711角的推广课件高一下学期数学人教B版

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数学

必修第三册第七章三角函数7.1.1角的推广课标定位素养阐释1.了解角的概念的推广,能正确区分正角、负角和零角.2.理解象限角的概念.3.掌握终边相同的角的表示方法,并能判断角的终边所在的位置.4.体会数学抽象的过程,培养直观想象、数学运算的素养.自主预习新知导学一、角的概念的推广1.我们用扳手拧螺丝,扳手手柄从起始位置开始运动一段时,是否形成一个角?提示:是.2.用扳手拧螺丝时,扳手手柄转过的角度可以比360°大吗?扳手手柄有几个运动方向?提示:可以;两个,顺时针和逆时针.3.(1)角的形成:一条射线绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形称为角.这两条射线分别称为角的始边和终边.(2)角的分类:按旋转方向可将角分为如下三类:①正角:按照逆时针方向旋转而成的角;②负角:按照顺时针方向旋转而成的角;③零角:当射线没有旋转时,我们也把它看成一个角,称为零角.这样定义的角,由于是旋转生成的,所以也常称为转角.4.钟表的时针从12点开始,转到6点位置时,形成的角是-180°;转到9点位置时,形成的角是-270°;时针第二次到达3点位置时,形成的角是-450°.二、象限角1.若将角的顶点放在坐标原点,始边落在x轴的正半轴上,则120°,-90°,-135°角的终边落在什么位置?提示:它们的终边分别落在第二象限、y轴的负半轴上、第三象限.2.为了方便起见,通常将角放在平面直角坐标系中来讨论,并约定:角的顶点与坐标原点重合,角的始边落在x轴的正半轴上,这时,角的终边在第几象限,就把这个角称为第几象限角,如果终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何象限.3.(1)钝角是第二象限角;(2)-423°角是第四象限角;(3)-360°角不是象限角.三、终边相同的角1.60°,-300°,420°,-1020°这四个角的终边有什么关系?提示:相同.2.与60°角的终边相同的角有什么特点?提示:若α与60°角的终边相同,则α=60°+k·360°,k∈Z.3.所有与α终边相同的角组成一个集合,这个集合可记为S={β|β=α+k·360°,k∈Z}.4.(1)与0°角终边相同的角的集合为{α|α=k·360°,k∈Z};(2)与-17°角终边相同的角的集合为{α|α=-17°+k·360°,k∈Z}.【思考辨析】

判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.(1)终边相同的角不一定相等,但相等的角终边一定相同.(

)(2)终边相同的角有无数个,它们相差360°的整数倍.(

)(3)终边相同的角的表示不唯一.(

)(4)-70°角是第四象限角.(

)(5)第三象限的角必大于第二象限的角.(

)√√√√×合作探究释疑解惑探究一任意角的概念【例1】

(1)(多选题)下列说法不正确的是(

)A.锐角都是第一象限角B.第一象限角一定不是负角C.第二象限角是钝角D.小于180°的角是钝角、直角或锐角(2)经过2个小时,钟表上的时针和分针转过的角度分别是

.

解析:(1)锐角是大于0°且小于90°的角,终边落在第一象限,故是第一象限角,所以A正确;-330°角是第一象限角,但它是负角,所以B不正确;480°角是第二象限角,但它不是钝角,所以C不正确;0°角小于180°角,但它既不是钝角,也不是直角或锐角,故D不正确.(2)钟表的时针和分针都是顺时针旋转,因此转过的角度都是负的.×360°=60°,2×360°=720°,所以经过2个小时钟表的时针和分针转过的角度分别为-60°,-720°.答案:(1)BCD

(2)-60°,-720°解题的关键是理解象限角、锐角、钝角、小于180°的角等概念.判断时也可以采用排除法,当判断一个说法错误时,只需举一反例.【变式训练1】

下列说法正确的是(

)A.三角形的内角一定是第一、第二象限角B.钝角不一定是第二象限角C.终边与始边重合的角是零角D.钟表的时针旋转而成的角是负角解析:90°角不是象限角,故A不正确;钝角必是第二象限角,故B不正确;360°角的终边与始边也重合,故C不正确;由于钟表的时针是按顺时针旋转的,故形成的角必为负角.答案:D探究二终边相同的角【例2】

已知α=-1910°.试把角α写成β+k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式,并指出它是第几象限角.解:∵-1

910°=250°-6×360°,∴α=250°-6×360°.∵250°角是第三象限角,∴角α是第三象限角.已知α=-1910°.(1)求与角α终边相同的最小正角和最大负角;(2)求角θ,使角θ与角α的终边相同,且-720°≤θ<0°.解:与α终边相同的角的集合为{γ|γ=-1

910°+k·360°,k∈Z}.(1)与α终边相同的最小正角是250°,最大负角是-110°.(2)由例2知,α与250°角终边相同,令θ=250°+k×360°(k∈Z),因为-720°≤θ<0°,所以取k=-1,-2,即250°-360°=-110°,250°-720°=-470°.故θ=-110°或θ=-470°.1.将任意角化为α+k·360°(k∈Z,0°≤α<360°)的形式,关键是确定k,可以用观察法(当α的绝对值不大时),也可以用除法.2.要求适合某种条件且与已知角终边相同的角时,可先写出与已知角终边相同的角的一般形式,再依条件构建不等式求出k的值.【变式训练2】

在0°到360°范围内,找出与下列各角终边相同的角,并判定它们是第几象限角.(1)-150°;

(2)650°;

(3)-950°15'.解:(1)因为-150°=210°-360°,所以在0°到360°范围内,与-150°角终边相同的角是210°角,它是第三象限角.(2)因为650°=290°+360°,所以在0°到360°范围内,与650°角终边相同的角是290°角,它是第四象限角.(3)因为-950°15'=129°45'-3×360°,所以在0°到360°范围内,与-950°15'角终边相同的角是129°45'角,它是第二象限角.探究三象限角或区域角的表示【例3】

如图,角β的终边在阴影部分内,试指出角β的取值集合.分析:找出0°~360°内阴影部分的角的集合

适合题意的角的集合解:由题图可知,终边落在x轴上方阴影部分的角的集合为:A={β|60°+k·360°≤β<105°+k·360°,k∈Z}.终边落在x轴下方阴影部分的角的集合为B={β|240°+k·360°≤β<285°+k·360°,k∈Z}.所以终边落在阴影部分内角β的取值集合是A∪B,即{β|60°+k·360°≤β<105°+k·360°,k∈Z}∪{β|240°+k·360°≤β<285°+k·360°,k∈Z},其中集合B可以化为{β|180°+60°+k·360°≤β<180°+105°+k·360°,k∈Z},即{β|60°+(2m+1)·180°≤β<105°+(2m+1)·180°,m∈Z}.集合A可以化为{β|60°+2m·180°≤β<105°+2m·180°,m∈Z}.故A∪B可化为{β|60°+n·180°≤β<105°+n·180°,n∈Z}.表示区域角的三个步骤:第一步,先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界.第二步,按由小到大分别标出起始和终止边界对应的-360°~360°范围内的角α和β,写出集合{x|α<x<β},其中β-α<360°.第三步,区域起始、终止边界对应角α,β再加上k·360°(k∈Z),即得区域角集合.对于对顶区域,始边、终边再加上k·180°(k∈Z)即得区域角集合.【变式训练3】

写出图中阴影部分(不含边界)表示的角的集合.解:在-180°~180°内终边落在阴影部分角的集合为{α|-45°<α<45°},所以终边落在阴影部分(不含边界)的角的集合为{α|-45°+k·360°<α<45°+k·360°,k∈Z}.思想方法用分类讨论法确定角所在的象限【典例】

已知α为第二象限角,试判断

是第几象限角.分析:由角α的范围,确定角

的范围,最后确定

是第几象限角.已知角α所在的象限,确定

所在象限时,运用分类讨论的思想方法,求解时要对k的取值分k被n整除,k被n整除余1,k被n整除余2,……k被n整除余(n-1)进行讨论,最后就讨论的情况作总结.【变式训练】

已知α是第二象限角,则

是第几象限角?随堂练习1.与405°角终边相同的角是(

)A.-45°+k·360°,k∈ZB.-45°+k·180°,k∈ZC.45°+k·360°,k∈ZD.45°+k·180°,k∈Z解析:首先找出0°~360°范围内与405°角终边相同的角,405°=45°+360°,即为45°,则与405°角终边相同的角为45°+k·360°,k∈Z.答案:C2.若α为第一象限角,则角2α的终边落在(

)A.第二象限B.第一象限C.第一象限或第二象限D.第一象限或第二象限或y轴的正半轴上解析:由题意可得k·360°<α<90°+k·360°(k∈Z),所以k·720°<2α<180°+k·720°(k∈Z),所以2α角的终边落在第一象限或第二象限或y轴的正半轴上.答案:D3.(多选题)与120°角终边相同的角是(

)A.-600°+k·360°,k∈ZB.480°+k·360°,k∈ZC.120°+(2k+1)·180°,k∈ZD.660°+k·360°,k∈Z答案:AB4.如图,终边落在直线y=±x上的角α的集合是

.

解析:因为终边落在直线y=x上的角α可表示为:α=45°+n·180°=45°+2n·90°(n∈Z),终边落在直线y=-x上的角α可表示为α=135°+n·180°=45°+(2n+1)·90°(n∈Z),所以终边落在直线