第30章 二次函数 综合检测VIP

第30章二次函数综合检测(满分100分，限时60分钟)一、选择题(每小题4分，共32分)1.(2023广东云浮一模)关于x的函数y=(a-b)x2+1是二次函数的条件是（）A.a≠b B.a=b C.b=0 D.a=02.(2023河北青龙金声木铎学校一模)将二次函数y=x2-4x-4化为y=a(x-h)2+k的形式，正确的是()A.y=(x-2)2 B.y=(x+2)2-8 C.y=(x+2)2 D.y=(x-2)2-83.如图，用80米长的篱笆围成一个一边靠墙、中间用篱笆隔开的矩形养羊场，如果中间有4道篱笆，设矩形垂直于墙的一边的长为x(米)，则矩形养羊场的面积y(平方米)与x(米)之间的函数关系式是()A.y=x×80−4x2 B.y=x×80−6x2 C.y=x×(80-4x) 4.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c为常数)的图像如图所示，则方程ax2+bx+c=m有实数根的条件是()A.m≥-4 B.m≥0 C.m≥5 D.m≥65.(2023河北石家庄桥西质检)已知A=x2+6x+n2，B=2x2+4x+n2，下列结论正确的是()A.B-A的最大值是0 B.B-A的最小值是-1C.当B=2A时，x为正数 D.当B=2A时，x为负数6.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点坐标为(1，0)，则下列说法中不正确的是()A.a<0，c<0 B.4a+b=0C.方程ax2+bx+c=0的实数根为x1=1，x2=3 D.不等式ax2+bx+c<0的解集为1<x<37.(2023河北石家庄长安质检)如图，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AB=2.动点P沿AB从点A向点B移动，过点P作AB的垂线，交折线ACB于点Q.记AP=x，△APQ的面积为y，则y关于x的函数图像大致是()A B C D(2023河北承德一模)如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(1，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C，则下列结论：①abc>0；②当x>1时，y随x的增大而增大；③方程ax2+bx+c=1有两个不相等的实数根；④4a+2b≤am2+bm(m为任意实数)，其中正确的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题(每小题4分，共32分)9.(2023上海中考)一个二次函数y=ax2+bx+c图像的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是.

10.已知抛物线y=-x2+bx+c的对称轴为直线x=1，点M(-1，y1)，N(2，y2)都在该抛物线上，那么y1y2(填“>”“<”或“=”).

11.(2023福建福州一模)某足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，如果不考虑空气阻力，足球飞行的高度h(单位：m)与足球飞行的时间t(单位：s)之间具有二次函数关系，其部分图像如图所示，则足球从踢出到落地所需的时间是s.

12.抛物线y=-x2+bx+3的对称轴为直线x=-1，若关于x的一元二次方程-x2+bx+3-t=0(t为实数)在-2<x<3的范围内有实数根，则t的取值范围是.

13.(2023江苏连云港中考)若W=5x2-4xy+y2-2y+8x+3(x、y为实数)，则W的最小值为.

14.(2023浙江温州校考二模)某游乐园要建造一个直径为20m的圆形喷水池，计划在喷水池的周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心4m处(水平距离)达到最高，高度为6m.以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系如图，在喷水池中心的正上方设计挡板(AB，AC)，使各方向喷出的水柱擦挡板后，汇合于喷水池中心装饰物M处，挡板AB所在直线的表达式为y=12x+n，则抛物线l的表达式为，n的值为15.(2023山东临沂中考)小明利用学习函数获得的经验研究函数y=x2+2x的性质，得到如下结论①当x<-1时，x越小，函数值越小；②当-1<x<0时，x越大，函数值越小；③当0<x<1时，x越小，函数值越大；④当x>1时，x越大，函数值越大.其中正确的是(只填写序号).

16.(2023广东广州一模)如图，点D为等边三角形ABC的边BC上一动点BD<12BC，AB=4，连接AD，以AD为边作正方形ADEF，连接CE、CF，则当BD=时，△CEF的面积最小，三、解答题(共36分)17.(2023上海奉贤一模)(6分)已知抛物线y=-x2+2x+3，将这条抛物线向左平移3个单位，再向下平移2个单位.(1)求平移后新抛物线的表达式和它的开口方向、顶点坐标、对称轴，并说明它的变化情况；(2)在如图所示的平面直角坐标系内画出平移后的抛物线.18.(2023福建龙岩统考一模)(10分)红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火.小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用3120元购进甲种红灯笼与用4200元购进乙种红灯笼的数量相同，已知乙种红灯笼每对进价比甲种红灯笼每对进价多9元.(1)求甲、乙两种红灯笼每对的进价.(2)经市场调查发现，乙种红灯笼每对售价为50元时，每天可售出98对，售价(每对)每提高1元，则每天少售出2对.物价部门规定其售价不高于每对65元，设乙种红灯笼每对涨价x元，小明一天通过售卖乙种红灯笼获得利润y元.①填空：y与x之间的函数关系式是.

②乙种红灯笼的销售为多少元/对时，一天获得的利润最大?最大利润是多少元?19.(2023河北石家庄四十二中一模)(10分)如图，抛物线y=-23x2+23x+4与坐标轴分别交于A，B，C三点(1)A，B，C三点的坐标为，，；

(2)连接AP，交线段BC于点D，①当CP与x轴平行时，求PDDA的值②当CP与x轴不平行时，求PDDA的最大值(3)连接CP，是否存在点P，使得∠BCO+2∠PCB=90°?若存在，求m的值；若不存在，请说明理由.20.(2023河北石家庄四十四中模拟)(10分)甲、乙两人打乒乓球，让乒乓球沿着球台的中轴线运动，如图所示的是从侧面看乒乓球台得到的视图，MN为球台，EF为球网，点E为MN中点，MN=28dm，EF=1.5dm，甲从M正上方的A处击中球完成发球，球沿直线撞击球台上的B处再弹起到另一侧的C处，从C处再次弹起到P，乙接球.以MN所在直线为x轴，M为原点建立平面直角坐标系，x(dm)表示球与M的水平距离，y(dm)表示球到球台的高度，将乒乓球看成点，两次弹起的路径均为抛物线的一部分，BC段抛物线的解析式为y1=-120(x-t)(x-t-12).设CP段抛物线的解析式为y2=-120(x-h)(1)点F的坐标为；点C的坐标为(用含t的式子表示)；

(2)若球在球网EF正上方时到达最高点，①求此时球与F的距离；②要使球从C弹起后落在N或N的右侧，求k的最小值；(3)若球第二次的落点C在球网右侧5dm处，球再次弹起时离桌面最高1.25dm，乙的球拍在N处正上方的线段GH上，GH=1.5dm，HN=0.8dm，将球拍向前(即x轴负方向)水平推出ndm接球，恰好接住了球，直接写出n的取值范围.

第30章二次函数综合检测答案全解全析1.A∵y=(a-b)x2+1是二次函数，∴a-b≠0，解得a≠b，故选A.2.Dy=x2-4x-4=x2-4x+4-8=(x-2)2-8，故选D.3.D∵矩形一边长为x米，∴其邻边长为(80-6x)米，∴矩形养羊场的面积y=x×(80-6x).故选D.4.A∵抛物线的顶点坐标为(6，-4)，开口向上，∴二次函数有最小值，为-4，∴当m≥-4时，直线y=m与二次函数y=ax2+bx+c的图像有公共点，∴方程ax2+bx+c=m有实数根的条件是m≥-4.故选A.5.B∵A=x2+6x+n2，B=2x2+4x+n2，∴B-A=2x2+4x+n2-(x2+6x+n2)=x2-2x=(x-1)2-1，∴当x=1时，B-A取得最小值-1；当B=2A时，2x2+4x+n2=2(x2+6x+n2)，∴-8x=n2≥0，∴x≤0，即x是非正数.故选B.6.D观察题中图像，可知抛物线开口向下，与y轴交于负半轴，∴a<0，c<0，故A说法正确，不符合题意；∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=2，∴-b2a=2，∴4a+b=0，故B说法正确，设抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点坐标为(m，0)，∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点坐标为(1，0)，∴2-1=m-2，解得m=3，∴抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点坐标为(3，0)，∴方程ax2+bx+c=0的实数根为x1=1，x2=3，故C说法正确，不符合题意；由题图及C选项可知，当x<1或x>3时，二次函数的图像位于x轴的下方，∴不等式ax2+bx+c<0的解集为x<1或x>3，故D说法不正确，符合题意.故选D.7.B如图，取AB的中点D，连接CD，∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠A=∠B=45°，当P在线段AD上时，由∠A=45°，∠APQ=90°知AP=QP=x，∴y=12PQ·AP=12x2，函数图像是开口向上的抛物线，排除A当P在线段DB上时，AP=x，BP=2-x，由∠B=45°，∠BPQ=90°可知PQ=BP=2-x，∴y=12AP·PQ=12x(2-x)=-12x2+x，函数图像是开口向下的抛物线，8.B①∵抛物线开口向上，∴a>0，∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(1，0)和点B(3，0)，∴对称轴为直线x=1+32=2，∴-b2a>0∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c>0，∴abc<0，故①不正确；②∵抛物线对称轴为直线x=2，开口向上，∴x>2时，y随x的增大而增大，故②不正确；③由题图可知抛物线y=ax2+bx+c与直线y=1有2个交点，∴方程ax2+bx+c=1有两个不相等的实数根，故③正确；④∵对称轴为直线x=2，开口向上，∴当x=2时，y取得最小值，为4a+2b+c，∴4a+2b+c≤am2+bm+c，即4a+2b≤am2+bm(m为任意实数)，故④正确.正确结论有2个，故选B.9.y=-x2+1(答案不唯一)解析∵二次函数y=ax2+bx+c图像的对称轴左侧部分是上升的，∴抛物线开口向下，即a<0，∵二次函数y=ax2+bx+c图像的顶点在y轴正半轴上，∴b=0，c>0，∴二次函数的解析式可以是y=-x2+1(答案不唯一).10.<解析抛物线y=-x2+bx+c的对称轴为直线x=1，∵-1<1<2，∴点M，N在抛物线对称轴的两侧，∵-1<0，∴抛物线开口向下，又∵1-(-1)>2-1，∴点M离对称轴较远，∴y1<y2.故答案为<.11.1.6解析根据函数的图像可得抛物线的对称轴为直线x=0.5+1.12=0.8因为抛物线与x轴的一个交点的横坐标为0，所以抛物线与x轴的另一个交点的横坐标为0.8×2=1.6，所以足球从踢出到落地所需的时间是1.6s，故答案为1.6.12.-12<t≤4解析∵抛物线y=-x2+bx+3的对称轴为直线x=-1，∴-b2×(−1)=-1，解得b=-2∴y=-x2-2x+3，一元二次方程-x2+bx+3-t=0的实数根是函数y=-x2-2x+3与y=t的图像的交点的横坐标.∵y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4，且a=-1<0，∴当x=-1时，y取得最大值，为4，又∵当x=-2时，y=-x2-2x+3=3；当x=3时，y=-x2-2x+3=-12，∴当-2<x<3时，y的取值范围为-12<y≤4，∵方程在-2<x<3的范围内有实数根，∴t的取值范围是-12<t≤4.故答案为-12<t≤4.13.-2解析W=5x2-4xy+y2-2y+8x+3=4x2-4xy+y2+4x-2y+1+x2+4x+4-2=(2x-y)2+2(2x-y)+1+(x+2)2-2=(2x-y+1)2+(x+2)2-2，∵x、y为实数，∴(2x-y+1)2≥0，(x+2)2≥0，∴W的最小值为-2，故答案为-2.14.y=-16x2+43x+103解析设抛物线l的解析式为y=a(x-4)2+6，根据题意，得点(10，0)在抛物线上，∴a(10-4)2+6=0，解得a=-16∴抛物线l的解析式为y=-16(x-4)2+6=-16x2+43x+103，与直线y=12x+n联立，得方程12x+n=-16x2+43x+103，整理，得-∵直线y=12x+n与抛物线l：y=-16x2+43x+103有唯一公共点，∴Δ=562-4×-16×103-n=0，解得n=35815.②③④解析选取部分x值，列表如下，x…-2.5-2-1-0.50.512…y…5.453-1-3.754.2535…描点、连线，函数图像大致如下，根据图像知：当x<-1时，x越小，函数值越大，结论①错误；当-1<x<0时，x越大，函数值越小，结论②正确；当0<x<1时，x越小，函数值越大，结论③正确；当x>1时，x越大，函数值越大，结论④正确.故答案为②③④.16.2-3；92-2解析本题结合勾股定理、正方形的性质和二次函数求三角形面积的最值.如图，过点A作AH⊥BC，垂足为点H，∵△ABC是等边三角形，AB=4，∴BH=HC=12BC=12AB=2，AH=AB·sin60°=4×32设BD=x，则DH=2-x，CD=4-x，S正方形ADEF=AD2=DH2+AH2=(2-x)2+(23)2=x2-4x+16，S△ACD=12CD·AH=12×(4-x)×23=43-3在正方形ADEF中，AD=DE=EF=AF，过点C作NM⊥AF于点M，交DE于点N，∵AF∥DE，MN⊥AF，∴MN⊥DE，∴四边形ADNM为矩形，∴MN=AD=DE=EF=AF，∴S△ACF+S△DCE=12AF·MC+12DE·CN=12DE×(MC+CN)=12DE×MN=12DE2∴S△ADC+S△EFC=12S正方形ADEF∴S△CEF=12S正方形ADEF-S△ACD=12(x2-4x+16)-(43-3x)=12x2-(2-3当x=2-3时，S△CEF最小，为12(2-3)2-(2-3)2+8-43=92-2故答案为2-3；92-2317.解析(1)y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，将这条抛物线向左平移3个单位，再向下平移2个单位，新抛物线对应的函数关系式为y=-(x+2)2+2，所以新抛物线的开口向下，顶点坐标为(-2，2)，对称轴为直线x=-2.当x<-2时，y随x的增大而增大，当x>-2时，y随x的增大而减小.(2)列表如下，x…-4-3-2-10…y…-2121-2…描点、连线，函数图像如图所示.18.解析(1)设甲种红灯笼的进价为x元/对，则乙种红灯笼的进价为(x+9)元/对，由题意得3120x=4200x+9经检验，x=26是原方程的解，且符合题意，∴x+9=26+9=35.答：甲种红灯笼的进价为26元/对，乙种红灯笼的进价为35元/对.(2)①y=(50+x-35)(98-2x)=-2x2+68x+1470，故答案为y=-2x2+68x+1470.②∵a=-2<0，∴函数y有最大值，该二次函数图像的对称轴为直线x=-682×(−2)=17∵物价部门规定其售价不高于每对65元，∴x+50≤65，∴x≤15，∵x<17时，y随x的增大而增大，∴当x=15时，y取得最大值，为-2×152+68×15+1470=2040.x+50=15+50=65.答：乙种红灯笼的售价为65元/对时，一天获得的利润最大，最大利润是2040元.19.解析(1)令x=0，则y=4，∴C(0，4).令y=0，则-23x2+23∴x=-2或x=3，∴A(-2，0)，B(3，0).故答案为(-2，0)；(3，0)；(0，4).(2)①∵CP∥x轴，C(0，4)，点C，P在抛物线上，∴-23m2+23m+4=4，∴P(1，4)，∴CP=1.易知AB=3+2=5，∵CP∥x轴，∴△PCD∽△ABD，∴PDDA=CPAB=②如图，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，易得直线BC的解析式为y=-43∵点P的横坐标为m，∴Pm，-23m2+23m+4，Q12m2-12m，-23m2+23∴PQ=m-12m2-12m=-∵PQ∥AB，∴△PQD∽△ABD，∴PDDA=PQAB=-12m∴当m=32时，PDDA的值最大，为(3)假设存在点P，使得∠BCO+2∠PCB=90°，已知0<m<3.如图，延长CP交x轴于点M，过点C作CF∥x轴，交抛物线于点F，∵∠BCO+2∠PCB=90°，∠BCO+∠BCM+∠MCF=90°，∴∠MCF=∠BCP，∵CF∥x轴，∴∠PCF=∠BMC，∴∠BCP=∠BMC，∴△CBM为等腰三角形，BC=BM，∵BC=32+42=5，∴M(8，0)，易得直线CM的解析