专项01 圆的切线的证明

专项01圆的切线的证明类型一切线的判定之见半径证垂直1.(2023北京通州一模)如图，△ABC是☉O的圆内接三角形，过圆心O作OF⊥AC于点F，连接OA，OC，OA交BC于点E，过点C作CD∥AO，交BA的延长线于点D，∠COF=45°.(1)求证：DC是☉O的切线；(2)如果BC·CE=8，求☉O的半径.2.如图，四边形ABCD内接于☉O，AD是☉O的直径，AD，BC的延长线交于点E，P是CB延长线上一点，连接AP，且∠BAP+∠DCE=90°.(1)求证：PA是☉O的切线；(2)连接AC，sin∠BAC=13，BC=2，则AD的长为类型二切线的判定之连半径证垂直3.如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，∠BAD+∠ACB=90°.O是BC的垂直平分线与AC的交点，以点O为圆心，OC长为半径作☉O.求证：AB为☉O的切线.4.如图，AC与☉O相切于点C，AB经过☉O上的点D，BC交☉O于点E，DE∥OA，CE是☉O的直径.(1)求证：AB是☉O的切线；(2)若BD=8，CE=12，求AC的长.5.(2023河北石家庄四十二中一模)如图，在半径为10cm的☉O中，AB是☉O的直径，CD是过☉O上一点C的直线，且AD⊥DC于点D，AC平分∠BAD，点E是BC的中点，OE=6cm.(1)求证：CD是☉O的切线；(2)求AD的长.6.(2023湖北十堰中考)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的半圆分别交AC，BC，AB于点D，E，F，且点E是弧DF的中点.(1)求证：BC是☉O的切线；(2)若CE=2，求图中阴影部分的面积(结果保留π).类型三切线的判定之作垂直证半径7.如图，O为菱形ABCD对角线上一点，☉O与BC相切于点M.求证：CD与☉O相切.8.(2023河北石家庄裕华质检)如图1，在等腰三角形ABC中，AB=AC，O为底边BC的中点，AB切☉O于点D，连接OD，☉O交BC于点M，N.(1)求证：AC是☉O的切线.(2)已知∠B=42°，①若OD=4，求劣弧DM的长；②如图2，连接DM，若DM=4，直接写出OD的长.(参考数据：sin24°取0.4，cos24°取0.9，tan24°取0.4)

专项01圆的切线的证明答案全解全析1.解析(1)证明：∵∠COF=45°，OA=OC，OF⊥AC，∴∠AOC=2∠COF=90°，∴∠OAC=12×(180°-90°)=45°，∵CD∥AO∴∠OCD=180°-∠AOC=90°，即CD⊥OC，∵OC是☉O的半径，∴DC是☉O的切线.(2)由(1)可知∠AOC=90°，∠OAC=45°，∴∠ABC=12∠AOC=45°，∴∠ABC=∠OAC∵∠BCA=∠ACE，∴△ABC∽△EAC，∴BCAC=ACCE，即AC2=BC·CE，∵BC·CE=8，∴AC2由勾股定理得2OC2=AC2=8，解得OC=2(负值舍去)，∴☉O的半径为2.2.解析(1)证明：∵四边形ABCD内接于☉O，∴∠BAD+∠BCD=180°，又∵∠BCD+∠DCE=180°，∴∠BAD=∠DCE，∵∠BAP+∠DCE=90°，∴∠BAP+∠BAD=90°，∴∠PAD=90°，∴PA⊥AD，∵AD是☉O的直径，∴PA是☉O的切线.(2)延长DC交AB的延长线于点F，如图，∵AD是☉O的直径，∴∠ACD=90°，∴∠ACF=180°-∠ACD=90°，∴△ACF是直角三角形，∴sin∠BAC=CFAF=1∵四边形ABCD内接于☉O，∴∠BAD+∠BCD=180°，又∵∠BCD+∠BCF=180°，∴∠FCB=∠FAD，又∵∠F=∠F，∴△FCB∽△FAD，∴CBAD=CFAF，∴2AD=CFAF3.证明连接BO，并延长BO交CD于E，如图，∵O在BC垂直平分线上，∴OB=OC，∴OB是☉O的半径，∠ACB=∠CBE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠BAC=∠DCA，∠DAC=∠BCA，∠ABE=∠BEC，∵∠BAD+∠ACB=90°，∴∠BAC+∠DAC+∠ACB=90°，∴∠DCA+∠BCA+∠CBE=90°，∴∠BCE+∠CBE=90°，∴∠BEC=180°-(∠BCE+∠CBE)=90°，∴∠ABE=90°，∴OB⊥AB，又∵OB是☉O的半径，∴AB为☉O的切线.4.解析(1)证明：连接OD.∵OE=OD，∴∠OED=∠ODE，∵DE∥OA，∴∠OED=∠AOC，∠ODE=∠AOD，∴∠AOC=∠AOD.在△AOD和△AOC中，AO=AO∴∠ADO=∠ACO.∵AC与☉O相切于点C，∴∠ADO=∠ACO=90°，又∵OD是☉O的半径，∴AB是☉O的切线.(2)∵CE=12，∴OE=OD=OC=6，在Rt△ODB中，BD=8，OD=6，BD2+OD2=BO2，∴BO=10，∴BC=BO+OC=16.∵△AOD≌△AOC，∴AD=AC.在Rt△ACB中，AC2+BC2=AB2，即AC2+162=(AC+8)2，解得AC=12，即AC的长为12.5.解析(1)证明：连接OC，如图：∵AC平分∠BAD，∴∠DAC=∠CAO，∵OA=OC，∴∠CAO=∠OCA，∴∠DAC=∠OCA，∴AD∥OC，∵AD⊥DC，∴CO⊥DC，∵OC是☉O的半径，∴CD是☉O的切线.(2)∵E是BC的中点，且OA=OB，∴OE是△ABC的中位线，∴AC=2OE=12cm，∵AB是☉O的直径，∴∠ACB=90°=∠ADC，又∠DAC=∠CAB，∴△DAC∽△CAB，∴ADAC=ACAB，即AD12=12206.解析(1)证明：连接OE，OD，如图，∵∠C=90°，AC=BC，∴∠OAD=∠B=45°，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ADO=45°，∴∠AOD=90°，∵点E是弧DF的中点，∴∠DOE=∠EOF=12∠DOF=45°∴∠OEB=180°-∠EOF-∠B=90°，∴OE⊥BC，∵OE为☉O的半径，∴BC是☉O的切线.(2)∵OE⊥BC，∠B=45°，∴△OEB为等腰直角三角形，设BE=OE=x，则OB=2x，∴AB=x+2x，∵AB=2BC，BC=CE+BE=2+x，∴x+2x=2(2+x)，∴x=2，∴S阴影=S△OEB-S扇形EOF=12×2×2-45°π×227.证明如图，连接OM，过点O作ON⊥CD，垂足为N，∵☉O与BC相切于点M，∴OM⊥BC，OM为☉O的半径，又ON⊥CD，∴∠OMC=∠ONC=90°，∵AC是菱形ABCD的对角线，∴∠ACB=∠ACD，又∵OC=OC，∴△OMC≌△ONC(AAS)，∴ON=OM，∴ON是☉O的半径，∵∠ONC=90°，∴CD与☉O相切.8.解析(1)证明：过点O作OE⊥AC于点E，连接OA，如图，∵AB=AC，O为底边BC的中点，∴AO为∠BAC的平分线，∵OD⊥AB，OE⊥AC，∴OD=OE，∵OD为☉O的半径，∴OE为☉O的半径，∴圆心O到直线AC的距离等于圆的半径，∴AC是☉O的切线.(2)①∵AB切☉O于点D，∴∠ODB=9