30.2 二次函数的图像和性质 同步练习

第三十章二次函数30.2二次函数的图像和性质基础过关全练知识点1二次函数y=ax2(a≠0)的图像与性质1.如图所示，在同一平面直角坐标系中，作出①y=3x2；②y=12x2；③y=x2的图像，则从里到外的三条抛物线对应的函数依次是[变式1·变开口方向]已知两个二次函数的图像如图所示，那么a1a2.(填“>”“=”或“<”)

[变式2·同时考查开口方向、大小]已知四个二次函数的图像如图所示，那么a1，a2，a3，a4的大小关系是.(请用“>”连接)

2.想象函数y=3x2的图像，并填空：(M9230002)(1)图像的开口向，顶点坐标是；

(2)图像的对称轴是，对称轴与函数图像的交点坐标是；

(3)当x<0时，y随x的增大而，当x>0时，y随x的增大而.

知识点2二次函数y=a(x-h)2+k(a、h、k是常数，且a≠0)的图像与性质3.对于抛物线y=2(x+3)2+1，下列说法错误的是()A.开口向上 B.对称轴是直线x=-3C.当x>-3时，y随x的增大而减小 D.当x=-3时，函数取得最小值14.(2023河北石家庄四十二中模拟)把抛物线y=-x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到新的抛物线为()A.y=-(x-2)2-3 B.y=-(x+2)2+3 C.y=-(x+2)2-3 D.y=-(x-2)2+35.抛物线y=-(x-4)2+10上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)的横坐标满足x1>x2>4，则y1y2.

6.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=(x-h)2+k经过点A(-1，4)，B(5，4)，且y最小值=-5.(1)求抛物线的表达式；(2)点D与点E是抛物线上关于对称轴对称的两点，如果点D的横坐标为-2，试求点E的坐标.知识点3二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与性质7.在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=-mx2+2x+2(m是常数，且m≠0)的图像可能是() A B C D8.(2023北京清华附中一模)在平面直角坐标系xOy中，已知点(n-2，y1)，(n-1，y2)，(n+1，y3)在抛物线y=ax2-2ax-2(a<0)上，若0<n<1，则y1，y2，y3的大小关系为(用“<”连接).

9.如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=x2-2x+2上运动.过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连接BD，则对角线BD长度的最小值为.

10.如图，抛物线y=ax2-2ax+3(a>0)与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线，交抛物线于点M，P为抛物线的顶点.若直线OP交直线AM于点B，且M为线段AB的中点，则线段PB的长为.11.已知二次函数y=-x2+bx+c(b，c是常数).(1)当b=2，c=3时，求该函数图像的顶点坐标；(2)设该二次函数图像的顶点坐标是(m，n)，当该函数图像经过点(1，-3)时，求n关于m的函数解析式；(3)已知b=2c+1，当0≤x≤2时，该函数有最大值8，求c的值.知识点4二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中a、b、c的作用12.(2023贵州中考)已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则点P(a，b)所在的象限是()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限13.(2023湖南株洲中考)如图所示，直线l为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像的对称轴，则下列说法正确的是()A.b恒大于0 B.a，b同号 C.a，b异号 D.以上说法都不对14.(2022四川成都中考)如图，二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴相交于A(-1，0)，B两点，对称轴是直线x=1，下列说法正确的是()A.a>0 B.当x>-1时，y的值随x值的增大而增大C.点B的坐标为(4，0) D.4a+2b+c>0能力提升全练15.(2023河北石家庄四十七中质检)下表列出的是一个二次函数的自变量x与函数值y的几组对应值：x…-5-4-3-2-10…y…40-2-20a…其中，a的值为()A.4 B.3 C.2 D.116.(2023四川成都中考)如图，二次函数y=ax2+x-6的图像与x轴交于A(-3，0)，B两点，下列说法正确的是()A.抛物线的对称轴为直线x=1 B.抛物线的顶点坐标为-C.A，B两点之间的距离为5 D.当x<-1时，y的值随x值的增大而增大17.(2023浙江杭州中考)设二次函y=a(x-m)(x-m-k)(a>0，m，k是实数)，则()A.当k=2时，函数y的最小值为-a B.当k=2时，函数y的最小值为-2aC.当k=4时，函数y的最小值为-a D.当k=4时，函数y的最小值为-2a18.(2023河北石家庄新华质检)二次函数y=x2-2x+n+1的图像经过点A(m-1，y1)和B(m，y2).当y1<y2时，m的取值范围为()A.m<1 B.m>32 C.m>2 D.319.(2023四川凉山州中考)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图像如图所示，则下列结论中正确的是()A.abc<0 B.4a-2b+c<0C.3a+c=0 D.am2+bm+a≤0(m为实数)20.(2023湖南邵阳中考)已知P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是抛物线y=ax2+4ax+3(a是常数，a≠0)上的点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线x=-2；②点(0，3)在抛物线上；③若x1>x2>-2，则y1>y2；④若y1=y2，则x1+x2=-2.其中，正确结论的个数为()A.1 B.2 C.3 D.421.(2023四川广元中考改编)已知抛物线y=ax2+bx+c(a，b，c是常数且a<0)过(-1，0)和(m，0)两点，且3<m<4，下列三个结论：①abc>0；②3a+c>0；③若抛物线过点(1，4)，则-1<a<-23.其中正确的结论有(A.1个 B.2个 C.3个 D.0个22.(2023河北唐山路南二模)如图，DE是边长为4的等边△ABC的中位线，动点P以每秒1个单位长度的速度，从点A出发，沿折线AD—DE向点E运动；同时动点Q以相同的速度，从点B出发，沿BC向点C运动.当点P到达终点时，点Q同时停止运动.设运动时间为ts，B，D，P，Q四点围成图形的面积S与时间t之间的函数图像是() A B C D23.(2023福建中考)已知抛物线y=ax2-2ax+b(a>0)经过A(2n+3，y1)，B(n-1，y2)两点，若A，B分别位于抛物线对称轴的两侧，且y1<y2，则n的取值范围是.

24.(2023内蒙古赤峰中考)如图，抛物线y=x2-6x+5与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点D(2，m)在抛物线上，点E在直线BC上，若∠DEB=2∠DCB，则点E的坐标是.

25.(2022河北中考)如图，点P(a，3)在抛物线C：y=4-(6-x)2上，且在C的对称轴右侧.(1)写出C的对称轴和y的最大值，并求a的值；(2)坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为P'，C'.平移该胶片，使C'所在抛物线对应的函数恰为y=-x2+6x-9，求点P'移动的最短路程.26.(2023河北石家庄一模)在坡度为3∶4的斜坡与水平地面的纵向截面图上，建立如图所示的平面直角坐标系.已知点A在斜坡上，OA=5m，从点A向右发射出的小球沿抛物线y=-14x2+bx+c运动，(1)点A的坐标是；

(2)①求b，c所满足的数量关系；②当小球恰好落到原点时，求抛物线的函数表达式；(3)在点O右侧5m处有一堵高为2m的墙BC，若要小球能触碰到墙面，求b的取值范围.素养探究全练27.(2022湖南怀化中考)如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c经过点A(-1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C，顶点为点D.在线段CB上方的抛物线上有一动点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PF∥AB交BC于点F.(1)求抛物线和直线BC的函数表达式；(2)当△PEF的周长有最大值时，求点P的坐标和△PEF的周长；(3)若点G是抛物线上的一个动点，点M是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在以C、B、G、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由. 备用图

第三十章二次函数30.2二次函数的图像和性质答案全解全析基础过关全练1.①③②解析在函数①y=3x2，②y=12x2，③y=x2中，二次项系数分别为3、12∵3>1>12，∴抛物线②y=12x2的开口最宽，抛物线①y=3x故从里到外的三条抛物线对应的函数依次是①③②.[变式1]答案>解析由题图可知函数y=a1x2的图像的开口大于函数y=a2x2的图像的开口，且开口向下，则a2<a1<0，故答案为>.[变式2]答案a1>a2>a3>a4解析对于x轴上方的图像，开口向上，函数y=a1x2的图像的开口小于函数y=a2x2的图像的开口，则a1>a2>0.对于x轴下方的图像，开口向下，函数y=a3x2的图像的开口大于函数y=a4x2的图像的开口，则a4<a3<0，故a1>a2>a3>a4.故答案为a1>a2>a3>a4.2.(1)上；(0，0)(2)y轴；(0，0)(3)减小；增大解析自变量x的取值范围是全体实数，列表如下：x…-1-0.500.51…y=3x2…33033…描点连线，函数图像如图所示，根据图像作答即可.3.CA.由a=2>0得抛物线开口向上，故A正确，不符合题意；B.由抛物线顶点式可知顶点坐标为(-3，1)，对称轴为直线x=-3，故B正确，不符合题意；C.由抛物线对称轴以及开口方向可知，当x>-3时，y随x的增大而增大，故C错误，符合题意；D.当x=-3时，函数取得最小值1，故D正确，不符合题意.故选C.4.D二次函数图像的平移规律：左加右减自变量，上加下减常数项.把抛物线y=-x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到新的抛物线为y=-(x-2)2+3.故选D.5.<解析a=-1<0，抛物线开口向下，对称轴为直线x=4，∵x1>x2>4，在对称轴右侧y随x的增大而减小，∴y1<y2.6.解析(1)解法一：∵y最小值=-5，∴k=-5.∵A(-1，4)，B(5，4)两点均在抛物线上，且纵坐标相同，∴两点关于抛物线对称轴(直线x=h)对称，∴h=-1+52=2，∴这个抛物线的表达式为y=(x-2)2解法二：∵y最小值=-5，∴k=-5，∴y=(x-h)2-5.把A点坐标代入y=(x-h)2-5，解得h=2或-4.把B点坐标代入y=(x-h)2-5，解得h=2或8，∴h=2，∴这个抛物线的表达式为y=(x-2)2-5.(2)由(1)得y=(x-2)2-5，∴该抛物线的对称轴是直线x=2.∵点D与点E是抛物线上关于对称轴对称的两点，点D的横坐标为-2，∴点E的横坐标是2×2-(-2)=6.当x=6时，y=(6-2)2-5=11，∴E(6，11).7.D当m>0时，抛物线开口向下，对称轴在y轴右侧，一次函数图像经过第一、二、三象限；当m<0时，抛物线开口向上，对称轴在y轴左侧，一次函数图像经过第二、三、四象限.故选D.8.y1<y2<y3解析∵y=ax2-2ax-2，∴抛物线的对称轴为直线x=--2a2∵0<n<1，∴n-2<n-1<0<1<n+1<2.设点(n+1，y3)关于直线x=1对称的点的坐标为(x3，y3)，则0<x3<1，∴n-2<n-1<0<x3<1.∵a<0，∴当x<1时，y随x的增大而增大，∴y1<y2<y3，故答案为y1<y2<y3.9.1解析∵AC⊥x轴，∴当点A为抛物线顶点时，AC有最小值，∵抛物线y=x2-2x+2=(x-1)2+1，∴顶点坐标为(1，1)，∴AC的最小值为1.∵四边形ABCD为矩形，∴BD=AC，∴BD的最小值为1，故答案为1.10.15解析∵抛物线y=ax2-2ax+3(a>0)与y轴交于点A，∴A(0，3)，抛物线的对称轴为直线x=1，∴顶点P的坐标为(1，3-a)，点M的坐标为(2，3).∵点M为线段AB的中点，∴点B的坐标为(4，3).设直线OP的解析式为y=kx(k为常数，且k≠0)，将点B的坐标代入，得4k=3，解得k=34∴直线OP的解析式为y=34x当x=1时，y=34x=34，∴P∴PB=(4-1)2+11.解析(1)当b=2，c=3时，y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，∴该函数图像的顶点坐标为(1，4).(2)∵该函数图像经过点(1，-3)，∴-1+b+c=-3，∴c=-2-b，∵该二次函数图像的顶点坐标是(m，n)，∴m=-b2×(−1)=b2，n=4×(−1)×c-b24×(−1)=4∴n=-2-2m+4m24，(3)当b=2c+1时，二次函数y=-x2+(2c+1)x+c图像的对称轴为直线x=2c+12=c+1当0≤c+12≤2，即-12≤c≤32时，∵0≤x≤2，∴y的最大值为函数图像顶点的纵坐标，故4×(−1)×c-(2c+1)24×(−1)=c+(2c+1)24=8，即4c2+8c-31=0当c+12<0，即c<-12时，∵0≤x≤2，∴当x=0时，y取得最大值，故有c=8，不合题意，舍去；当c+12>2，即c>32时，∵0≤x≤2，∴当x=2时，y取得最大值，有-22+2(2c+1)+c=8，解得c=2，符合题意.综上，满足条件的c的值为2.12.D∵二次函数的图像的开口向上，对称轴在y轴的右侧，∴a>0，-b2a>0，∴b<0，∴P(a13.C∵直线l为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像的对称轴，∴对称轴在y轴右侧，又∵对称轴为直线x=-b2a，∴-b2a>0，∴当a<0时，b>0，当a>0时，b<0，∴a14.DA.由题图可知抛物线开口向下，∴a<0，故选项A错误，不符合题意；B.∵抛物线对称轴是直线x=1，开口向下，∴当x>1时，y随x的增大而减小，当x<1时，y随x的增大而增大，故选项B错误，不符合题意；C.由A(-1，0)，抛物线对称轴是直线x=1可知，B点的坐标为(3，0)，故选项C错误，不符合题意；D.抛物线y=ax2+bx+c过点(2，4a+2b+c)，由B(3，0)可知抛物线上横坐标为2的点在第一象限，∴4a+2b+c>0，故选项D正确，符合题意.故选D.能力提升全练15.A∵x=-2时，y=-2；x=-3时，y=-2，∴该二次函数图像的对称轴为直线x=-2+(-3)2=-52∵当x=-5时，y=4，∴当x=0时，y=4，∴a的值为4.故选A.16.C二次函数y=ax2+x-6的图像与x轴交于A(-3，0)，B两点，把A点坐标代入解析式，得0=9a-3-6，∴a=1，∴二次函数解析式为y=x2+x-6=x+122-254，∴图像的对称轴为直线x=-12，顶点坐标为-1抛物线开口向上，当x<-1时，y的值随x值的增大而减小，故D选项不正确，不符合题意；当y=0时，x2+x-6=0，解得x1=-3，x2=2，∴B(2，0)，∴AB=5，故C选项正确，符合题意.故选C.17.A令y=0，则0=a(x-m)(x-m-k)，解得x1=m，x2=m+k，∴抛物线对称轴为直线x=m+m+当k=2时，抛物线对称轴为直线x=m+1，把x=m+1代入y=a(x-m)(x-m-2)，得y=-a，∵a>0，∴当x=m+1时，y取得最小值，最小值为-a，故A正确，B错误；当k=4时，抛物线对称轴为直线x=m+2，把x=m+2代入y=a(x-m)(x-m-4)，得y=-4a，∵a>0，∴当x=m+2时，y取得最小值，最小值为-4a，故C、D错误.故选A.18.B根据题意可得该二次函数图像的对称轴为直线x=-b2a=--22×1=1，∵a=1>0，∴图像开口向上，∴离对称轴越远，函数值越大，∵y1<y2，∴点A到对称轴的距离小于点B到对称轴的距离，∴点A，B横坐标的平均值大于1，∴(m-1)+m19.C∵抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，∴a>0，c<0，∵抛物线对称轴为直线x=1，∴-b2a=1，∴b=-2a<0，∴abc>0，∵当x=4时，y>0，抛物线对称轴为直线x=1，∴当x=-2时，y>0，∴4a-2b+c>0，故B中结论错误；∵当x=3时，y=0，抛物线对称轴为直线x=1，∴当x=-1时，y=0，∴a-b+c=0，又∵b=-2a，∴3a+c=0，故C中结论正确；∵抛物线对称轴为直线x=1，且抛物线开口向上，∴二次函数的最小值为a+b+c=a-2a+c=-a+c，∴am2+bm+c≥-a+c，∴am2+bm+a≥0，故D中结论错误.故选C.20.B已知抛物线y=ax2+4ax+3(a是常数，a≠0)，∴抛物线的对称轴为直线x=-4a2a=-2当x=0时，y=3，∴点(0，3)在抛物线上，故②正确；当a>0时，y1>y2，当a<0时，y1<y2，故③错误；由P1，P2是抛物线上的点且y1=y2，可知点P1，P2关于直线x=-2对称，故x1+x22=-2，∴x1+x221.B已知抛物线过(-1，0)和(m，0)两点，则对称轴为直线x=m+(−1)2=∵3<m<4，∴1<m-12<32，即1<-b对于①，∵a<0，∴b>0，当x=-1时，y=a-b+c=0，则c>0，∴abc<0，故结论①错误；对于②，∵-b2a>1，∴2a>-b，∴3a+c=a+2a+c>a-b+c=0，即3a+c>0，对于③，已知抛物线过(-1，0)和(1，4)两点，可得a-b+c=0，a+b+c=4，两式相减得2b=4，解得b=2，由1<-b2a<32可得1<-22a<32，22.C∵DE是边长为4的等边△ABC的中位线，∴AD=DB=DE=2，AB=4，∠B=60°.分两种情况：①当0<t≤2时，点P在AD上，B，D，P，Q四点围成的图形是三角形，∵AP=BQ=t，∴BP=AB-AP=4-t，∵BQ边上的高h=BP·sin∠B=32(4-t)，∴△BPQ的面积S=12BQ·h=12t·32(4-t)=-34t②当2<t≤4时，点P在DE上，B，D，P，Q四点围成的图形是梯形，DP=t-2，BQ=t，梯形的高h1=BD·sin∠B=3，∴梯形BDPQ的面积=12(DP+BQ)·h1=12(t-2+t)×3=3t-只有C选项中的函数图像符合.故选C.23.-1<n<0解析∵y=ax2-2ax+b，a>0，∴抛物线的对称轴为直线x=--2a2a=1已知A(2n+3，y1)，B(n-1，y2)分别位于抛物线对称轴的两侧，假设点B在对称轴的右侧，则n-1>1，解得n>2，∴2n+3>7>1，∴A点也在对称轴的右侧，与已知矛盾，故点A在对称轴的右侧，∴2n+3>1,n-1<1∴2n+2<2-n，解得n<0，∴-1<n<0，故答案为-1<n<0.24.17解析根据D点坐标，有m=22-6×2+5=-3，所以D(2，-3).易得C(0，5)，B(5，0).设BC所在直线解析式为y=kx+b(k≠0)，其过点C(0，5)，B(5，0)，得b=5,5k当E点在线段BC上时，如图1，设E(a，-a+5)，∠DEB=∠DCE+∠CDE，∵∠DEB=2∠DCB，∴∠DCE=∠CDE，∴CE=DE.已知E(a，-a+5)，C(0，5)，D(2，-3)，∴a2+(-解得a=175，-a+5=85，∴E点的坐标为 在△BDC中，BD2=(5-2)2+32=18，BC2=52+(-5)2=50，DC2=(5+3)2+(-2)2=68，∴BD2+BC2=DC2，∴BD⊥BC，如图2，延长EB至E'，取BE'=BE，连接DE'.则△DEE'为等腰三角形，DE=DE'，∴∠DEE'=∠DE'E.又∵∠DEB=2∠DCB，∴∠DE'E=2∠DCB，∴E'为符合题意的点，且E点与E'点关于点B对称，∵OC=OB=5，∴∠OBC=45°，则E'的横坐标为5+5−175=335，纵坐标为-5−175=-综上，E点的坐标为175,825.解析(1)∵y=4-(6-x)2=-(x-6)2+4，∴对称轴为直线x=6.∵-1<0，∴抛物线开口向下，有最大值，y的最大值为4.把P(a，3)的坐标代入y=4-(6-x)2中，得4-(6-a)2=3，解得a=5或a=7，∵点P(a，3)在抛物线C的对称轴右侧，∴a=7.(2)∵y=-x2+6x-9=-(x-3)2，∴抛物线y=-x2+6x-9是由抛物线y=-(x-6)2+4向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到的，平移距离为32+426.解析(1)过A点作AD⊥x轴