期末综合检测

期末综合检测一、单选题(每题3分，共30分)1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝eq\f(1,3)，BC＝2，则AB＝()A.eq\f(2,3) B．4 C．4eq\r(2) D．62．如图，把太阳与地平线分别抽象成圆和直线，则该图所呈现的直线与圆之间的位置关系是()A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定3．下列关于圆的说法中，正确的是()A．等圆中，相等的弦所对的弧也相等B．过圆心且平分弦的直线一定垂直于这条弦C．经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线D．三角形的内心一定在三角形内部，且到三条边的距离相等4．如图，点Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，3))，点Oeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0))，点Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，0))在⊙A上，BD是⊙A的一条弦，则cos∠OBD的值是()A.eq\f(4,5) B.eq\f(3,5) C.eq\f(3,4) D.eq\f(1,2)5．如图，在四边形ABCD中，AB＝CB，AD＝CD.若∠ABD＝∠ACD＝30°，AD＝1，则△ABC的切圆面积是()A.eq\f(1,2)π B.eq\f(1,8)π C.eq\f(1,4)π D.eq\f(1,16)π6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝eq\f(1,2)，则∠A等于()A．30° B．45° C．60° D．70°7．如图，⊙O内切于△ABC，切点分别为D，E，F.∠B＝50°，∠C＝60°，连结OE，OF，DE，DF，则∠EDF等于()A．40° B．55° C．65° D．70°8．如图，△ABC内接于⊙O，过A点作直线DE，当直线DE与⊙O相切时，∠BAE＝()A．∠B B．∠BAC C．∠C D．∠DAC9．如图，正方形ABCD的边长为4cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，再过点A作半圆的切线，与半圆相切于F点，与DC相交于E点，则△ADE的面积是()A．12cm2 B．4cm2 C．8cm2 D．6cm210．在△ABC中，∠A，∠C是锐角，若AB＝4，且tanC＝2tanA，则△ABC面积的最大值是()A．4 B．6 C．4eq\r(2) D．8二、填空题(每题4分，共24分)11．如图，在每个小正方形边长为1的3×2的网格中，点A，B，C都在这些小正方形的顶点上，则tan∠ACB的值是________．12．如图，为了测量河宽CD，先在A点测得对岸C点在其北偏东30°方向，然后沿河岸直行100m到点B，在B点测得对岸C点在其北偏西45°方向，则河宽CD是________m(结果保留根号)．13．如图，AB为⊙O的直径，AB＝20，点C为⊙O上一点，连结AC，BC，CD平分∠ACB交⊙O于点D，若tanA＝2，则CD的长为________．14．用一张圆心角为216°，半径为15cm的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆半径为________cm.15．如图，正六边形ABCDEF的边长为4，分别以点A，D为圆心，以AB，CD为半径作扇形BAF，扇形CDE，则图中阴影部分的面积为________．16．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点M的横坐标为3，以M点为圆心，5为半径作⊙M，与y轴交于点A和点B，与x轴正半轴交于点C.P是eq\o(AC,\s\up8(︵))上的一个动点，Q是弦AB上的一个动点，连结PQ并延长交⊙M于点E，运动过程中，始终保持∠AQP＝∠APB，当AP＋QB的值最大时，PE长为________．三、解答题(共66分)17．(6分)计算：(－1)2021＋－2cos45°＋(π－3.14)0.18．(6分)如图，一艘船以40km/h的速度向正东航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上．继续航行1h到达B处，这时测得灯塔C在北偏东30°方向上，已知在灯塔C的四周30km内有暗礁，问这艘船继续向东航行是否安全？19．(6分)如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB＝5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC＝2m.(1)请你画出此时DE在阳光下的投影；(2)在测量AB的投影长时，同时测量出DE在阳光下的投影长为4m，请你计算DE的长．20．(8分)如图，画出该几何体的主视图、左视图、俯视图．21．(8分)如图，在⊙O中，AB为直径，过圆上一点C作切线CD交AB的延长线于点D.(1)求证：∠BAC＝∠BCD；(2)若∠BAC＝30°，AB＝4，求图中阴影部分的面积．22．(10分)图1是某浴室花洒实景图，图2是该花洒的侧面示意图．已知活动调节点B可以上下调整高度，离地面CD的距离BC＝160cm.设花洒臂与墙面的夹角为α，可以扭动花洒臂调整角度，且花洒臂长AB＝30cm.假设水柱AE垂直AB直线喷射，小华在离墙面120cm处淋浴．(1)当α＝30°时，水柱正好落在小华的头顶上，求小华的身高DE.(2)如果小华要洗脚，需要调整水柱AE，使点E与点D重合，调整的方式有两种：①其他条件不变，只要把活动调节点B向下移动即可，移动的距离BF与小华的身高DE有什么数量关系？直接写出你的结论．②活动调节点B不动，只要调整α的大小，如图3，试求α的度数．(结果保留一位小数，参考数据：eq\r(3)≈1.73，sin8.6°≈0.15，sin36.9°≈0.60，tan36.9°≈0.75)23．(10分)阅读材料：关于三角函数有如下的公式：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ，tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ).如tan75°＝tan(30°＋45°)＝eq\f(tan45°＋tan30°,1－tan45°·tan30°)＝eq\f(1＋\f(\r(3),3),1－1×\f(\r(3),3))＝eq\f(3＋eq\r(3),3－eq\r(3))＝2＋eq\r(3).问题解决：根据阅读材料，请选择适当的公式解答下列问题．(1)求sin75°.(2)如图，边长为2的正三角形ABC沿直线滚动．设当△ABC滚动240°时，C点的位置在点C′，当△ABC滚动480°时，A点的位置在点A′.①求tan∠CAC′的值；②试确定∠CAC′＋∠CAA′的度数．24．(12分)定义：若抛物线与x轴有两个交点，其顶点与这两个交点构成的三角形是等腰直角三角形，则这种抛物线就称为“美丽抛物线”．(1)已知一条抛物线是“美丽抛物线”，且与x轴的两个交点为(1，0)，(5，0)，则此抛物线的顶点坐标为________；(2)若抛物线y＝x2－bx(b＞0)是“美丽抛物线”，求b的值；(3)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c是“美丽抛物线”，此抛物线的顶点为点B(1，2)，与x轴交于A，C两点，AB与y轴交于点D，连结OB，在抛物线上找一点Q，使得∠QCA＝∠ABO，求Q点的横坐标．

期末综合检测答案一、1．D2．C3．D4．A5．C6．C7．B8．C9．D10．B二、11．212．(150－50eq\r(3))13．6eq\r(10)14．915．24eq\r(3)－eq\f(32,3)π16．eq\f(8\r(21),5)三、17．解：原式＝－1＋2－eq\r(2)－2×eq\f(\r(2),2)＋1＝2－2eq\r(2).18．解：过点C作CD⊥AB于点D.如图所示．根据题意可知∠BAC＝90°－60°＝30°，∠DBC＝90°－30°＝60°.∵∠DBC＝∠ACB＋∠BAC，∴∠ACB＝∠DBC－∠BAC＝60°－30°＝30°＝∠BAC.∴BC＝AB＝40×1＝40(km)．在Rt△BCD中，∠CDB＝90°，∠DBC＝60°，sin∠DBC＝eq\f(CD,BC)，∴CD＝40×sin60°＝40×eq\f(\r(3),2)＝20eq\r(3)(km)＞30(km).答：这艘船继续向东航行安全．19．解：(1)如图，连结AC，过点D作DF∥AC交地面于F，则EF为此时DE在阳光下的投影．(2)∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠DFE.又∵∠ABC＝∠DEF＝90°.∴Rt△ABC∽Rt△DEF.∴eq\f(AB,DE)＝eq\f(BC,EF)，即eq\f(5,DE)＝eq\f(2,4).解得DE＝10m.答：DE的长为10m.20．解：如图所示．21．(1)证明：如图，连结OC.∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD.∴∠OCB＋∠BCD＝90°.∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∴∠BAC＋∠ABC＝90°.∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠ABC.∴∠BAC＝∠BCD.(2)解：∵AB为⊙O的直径，且AB＝4，∴⊙O的半径为2，即OC＝2.∵∠BAC＝30°，∴∠BOC＝2∠BAC＝60°.∵在Rt△OCD中，tan∠BOC＝eq\f(CD,OC)，∴CD＝OC·tan∠BOC＝2eq\r(3).∴S阴影＝S△OCD－S扇形COB＝eq\f(1,2)×2eq\r(3)×2－eq\f(60×π×22,360)＝2eq\r(3)－eq\f(2,3)π.22．解：(1)过点A作GH⊥CB，交CB的延长线于点G，交DE的延长线于点H，则∠AGB＝∠H＝90°.∵∠C＝∠D＝90°，∴四边形GCDH为矩形，∴GH＝CD＝120cm，DH＝CG.在Rt△ABG中，∠ABG＝30°，AB＝30cm，∴AG＝AB·sin30°＝15cm，GB＝AB·cos30°＝15eq\r(3)cm.∴AH＝120－15＝105(cm)．由AE⊥AB，易得∠EAH＝30°.又∵∠H＝90°，∴EH＝AH·tan30°＝35eq\r(3)cm，∴DE＝HD－HE＝160＋15eq\r(3)－35eq\r(3)≈125.4cm.(2)①BF＝DE.②如图，连结BD.在Rt△BCD中，BD＝eq\r(BC2＋CD2)＝200cm，∴sin∠1＝eq\f(CD,BD)＝0.6，∴∠1≈36.9°.在Rt△BAD中，AB＝30cm，∴sin∠2＝eq\f(AB,BD)＝0.15，∴∠2≈8.6°，∴∠3≈90°－8.6°＝81.4°，∴α＝180°－∠1－∠3≈180°－36.9°－81.4°＝61.7°.23．解：(1)∵sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ，75°＝45°＋30°，∴sin75°＝sin(45°＋30°)＝sin45°cos30°＋cos45°sin30°＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(\r(2),2)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4).(2)①过点B作BD⊥l于点D，过点C′作C′E⊥l于点E，过A′作A′F⊥l于点F，如图．∵△ABC是边长为2的正三角形，∴AB＝BC＝AC＝2.∴AD＝CD＝1.∴BD＝eq\r(AB2－AD2)＝eq\r(22－12)＝eq\r(3).∴A′F＝C′E＝BD＝eq\r(3).∵AE＝eq\f(5,2)AC＝5，∴tan∠CAC′＝eq\f(C′E,AE)＝eq\f(\r(3),5).②由①得AF＝eq\f(9,2)AC＝9.∴tan∠CAA′＝eq\f(A′F,AF)＝eq\f(\r(3),9).∵tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)，∴tan(∠CAC′＋∠CAA′)＝eq\f(tan∠CAC′＋tan∠CAA′,1－tan∠CAC′tan∠CAA′)＝eq\f(\f(\r(3),5)＋\f(\r(3),9),1－\f(\r(3),5)×\f(\r(3),9))＝eq\f(\r(3),3).∴∠CAC′＋∠CAA′＝30°24．解：(1)(3，2)或(3，－2)点拨：∵“美丽抛物线”与x轴的两个交点为(1，0)，(5，0)，∴此抛物线的对称轴为直线x＝eq\f(1＋5,2)＝3，此抛物线的顶点到x轴的距离为eq\f(5－1,2)＝2.∴此抛物线的顶点坐标为(3，2)或(3，－2)．(2)∵抛物线的函数解析式为y＝x2－bx＝x(x－b)＝(x－eq\f(1,2)b)2－eq\f(1,4)b2，∴抛物线与x轴的交点坐标为(0，0)，(b，0)，抛物线的顶点坐标为(eq\f(1,2)b，－eq\f(1,4)b2)．∴由“美丽抛物线”的定义可知eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)b2))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(b－0,2))).解得b＝0或b＝±2.又∵b>0，∴b＝2.(3)如图，过点B作BE⊥AC于点E，过点O作OM⊥AB于点M.由题意得△ABC为等腰直角三角形．∴AB＝BC，∠ABC＝90°，AE＝CE＝BE.∵B点坐标为(1，2)，∴AE＝CE＝BE＝2，OE＝1.∴AO＝AE－OE＝1，OC＝OE＋CE＝3.∴A点坐标为(－1，0)，C点坐标为(3，0)．∴抛物线的函数表达式为y＝a(x＋1)(x－3)．把