《空间图形的体积》名师课件

柱体、锥体、台体的表面积各面面积之和展开图复习引入苏教版同步教材名师课件空间图形的体积学习目标学习目标核心素养知道柱、锥、台、球的表面积和体积的计算公式数学运算能用公式解决简单的实际问题数学建模学习目标学习目标1.通过对柱、锥、台、球的研究,掌握柱、锥、台、球的表面积和体积公式.2.能运用柱、锥、台、球的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题.学科核心素养在空间图形体积公式和球的表面积公式的学习与推导过程中充分感受数学的转化思想、类比思想、极限思想,提高学生分析问题与解决问题的能力.思考1:你还记得正方体、长方体和圆柱的体积公式吗？它们可以统一为一个什么公式？思考2:推广到一般的棱柱和圆柱,你猜想柱体的体积公式是什么？

探究新知

思考3:关于体积有如下几个原理:

(1)相同的几何体的体积相等;

(2)一个几何体的体积等于它的各部分体积之和;(3)等底面积等高的两个同类几何体的体积相等;(4)体积相等的两个几何体叫做等积体.

探究新知将一个三棱柱按如图所示分解成三个三棱锥,那么这三个三棱锥的体积有什么关系？它们与三棱柱的体积有什么关系？

123123探究新知思考4:推广到一般的棱锥和圆锥,你猜想锥体的体积公式是什么？

探究新知

思考5:根据棱台和圆台的定义,如何计算台体的体积？

探究新知

探究新知

我们知道柱体的体积公式是

探究新知

圆柱的体积公式就是

锥体的体积公式是

探究新知

圆锥的体积公式就是

台体的体积公式是

探究新知

圆台的体积公式就是

圆柱、圆锥、圆台三者的体积公式之间有什么关系？探究新知

上底扩大

上底缩小探究新知球的体积和面积

探究新知球的体积和面积

探究新知球的体积和面积设想一个球由许多顶点在球心,底面都在球面上的“准锥体”组成,这些“准锥体”的底面并不是真正的多边形,但只要这些“准锥体”的底面足够地小,就可以把它们近似地看成棱锥.探究新知球的体积和面积

所以

探究新知球的体积和面积

典例讲解

解析

典例讲解

解析(3)补体法:将几何体补成易求解的几何体,如棱锥补成棱柱,三棱柱补成四棱柱等．求几何体体积的常用方法(1)公式法:直接代入公式求解．(2)等积法:例如四面体的任何一个面都可以作为底面,只需选用底面积和高都易求的形式即可．(4)分割法:将几何体分割成易求解的几部分,分别求体积．方法归纳典例讲解解析

思路分析

等体积转化法主要用于解决三棱锥的体积问题,运用时注意以下两点:(1)三棱锥的“等积性”,即计算三棱锥的体积时可以用任意一个面作为三棱锥的底面.(2)求三棱锥的体积时,可选择容易计算高(或底面三角形的面积)的方式来计算.方法归纳典例讲解例3、如图,一圆柱被一平面所截,已知被截后几何体的最长母线长为4,最短母线长为1,且圆柱底面半径为2,求该几何体的体积.解析分割法如图,该几何体的体积等于下面的圆柱的体积与上面的圆柱体积的一半之和下面的圆柱的高就是该几何体的最短母线长1,而上面的圆柱的高为3.

典例讲解例3、如图,一圆柱被一平面所截,已知被截后几何体的最长母线长为4,最短母线长为1,且圆柱底面半径为2,求该几何体的体积.解析补形法

如图,将一个与已知的几何体完全相同的几何体与已知的几何体拼在一起组成一个高为5的圆柱,那么所求几何体的体积就是这个大圆柱体积的一半.(3)补体法:将几何体补成易求解的几何体,如棱锥补成棱柱,三棱柱补成四棱柱等.求几何体体积的常用方法(1)公式法:直接代入公式求解.(2)等积法:例如四面体的任何一个面都可以作为底面,只需选用底面积和高都易求的形式即可.(4)分割法:将几何体分割成易求解的几部分,分别求体积.方法归纳补形常见情况如下:a.将正四面体补为正方体,如图.b.将相对棱长相等的三棱锥补成长方体,如图.

方法归纳d.将三棱锥补成三棱柱或平行六面体,如图.e.将三棱柱补成平行六面体,如图.f.将台体补成锥体,如图.

解析

变式训练典例讲解例3、圆锥的高和底面半径相等,它的一个内接圆柱的高和圆柱底面半径也相等,求圆柱的表面积和圆锥的表面积之比及体积之比.

解析

方法归纳典例讲解解析

典例讲解

解析当两个截面在球心同侧时,如图所示:

典例讲解当两个截面在球心异侧时,如图所示

解析1.球的轴截面是一个圆面,它的半径与球的半径相等.2.未明确球心与两平行截面间的位置关系时,需分两截面在球心同侧、异侧进行讨论.3.与球有关的问题常常借助于球的轴截面性质列方程(组)求球的半径.轴截面为空间问题转化到平面几何问题创造了条件.方法归纳解析

D变式训练

解析

变式训练

变式训练

解析2.在几何体的体积计算中,注意体会“分割思想”“补体思想”及“等价转化思想”.1.计算柱体、锥体和台体的体积,关键是根据条件找出相应的底面面积和高,要充分运用多面体的有关截面及旋转体