专项04 二次函数与几何图形的综合应用

专项04二次函数与几何图形的综合应用类型一线段最值问题1.(2023山东菏泽中考)已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C(0，4)，其对称轴为直线x=-32(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，点D是线段OC上的一动点，连接AD，BD，将△ABD沿直线AD翻折，得到△AB'D，当点B'恰好落在抛物线的对称轴上时，求点D的坐标；(3)如图2，动点P在直线AC上方的抛物线上，过点P作直线AC的垂线，分别交直线AC，线段BC于点E，F，过点F作FG⊥x轴，垂足为G，求FG+2FP的最大值.类型二面积问题2.(2023湖北荆州中考)已知：y关于x的函数y=(a-2)x2+(a+1)x+b.(1)若函数的图像与坐标轴有两个公共点，且a=4b，则a的值是.

(2)如图，若函数的图像为抛物线，与x轴有两个公共点A(-2，0)，B(4，0)，并与动直线l：x=m(0<m<4)交于点P，连接PA，PB，PC，BC，其中PA交y轴于点D，交BC于点E.设△PBE的面积为S1，△CDE的面积为S2.①当点P为抛物线顶点时，求△PBC的面积；②探究直线l在运动过程中，S1-S2是否存在最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由.类型三与平行四边形有关的问题3.(2023山东聊城中考)如图1，抛物线y=ax2+bx-9与x轴交于点A(-3，0)，B(6，0)，与y轴交于点C，连接AC，BC.点P是x轴上任意一点.(1)求抛物线的表达式；(2)点Q在抛物线上，当以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的坐标；(3)如图2，当点P(m，0)从点A出发沿x轴向点B运动时(点P与点A，B不重合)，过点P分别作PE∥BC，交AC于点E，作PD⊥BC，垂足为点D，当m为何值时，△PED的面积最大?并求出最大值.类型四角度存在性问题4.(2023湖南郴州中考)已知抛物线y=ax2+bx+4与x轴相交于点A(1，0)，B(4，0)，与y轴相交于点C.(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，点P是抛物线的对称轴l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求PAPC的值(3)如图2，取线段OC的中点D，在抛物线上是否存在点Q，使tan∠QDB=12?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，

专项04二次函数与几何图形的综合应用答案全解全析1.解析(1)∵抛物线与y轴交于点C(0，4)，∴c=4，∵对称轴为直线x=-32，∴-b-2=-32∴抛物线的解析式为y=-x2-3x+4.(2)如图，过B'作x轴的垂线，垂足为H，令-x2-3x+4=0，解得x1=1，x2=-4，∴A(-4，0)，B(1，0)，∴AB=1-(-4)=5，由翻折可得AB'=AB=5，∵对称轴为直线x=-32∴AH=-32-(-4)=52，∴∠AB'H=30°，∴∠B'AB=90°-∠AB'H=60°，由翻折可知∠B'AD=∠BAD，∴∠DAB=12∠B'AB=30°在Rt△AOD中，OD=OA·tan30°=43∴D0,4(3)设BC所在直线的解析式为y1=k1x+b1(k1≠0)，把B，C点坐标代入，得k1+∴y1=-4x+4，∵OA=OC=4，∴∠CAO=45°，又∵∠AEF=90°，∴直线PE与x轴所成夹角为45°，设P(m，-m2-3m+4)，设PE所在直线的解析式为y2=-x+b2，把点P坐标代入，得-m+b2=-m2-3m+4，解得b2=-m2-2m+4，∴y2=-x-m2-2m+4，令y1=y2，则-4x+4=-x-m2-2m+4，解得x=m2+2m3，即F点横坐标为m2+2m3，∴FG=yF=-4(m2+2m)3+4，2PF=2xF-x∴FG+2FP=-4(m2=-23m+∵点P在直线AC上方，∴-4<m<0，∴当m=-52时，FG+2FP取得最大值，为492.解析(1)当函数为一次函数时，a-2=0，∴a=2，∴y=(2+1)x+24=3x+12，其图像与x轴当函数为二次函数时，函数图像与y轴必有一个交点，分情况讨论：(i)当与y轴交点不是原点时，其函数图像与x轴只有一个公共点，∴令(a-2)x2+(a+1)x+b=0，∵a=4b，∴(a-2)x2+(a+1)x+a4=0∴Δ=(a+1)2-4(a-2)×a4=4a+1=0∴a=-14，∴y=-94x2+34x-116，易得其图像与坐标轴的交点坐标为1(ii)当与y轴的交点是原点时，易得b=0，∵a=4b，∴a=0，∴y=-2x2+x，易得其图像与坐标轴的交点坐标为(0，0)和12,0故答案为0或2或-14(2)如图所示，设直线l与BC交于点F，直线l与x轴交于点H.将A，B点坐标代入解析式，得4(解得a∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+8=-(x-1)2+9，∴C(0，8).①当点P为抛物线顶点时，P(1，9)，∴PH=9，xP=1，由B(4，0)，C(0，8)易得直线BC的解析式为y=-2x+8，∵F在直线l上，∴F的横坐标等于P的横坐标，∴xF=1，∵F在直线BC：y=-2x+8上，∴F(1，6)，∴FH=6，OH=1，∴PF=PH-FH=9-6=3，BH=OB-OH=4-1=3，∴S△PBC=S△PFC+S△PFB=12xP·PF+1=12×1×3+12×3×3=6②S1-S2存在最大值.易知OB=4，AO=2，AB=6，OC=8，AH=2+m，P(m，-m2+2m+8)，∴PH=-m2+2m+8，∵OD⊥x轴，PH⊥x轴，∴OD∥PH，∴AOAH=ODPH，即22+∴OD=8-2m.∵S1=S△PBE=S△PAB-S△AOD-S四边形EDOB，S2=S△CDE=S△OBC-S四边形EDOB，∴S1-S2=S△PAB-S△AOD-S△OBC=AB·PH2-OA·OD2-OB·OC2=6(−m2+2m+8)2-2(8−2∴当m=43时，S1-S2取得最大值，最大值为163.解析(1)将A(-3，0)，B(6，0)的坐标代入y=ax2+bx-9，得9a-3∴抛物线的表达式为y=12x2-3(2)易知点C(0，-9)，设点P(m，0)，点Qn,12n2-32n−9，在A，C∵四边形ACQP为平行四边形，∴AP∥CQ，∴yQ=yC，∴12n2-32n-9=-9，∴点Q(3，-9).在A，C，P，Q四点组成的平行四边形中，当AC为边，AP为对角线时(如图2)，连接CQ，线段CQ的中点在x轴上，∴yC+yQ=0，∴12n2-32n-9+(-9)=0，解得n=32+3172∵yQ=-yC=9，∴点Q的坐标为32+3综上，点Q的坐标为(3，-9)或32+3(3)设△PED的面积为S，由题意得AP=m+3，BP=6-m，OB=6，OC=9，AB=9，∴BC=62+9∵sin∠PBD=PDBP=OCBC，∴PD6−∴PD=3(6−m∵PE∥BC，∴△APE∽△ABC，∠EPD=∠PDB=90°，∴PEBC=APAB，∴PE313=m∴S=12PE·PD=12(m+3)(6-m)=-12m-322+818，∴当m=32时，△PED的面积最大，为814.解析(1)∵抛物线y=ax2+bx+4与x轴相交于点A(1，0)，B(4，0)，∴a+b∴抛物线的表达式为y=x2-5x+4.(2)易知C(0，4)，抛物线的对称轴为直线x=52∵△PAC的周长=PA+PC+AC，AC为定长，∴当PA+PC的值最小时，△PAC的周长最小，∵点A，B关于对称轴对称，∴PA+PC=PB+PC≥BC，故当P，B，C三点共线时，PA+PC的值最小，为BC的长，此时点P为直线BC与对称轴的交点，由B(4，0)，C(0，4)易得直线BC的解析式为y=-x+4，当x=52时，y=-52+4=∴P52,32，∵A(1，0)，∴PA=52-12PC=522+32-42=(3)存在.∵D为OC的中点，∴D(0，2)，∴OD=2，∵B(4，0)，∴OB=4，在Rt△BOD中，tan∠OBD=ODOB=1∵tan∠QDB=12=tan∠OBD，分情况讨论：①当Q点与D点在平行于x轴的直线上时，过点D作平行于x轴的直线，交抛物线于点Q1和Q2，如图，则∠Q1DB=∠OBD，此时点Q1，Q2的纵坐标为2，设点Q1的横坐标为t1，点Q2的横坐标为t2，则t1，t2满足t2-5t+4=2，解得t1=5+172，t2=∴Q15+172,2，Q②当Q点在D点所在水平线的下方，即yQ<yD时，如图，设直线DQ与x轴交于点E，则DE=BE，设E(p，0)，则DE2=OE2+OD2=p2+4，BE2=(4-p)2，∴p2+4=(4-p)2，解得p=32，∴E3设直线DE的解析式为y=kx+q(k≠0)，代入D，E两点的坐标，得q=2,32k+q=0,解得k联