29.5 正多边形与圆 同步练习

第二十九章直线与圆的位置关系29.5正多边形与圆基础过关全练知识点1正多边形与圆的关系1.如图，△ABC为☉O的内接正三角形，如果正三角形的边心距为3，知识点2与正多边形有关的概念和计算2.如图，☉O的内接正六边形ABCDEF的边长为1，则BC的长为()A.14π B.13π C.23π[变式·改为求圆周角]如图，正六边形ABCDEF内接于☉O，点M在AF上，则∠BME的度数为()A.72° B.45° C.60° D.90°3.在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同、天下一家”的主题，让世界观众感受到了中国人的浪漫.如图，将“雪花”图案(边长为4的正六边形ABCDEF)放在平面直角坐标系中，若AB与x轴垂直，顶点A的坐标为(2，-3)，则顶点C的坐标为()A.(2-23，3) B.(0，1+23) C.(2-3，3) D.(2-23，2+3)4.如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，半径OC=4，OG⊥BC，垂足为点G，则正六边形的中心角=，边长=，边心距=.5.已知正五边形ABCDE，请仅用无刻度的直尺作图.(1)在图1中作点P，使得△BDP是等腰三角形；(2)在图2中作点O，使点O为正五边形ABCDE的中心.图1 图2知识点3正多边形的画法6.如图，在网格纸中，O、A都是格点，以O为圆心，OA为半径作圆，用无刻度的直尺完成以下画图：画圆O的一个内接正六边形ABCDEF.能力提升全练7.(2022四川成都中考)如图，正六边形ABCDEF内接于☉O，若☉O的周长等于6π，则正六边形的边长为()A.3 B.6 C.3 D.238.(2023河北石家庄桥西质检)如图所示，正五边形ABCDE的顶点A，B在射线OM上，顶点E在射线ON上，∠AEO=2∠DEN，则∠O的度数为()A.80° B.72° C.60° D.50°9.(2023河北衡水二模)如图，BD，DF是正六边形ABCDEF的两条对角线，已知四边形ABDF的面积为8，则阴影部分的面积为()A.2 B.4 C.23 D.3310.(2023河北石家庄四十四中模拟)如图1，将一个正方形纸片沿虚线对折两次，得到图2，按照图2所示剪去一个腰长为2的等腰直角三角形，展开后得到一个如图3所示的正八边形ABCDEFGH，将剪下的四个等腰直角三角形拼成一个正方形JKMN，放在正八边形内部，MN与BA重合，L为EF的中点，连接LK.(1)正方形JKMN的边长为；

(2)将正方形JKMN绕点A顺时针旋转度，JN与HA重合，旋转前LK的长为.

11.(2022浙江金华中考)如图1，正五边形ABCDE内接于☉O，阅读以下作图过程，并回答下列问题：作法：如图2.1.作直径AF.2.以F为圆心，FO的长为半径作圆弧，与☉O交于点M，N.3.连接AM，MN，NA.(1)求∠ABC的度数.(2)△AMN是正三角形吗？请说明理由.(3)从点A开始，以DN的长为半径，在☉O上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值.图1 图2素养探究全练12.(2023浙江绍兴一模)根据以下素材，操作探索以下任务：素材1六边形KHGFED就是所求的正六边形素材2如图所示的是一张边长为4cm的正方形纸片ABCD，将正方形作如下折叠：①沿对角线折叠，得到折痕AC.②把∠BAC折叠，使点B落在AC上，记为点E，得到折痕AF.③沿CE的中垂线折叠，得到折痕MN(M，N分别是该折痕与BC，CD的交点)根据提供的素材2，解决问题任务1确定角度求出∠BAF的度数任务2探索比值求出CMBC任务3思考方法根据素材2的方法，M，N就是正八边形的两个顶点，类似地，我们可以折出正八边形的其余六个顶点.深入思考：请利用正方形的对称性思考，将正方形纸片折出正八边形的八个顶点，最少需要次折叠

第二十九章直线与圆的位置关系29.5正多边形与圆答案全解全析基础过关全练1.解析如图，连接OB，连接AO并延长交BC于D，在Rt△OBD中，∠OBD=30°，OB=2OD=23即☉O的半径为232.B连接OB、OC(图略)，由题意得BC=1，∵正六边形ABCDEF是☉O的内接正六边形，∴中心角∠BOC=360°6=60°，又∵OB=OC∴△BOC是等边三角形，∴OB=OC=BC=1，则BC的长为60π×1180=13π[变式]D连接OB，OC，OD，OE，如图，∵多边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC=∠COD=∠DOE=60°，∴∠BOE=3∠COD=180°，∴∠BME=123.A如图，连接BD，CF，BD与CF交于点M，易得点B(2，1)，在Rt△BCM中，BC=4，∠BCM=12×120°=60°，∴CM=12BC=2，BM=32BC=23，∴点C的横坐标为2-23，纵坐标为1+2=3，∴点C的坐标为(2-23，4.60°；4；2解析在圆内接正六边形ABCDEF中，∠COD=360°6=60°，∵OC=OD，∴△OCD是等边三角形∴BC=CD=OC=4.∵OG⊥BC，∴CG=12BC=2，∵∠COG=12∠COD=30°，∴OG=3故答案为60°；4；235.解析(1)如图所示，点P即为所求.(提示：利用正五边形的对称性，直线CP上的点均符合(CP与BD的交点除外)，答案不唯一)(2)如图所示，点O即为所求.(提示：利用正五边形的性质，得到其两条对称轴，进而得出其中心点O的位置)6.解析设AO的延长线与圆O交于点D，根据圆的内接正六边形的性质，点D即为所求作的正六边形的一个顶点，且该正六边形的边长等于圆O的半径，故AO的垂直平分线与圆O的交点即为正六边形的顶点B和F.同理，OD的垂直平分线与圆O的交点即为正六边形的顶点C和E，连接AB、BC、CD、DE、EF、FA，如图，正六边形ABCDEF即为所求.能力提升全练7.C连接OB，OC(图略)，∵☉O的周长等于6π，∴☉O的半径为3，∵∠BOC=16×360°=60°，OB=OC，∴△OBC是等边三角形，∴BC=OB=3，∴正六边形ABCDEF的边长为3，8.C∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠AED=∠EAB=180°×(5−2)5=108°∵∠AEO=2∠DEN，∠DEN+∠AED+∠AEO=180°，∴3∠DEN+108°=180°，∴∠DEN=24°，则∠AEO=2∠DEN=48°.∵∠EAB=∠O+∠AEO，∴∠O=∠EAB-∠AEO=108°-48°=60°，故选C.9.B连接AD，过点B作BG⊥AD于点G，过点C作CH⊥AD于点H，如图所示，正六边形每个内角的度数为4×180°6=120°∴∠BAF=∠CDE=120°，∵正六边形ABCDEF关于直线AD对称，∴∠BAD=∠CDA=12×120°=60°∵BG⊥AD，CH⊥AD，∴∠AGB=∠CHD=90°，∴∠ABG=∠DCH=90°-60°=30°，∴AG=DH=12AB=12∵∠ABC+∠BAD=120°+60°=180°，∴BC∥AD，∴∠GBC=180°-90°=90°，∴∠GBC=∠BGH=∠GHC=90°，∴四边形BCHG是矩形，∴GH=BC，BG=CH，∴AD=AG+GH+DH=2BC，∴S△BCDS△ABD=1根据对称性可知S△AFD=S△ABD，S△DEF=S△BCD，∴S阴影=S△DEF+S△BCD=12S△ABD+12S△ADF=1210.(1)22(2)45；32解析本题综合考查了折叠、旋转与正八边形的性质.(1)设正方形JKMN的中心为O，由题意得OA=OB=2，∴正方形JKMN的边长MN=22+2(2)连接AD，BE，如图，正八边形的内角∠HAB=(8-2)×180°8=135°，正方形的内角∠JAB=∠ABK=90°∴∠HAJ=135°-90°=45°，即将正方形JKMN绕点A顺时针旋转45度，JN与HA重合.同理∠KBC=45°，∴∠KBC+∠BCD=180°，∴BK∥CD，由正八边形的性质知BE∥CD，∴B、K、E在同一直线上，同理A、K、D也在同一直线上，∴四边形BCDK是平行四边形，∵BK=AB=BC，∴四边形BCDK是菱形，∴DK=BK=DE=22，∠KDC=∠KBC=45°，∴∠KDE=90°，∴△DKE是等腰直角三角形，∴KE=(22)2+(22)2=4，∠KEL=135°-45°=90°，∴KL=42+(11.解析(1)五边形的内角和为(5-2)×180°=540°，∵五边形ABCDE是正五边形，正五边形的五个内角都相等，∴∠ABC=540°5(2)△AMN是正三角形，理由如下：如图，连接ON，FN，由作图知FN=FO，∵ON=OF，∴ON=OF=FN，∴△OFN是正三角形，∴∠OFN=60°，∴∠AMN=∠OFN=60°，同理∠ANM=60°，∴△AMN是正三角形.(3)如图，连接OD，由(2)知∠AMN=60°，∴∠AON=2∠AMN=120°.∵AD=2AE，∴∠AOD=2×360°5=144°，∵DN=AD-AN，∴∠NOD=144°-120°=24°，∴n=360素养探究全练12.解析任务1：∵四边形ABCD是正方形，且AC是对角线，∴∠BAC=45°.∵点B，E关于直线AF对称，∴∠BAF=12任务2：连接EM，EN，如图，∵四边形ABCD是正方形，且AC是对角线，∴∠BCA=∠DCA=45°，∵点E，C关于直线MN