第二章：函数与基本初等函数（模块综合调研卷）（A4版-教师版）-2025版高中数学一轮复习考点帮

Page第二章：函数与基本初等函数（模块综合调研卷）（19题新高考新结构）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项:1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．函数的零点所在区间是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由零点存在性定理可得答案.【详解】因为函数的定义域为，又，易知函数在上单调递增，又，所以在内存在一个零点，使.故选：C.2．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用指数函数、对数函数的性质，借助媒介数比较大小.【详解】依题意，，而且，所以.故选：D3．已知函数，则下列说法不正确的是（

）A．函数单调递增 B．函数值域为C．函数的图象关于对称 D．函数的图象关于对称【答案】C【分析】分离常数，再根据复合函数单调性的判断方法，即可判断A；根据函数形式的变形，根据指数函数的值域，求解函数的值域，即可判断B；根据对称性的定义，与的关系，即可判断CD.【详解】，函数，，则，又内层函数在上单调递增，外层函数在上单调递增，所以根据复合函数单调性的法则可知，函数单调递增，故A正确；因为，所以，则，所以函数的值域为，故B正确；，，所以函数关于点对称，故C错误，D正确.故选：C.4．函数的部分图象大致为（

）.A． B．C． D．【答案】A【分析】由的定义域排除B；由是奇函数排除C；由排除D，从而得出答案.【详解】由，得，则的定义域是，排除B；由，得，所以函数是奇函数，排除C；，排除D.故选：A．5．若函数在上单调，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由题意，根据二次函数的图象与性质建立不等式组，解之即可求解.【详解】令，则或或或解得或，即实数m得取值范围为.故选：C．6．已知函数是上的单调函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，结合分段函数的单调性的判定方法，结合对数函数的性质，列出关于的不等式，即可求解.【详解】根据题意，当时，，可得在上递增，要使得函数是上的单调函数，则满足，且，解可得，所以实数的取值范围为.故选：B.7．已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】构造函数，由的单调性和最值可证明，再构造，由的单调性和最值可证明，即可得出答案.【详解】令，则.当时，，单调递减，当时，，单调递增，则，故.令，则.当时，，单调递减，则，即.故.故选：A.【点睛】关键点睛：本题的关键点在于构造函数，通过求出函数的单调性和最值来比较大小.构造函数，和即可得出答案.8．已知函数的定义域均为，是奇函数，且，则（

）A．为奇函数 B．为奇函数 C． D．【答案】D【分析】A选项，根据已知条件推出是周期为4的周期函数，故也是周期为4的周期函数，，故A错误；C选项，推出，，，从而求出；B选项，由得，故B错误；D选项，计算出，，故，结合函数的周期得到答案.【详解】A选项，因为，所以，又，则有，因为是奇函数，所以，可得，即有与，即，所以是周期为4的周期函数，故也是周期为4的周期函数.因为且.所以，所以为偶函数.故A错误，C选项，由是奇函数，则，因为，所以，又，是周期为4的周期函数，故，所以，所以C错误；B选项，由得，故不是奇函数，所以B错误；D选项，因为，所以，.所以，所以，所以D选项正确故选：D【点睛】设函数，，，．（1）若，则函数的周期为2a；（2）若，则函数的周期为2a；（3）若，则函数的周期为2a；（4）若，则函数的周期为2a；（5）若，则函数的周期为；（6）若函数的图象关于直线与对称，则函数的周期为；（7）若函数的图象既关于点对称，又关于点对称，则函数的周期为；（8）若函数的图象既关于直线对称，又关于点对称，则函数的周期为；（9）若函数是偶函数，且其图象关于直线对称，则的周期为2a；（10）若函数是奇函数，且其图象关于直线对称，则的周期为4a．二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）9．已知，则下列关系正确的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】利用对数的运算法则化简，结合作差法和基本不等式比较大小，依次判断各选项.【详解】因为，所以，对A选项，，所以，故A正确；对B选项，，所以，故B选项不正确；对C选项，因为，，所以，而，故上述不等式等号不成立，则，故C不正确；对D选项，,故D正确.故选：AD10．已知函数，的定义域均为，且满足，，，则（

）A． B．的图象关于点对称C． D．【答案】AC【分析】由得出的图象关于点对称，由和得出可判断A；由和可判断B；根据的定义域均为和图象关于点对称可判断C；记，，，结合选项A知数列和数列均为等差数列，利用等差数列的求和公式可判断D.【详解】，的图象关于点对称，即，对于A，，①，，②，②-①得，故A正确；对于B，，③，④，③-④得，的图象关于点对称，故B错误；对于C，的定义域为且图象关于点对称，，故C正确；对于D，的定义域为且图象关于点对称，，由②知，当时，，，当时，，，，，，记，，，由选项A知，数列是以为首项，以为公差的等差数列，数列是以为首项，以为公差的等差数列，，，，故D错误.故选：AC.11．著名的德国数学家狄利克雷在19世纪提出了这样一个“奇怪的”函数：定义在上的函数.后来数学家研究发现该函数在其定义域上处处不连续、处处不可导．根据该函数，以下是真命题的有（

）A．B．的图象关于轴对称C．的图象关于轴对称D．存在一个正三角形，其顶点均在的图象上【答案】BCD【分析】特殊值代入验证A，D；利用偶函数定义判断B，C.【详解】对于A，当，时，，，，故A错误；对于B，因为的定义域为，关于原点对称，若是无理数，则是无理数，所以，；若是有理数，则是有理数，所以，；所以，故是偶函数，图象关于轴对称，B正确；对于C，由B可知，，所以，故是偶函数，图象关于轴对称，C正确；对于D，设，，，则，所以是等边三角形，又因为，，，所以的顶点均在的图象上，D正确.故选：BCD三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．若是偶函数，则实数．【答案】【分析】因为是偶函数，所以，据此即可求解,注意检验.【详解】因为是偶函数，定义域为，所以，所以，所以，所以，此时，满足题意.故答案为：.13．已知函数在区间上单调递减，则a的取值范围为．【答案】【分析】将可看作由复合而成，根据复合函数的单调性，列出不等式，即可求得答案.【详解】设，则可看作由复合而成，由于在上单调递增，故要使得函数在区间上单调递减，需满足在区间上恒成立，且在区间上单调递减，故，解得，故a的取值范围为，故答案为：14．已知幂函数，若，则a的取值范围是.【答案】【分析】根据题意得到幂函数的定义域和单调性，得到不等式的等价不等式组，即可求解.【详解】由幂函数，可得函数的定义域为，且是递减函数，因为，可得，解得，即实数的取值范围为.故答案为：四、解答题（本题共5小题，共77分，其中15题13分，16题15分，17题15分，18题17分，19题17分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．环保部门为了研究某池塘里某种植物生长面积S(单位：)与时间t(单位：月)之间的关系，通过观察建立了函数模型，且.已知第一个月该植物的生长面积为，第三个月该植物的生长面积为.(1)求证：若，则；(2)若该植物的生长面积达到100以上，则至少要经过多少个月？【答案】(1)证明见解析(2)8个月【分析】（1）先根据条件求出参数，利用指数的运算可得答案；（2）根据题意可得，求解指数不等式即可.【详解】（1）证明：∵，∴.∴.由，得，∴.（2）令，又，，∴，即至少需要经过8个月．16．已知指数函数的图象过点．(1)求的解析式；(2)若函数，且在区间上有两个零点，求m的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）设（，且），根据函数过点，代入求出参数的值，即可得解；（2）首先求出的解析式，令，，令，，则问题转化为在上有两个零点，根据二次函数根的分布得到不等式组，解得即可.【详解】（1）由题意，设（，且），∵的图象过点，∴，解得，故函数的解析式．（2）∵，∴，令，因为，所以，∴，，函数在上有两个零点，等价于在上有两个零点，则，即，解得，故实数的取值范围为．17．已知函数.(1)求函数的定义域.(2)判断函数的奇偶性，并说明理由.(3)对，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)函数为非奇非偶函数，理由见解析；(3)【分析】（1）根据函数的解析式有意义，得出不等式组，即可求解；（2）根据函数的定义域的不关于原点对称，即可得到结论；（3）根据题意，转化为，根据函数的单调性，求得，得到，法一：转化为，令，求得，即可求解；法二：分，和，结合二次函数的性质，列出不等式，即可求解.【详解】（1）解：由函数有意义，则满足，解得，所以函数的定义域为.（2）解：因为的定义域为，不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数.（3）解：由“对，不等式恒成立”，可得，当时，由在上单调递减，，根据题意得，对法一：可转化为，令，由在上单调递减得，可得，实数的取值范围为.法二：设函数，①当，即时，在上单调递减，可得，解得，则；②当，即时，在上单调递增，可得，解得，则；③当，即时，在先减后增，可得，解得，所以，综上，实数的取值范围为.18．已知函数对于任意实数恒有，且当时，，又．(1)判断的奇偶性并证明；(2)求在区间的最小值；(3)解关于的不等式：．【答案】(1)为奇函数，证明见解析(2)(3)答案见解析【分析】(1)令,得，再令，结合奇偶性定义可证；(2)先证明单调性，利用单调性求解即可；(3)先化为，再利用单调性转化为，最后根据含参二次不等式的分类讨论求解即可.【详解】（1）为奇函数，理由如下：函数的定义域为，关于原点对称，令得，解得，令得所以对任意恒成立，所以为奇函数，（2）任取，且，则.因为当时，，所以.，即，所以在上单调递增，所以在区间的最小值为，因为，令得，令，得，在区间的最小值为，（3）由，得，由得，由在上单调递增得整理得，即，当时，，解得；当时，，当时，，，解集为，当时，，当时，，解集为，当时，，解集为，当时，，解集为，综上所述：当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为．【点睛】关键点睛：这道题的关键之处为第（3）问，需要对含参的二次函数进行分类讨论，难点在于分类讨论时标准的确定，主要是按照是否有根，根的大小进行分类求解的．19．已知函数，若对于其定义域中任意给定的实数，都有，就称函数满足性质．(1)已知，判断是否满足性质，并说明理由；(2)若满足性质，且定义域为．已知时，，求函数的解析式并指出方程是否有正整数解？请说明理由；若在上单调递增，判定并证明在上的单调性．【答案】(1)不满足，理由见解析(2)，没有正整数解，理由见解析；在上单调递增，证明见解析【分析】（1）直接根据性质列式计算验证即可；（2）通过