6.5 相似三角形的性质 同步练习

第6章图形的相似6.5相似三角形的性质基础过关全练知识点1相似三角形的性质1.(2022江苏连云港中考)△ABC的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的三角形DEF，其最长边长为12，则△DEF的周长是()A.54 B.36 C.27 D.212.(2022广西贺州中考)如图，在△ABC中，DE∥BC，DE=2，BC=5，则S△ADE∶S△ABC的值是()A.325 B.4253.(2023山东聊城月考改编)如果两个相似三角形的面积比为4∶9，那么它们的对应边上中线的比为.

4.(2023山东济南高新区期末)如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成矩形零件PQMN，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上.(1)当点P恰好为AB的中点时，PQ=；

(2)当PQ=40mm时，求出PN的长度；(3)若PN∶PQ=1∶2，则这个矩形的长、宽各是多少?知识点2相似多边形的性质5.(2023山东青岛李沧期中)将等边三角形、菱形、矩形、正方形各边向外平移1个单位并适当延长，得到如图所示的4组图形，变化前后的两个多边形一定相似的有()A.1组 B.2组 C.3组 D.4组6.(2023湖南常德临澧期中)某校有两块相似的多边形草坪，其面积比为9∶4，其中较大的一块草坪的周长是36米，则另一块草坪的周长是.

7.某图案上有五个五角星，其中大五角星的边长是小五角星边长(4个小五角星一样大)的3倍，那么大五角星的面积与4个小五角星面积和的比是.

8.小李准备进行如下的操作，把一根长50cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个长、宽不等的矩形，两矩形相似且相似比为2∶3.(1)要使这两个矩形的面积之和为78cm2，则较小矩形的长、宽各是多少?(2)小李认为这两个矩形的面积和不可能为91cm2，你同意吗?说明理由.能力提升全练9.(2021西藏中考)如图，在平面直角坐标系中，△AOB的面积为278，BA垂直x轴于点A，OB与双曲线y=kx(k≠0)相交于点C，且BC∶OC=1∶2，则A.-3 B.-94 C.3 10.(2020四川内江中考)如图，在△ABC中，D、E分别是AB和AC的中点，S四边形BCED=15，则S△ABC=()A.30 B.25 C.22.5 D.20[变式1](2022湖南郴州模拟)如图，在△ABC中，DE∥BC，DEBC=23，△ADE的面积是8，则四边形[变式2](2023吉林长春德惠期末)如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，∠ADE=∠C，四边形DBCE的面积是△ADE面积的3倍.若DE=3，则BC的长为.

11.(2023山东济南历下期中)图1是装满了液体的高脚杯，用去部分液体后，放在水平的桌面上，如图2所示，此时液面距离杯口的距离h为() 图1 图2A.85cm B.2cm C.12512.(2022浙江绍兴中考)将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形(剪掉的两个直角三角形相似)，剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD，其中∠A=90°，AB=9，BC=7，CD=6，AD=2，则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是()A.252 B.454 素养探究全练13.(2021山东青岛中考)如图，已知正方形ABCD的边长为3，E为CD上一点，连接AE并延长，交BC的延长线于点F，过点D作DG⊥AF，交AF于点H，交BF于点G，N为EF的中点，M为BD上一动点，连接MC，MN.若S△DCGS△FCE=14

第6章图形的相似6.5相似三角形的性质答案全解全析基础过关全练1.C解法一：设2对应的边长是x，3对应的边长是y，∵△ABC∽△DEF，∴2x∴x=6，y=9，∴△DEF的周长是6+9+12=27.解法二：∵△ABC∽△DEF，∴C△ABCC△DEF=412，∴2+3+42.B∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵DE=2，BC=5，∴S△ADE∶S△ABC的值为425，3.答案2∶3解析∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，面积比为4∶9，∴对应边上中线的比=相似比=2∶3，故答案为2∶3.4.解析(1)60mm.详解：∵四边形PQMN为矩形，∴PQ∥MN，即PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC，∴PQBC=APAB.∵点P恰好为AB的中点，∴AP=12AB，∴(2)设AD与PQ交于点H(图略).∵PQ∥BC，AD⊥BC，∴PQ⊥AD，由(1)知△APQ∽△ABC，∴AHAD=PQBC，∴AH80=40120，∴AH=803mm(3)设PN=xmm，∵PN∶PQ=1∶2，∴PQ=2xmm，由(2)知PQBC=AHAD，∵PQ=2xmm，AD=80mm，BC=120mm，HD=PN=xmm，∴2x120=80−x80，解得答：矩形的长为4807mm，宽为24075.C由题意得，等边三角形角对应相等，边对应成比例，两个三角形相似；菱形四条边均相等，所以边对应成比例，角也相等，所以两个菱形相似；矩形四个角均相等，但边不一定成比例，所以两个矩形不一定相似；正方形四条边均相等，所以边对应成比例，角也相等，所以正方形相似.故选C.6.答案24米解析∵面积比为9∶4，∴相似比为3∶2，设另一块草坪的周长为x米，当较大的草坪的周长是36米时，36∶x=3∶2，解得x=24，故答案为24米.7.答案9∶4解析∵大五角星的边长是小五角星边长的3倍，大五角星和小五角星是相似图形，∴相似比是3∶1，∴一个大五角星和一个小五角星面积的比是32∶12=9∶1，∴大五角星的面积与4个小五角星面积和的比是9∶4.8.解析(1)∵两矩形相似且相似比为2∶3，∴两矩形的周长的比为2∶3，两矩形的面积的比为4∶9，∴较小矩形的周长为50×22+3=20(cm)，较小矩形的面积为78×44+9=24(cm2)，设较小矩形的一边长为xcm，则与其相邻的边长为(10-x)cm，∴x(10-x)=24，整理得x2-10x+24=0，解得x1=4，x2答：较小矩形的长为6cm，宽为4cm.(2)同意.理由如下：由(1)知较小矩形的周长为20cm，假设两个矩形的面积和为91cm2，则较小矩形的面积为91×44+9=28(cm2)，设较小矩形的一边长为xcm，则与其相邻的边长为(10-x)cm，∴x(10-x)=28，整理得x2-10x+28=0，∵Δ=(-10)2-4×28=-12<0，∴方程没有实数解∴这两个矩形的面积和不可能为91cm2.能力提升全练9.A如图，过C作CD⊥x轴于D，∵BCOC=12∵BA⊥x轴，∴CD∥AB，∴△DOC∽△AOB，∴S△∵S△AOB=278，∴S△DOC=49S△AOB=49×278=32，∵双曲线y=k10.D∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE∥BC，DE=12BC，∴△ADE∽△ABC∴S△ADES△ABC=DEBC2=14，即S△ADE∶15=1∶3，∴S△ADE=5，∴S△ABC=5+15=20.故选D.[变式1]答案10解析∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵DEBC=23，∴S△ADES△ABC=232=49，∵△ADE的面积是8，∴△[变式2]答案6解析∵∠ADE=∠C，∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，∵四边形DBCE的面积是△ADE面积的3倍，∴S△ABC=S△ADE+3S△ADE=4S△ADE，∴S△ADES△ACB=14，∴DEBC11.A如图，过O作ON⊥CD于N，交AB于M，∵CD∥AB，∴OM⊥AB，∵OC=OD，∴CN=12CD=3cm∴ON=OC2−∵CD∥AB，∴△CDO∽△ABO，∴OAOC∴35=OM4，∴OM=125cm，∴h12.A①如图所示(四边形ABEF为矩形)，由已知可得，△DFE∽△ECB，则DFEC设DF=x，CE=y，则xy=9∴DE=CD+CE=6+214=45EB=DF+AD=274+2=35②如图所示(四边形ABEF为矩形)，由已知可得，△DCF∽△FEB，则DCFE设FC=m，FD=n，则69=m∴FD=10，故选项C不符合题意，BF=FC+BC=8+7=15.③如图所示(四边形ABEF为矩形)，此时两个直角三角形的斜边长为6和7.故选A.素养探究全练13.答案210解析连接AM(图略)，∵四边形ABCD是正方形，∴A点与C点关于BD对称，∴CM=AM，∴MN+CM=MN+AM≥AN，∴当A、M、N三点共线时，MN+CM的值最小，最小值为AN的长.∵AD∥CF，∴∠DAE=∠F，∵DG⊥AF，∴∠CDG+∠DEH=90°，∵∠DAE+∠D