数与的图象的交点个数，并说明理由．3．（2022·全国·模拟预测）已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若，求函数的零点个数.1．（23-24高三上·河北廊坊·期中）已知函数．(1)当时，证明：只有一个零点．(2)若，求的取值范围．2．（2024·湖北·模拟预测）已知函数，，其中a为整数且.记为的极值点，若存在两个不同的零点，，(1)求a的最小值；(2)求证：；3．（23-24高三上·全国·开学考试）已知函数．(1)求曲线在处的切线；(2)若对任意，当时，证明函数存在两个零点．考点六、二阶导与参数综合问题1．（23-24高三上·重庆·阶段练习）已知函数满足．(1)讨论的单调性；(2)当时，，求的取值范围．2．（2023春·浙江·高三校联考期中）已知函数，的导函数为．(1)若存在极值点，求的取值范围；(2)设的最小值为，的最小值为，证明：．1．（2023·全国·高三专题练习）已知为自然对数的底数，为常数，函数.(1)求函数的极值；(2)若在轴的右侧函数的图象总在函数的图象上方，求实数的取值范围.2．（2023春·山东菏泽·高三统考期中）已知函数.(1)当时，求函数的极值；(2)若有三个零点，其中.(i)求实数的取值范围；(ii)求证：.考点七、二阶导与选填小题综合1．（2024·山西·二模）设，，则下列关系正确的是（

）A． B． C． D．2．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）（多选）已知函数，下列说法正确的有（

）A．当时，则在上单调递增B．当时，函数有唯一极值点C．若函数只有两个不等于1的零点，则必有D．若函数有三个零点，则3．（2024·全国·一模）已知函数，点在曲线上，则的取值范围是．1．（2023·湖北武汉·模拟预测）设，则下列关系正确的是（

）A． B． C． D．2．（23-24高二上·福建莆田·期末）（多选）已知函数，导函数的极值点是函数的零点，则（

）A．有且只有一个极值点B．有且只有一个零点C．若，则D．过坐标原点仅有一条直线与曲线相切3．（23-24高三上·山东烟台·期末）若存在两个不相等正实数，使得，则实数的取值范围为.考点八、二阶导与拐点、对称中心结合1．（2023·四川成都·模拟预测）对于三次函数（），给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，则（

）A．2014 B．2013 C． D．10072．（2022·陕西咸阳·模拟预测）给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”，经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图像的对称中心，若函数，则.1．（21-22高二下·河北沧州·阶段练习）对于三次函数，现给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，则（

）A．0 B．1 C． D．2．（20-21高二下·江苏苏州·阶段练习）设函数是的导数，经过探究发现，任意一个三次函数的图象都有对称中心，其中满足，已知函数，则（

）A．2021 B． C．2022 D．考点九、二阶导与函数凹凸性结合1．（23-24高二上·江苏镇江·阶段练习）丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方向留下了很多宝贵的成果．设函数在上的导函数为在上的导函数记为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”，已知在上为“凸函数”，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（21-22高二下·陕西渭南·期末）给出定义:若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数.记，若在上恒成立，则称在上为凸函数.以下四个函数在上是凸函数的有（

）①，②，③，④.A．4个 B．3个 C．2个 D．1个1．（21-22高三下·河南·阶段练习）设函数f（x）在区间I上有定义，若对和，都有，那么称f（x）为I上的凹函数，若不等号严格成立，即“<”号成立，则称f（x）在I上为严格的凹函数.对于上述不等式的证明，19世纪丹麦数学家琴生给出了如下的判断方法：设定义在（a，b）上的函数f（x），其一阶导数为，其二阶导数为（即对函数再求导，记为），若，那么函数f（x）是严格的凹函数（，均可导）.试根据以上信息解决如下问题：函数在定义域内为严格的凹函数，则实数m的取值范围为.2．（22-23高二上·重庆沙坪坝·期末）定义：设函数在上的导函数为，若在上也存在导函数，则称函数在上存在二阶导函数，简记为．若在区间上，则称函数在区间上为“凹函数”．已知在区间上为“凹函数”，则实数的取值范围为．3．（22-23高二下·黑龙江鹤岗·阶段练习）丹麦数学家琴生是世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.定义：函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数是上的“严格凸函数”，称区间为函数的“严格凸区间”.则下列正确命题的序号为.①函数在上为“严格凸函数”；②函数的“严格凸区间”为；③函数在为“严格凸函数”，则的取值范围为.一、单选题1．（22-23高三上·江苏南通·阶段练习）已知函数存在极大值点和极小值点，则实数的值可以是（

）A． B． C． D．2．（22-23高三上·江苏常州·期中）设，，，则（

）A． B．C． D．二、填空题3．（2021高二·江苏·专题练习）若函数在单调递增，则实数m的取值范围为.4．（22-23高二下·重庆南岸·期中）设函数，若为上的单调函数，则实数的取值范围为.5．（23-24高二下·河南南阳·阶段练习）对，不等式恒成立，则实数a的取值范围为.6．（23-24高三上·安徽合肥·阶段练习）已知关于x的不等式在上恒成立，则实数t的取值范围是．7．（2023·广东广州·模拟预测）已知函数恰有两个零点，则.8．（2024·全国·模拟预测）当时，不等式恒成立，则实数的最小整数为．9．（2023·全国·模拟预测）已知函数，在处取到极小值，则实数．10．（2024高三下·全国·专题练习）已知函数，时，，则实数的范围是.三、解答题11．（2024·陕西西安·二模）已知函数．(1)当时，，，求的取值范围；(2)证明：当时，在上单调递增．1