第五章 二次函数（3类知识拓展）

第五章二次函数（最值、图像、阴影面积拓展）知识拓展一、二次函数的最值问题对于二次函数（表示y的最大值，表示y的最小值）（1）若自变量x的取值范围为全体实数，如图①，函数在顶点处时取到最小值．（2）若，如图②，当，；当，；（3）若，如图③，当，；当，；（4）若，且，如图④，当，；当，典例1求出下列函数的最值：（1）若x为任意实数，求函数的最小值；（2）若，求函数的最小值、最大值；（3）若，求函数的最小值、最大值；（4）若，求函数的最小值、最大值；（5）若x为整数，求函数的最小值．跟踪训练1当时，二次函数有最大值4，则实数m的值为__．典例2在平面直角坐标系中，点P的坐标为（0，2），点M的坐标为（，）（其中m为实数），当PM的长最小时，m的值为（）A． B． C．﹣3 D．﹣4跟踪训练2已知抛物线，当0≤x≤m时，y的最小值为﹣1，最大值为3，则m的取值范围为（）A．m≥2 B．0≤m≤2 C．2≤m≤4 D．m≤4一次函数、二次函数图像综合判断典例3在平面直角坐标系中，二次函数和一次函数的大致图象可能是（

）A．

B．

C．

D．

跟踪训练3一次函数与二次函数在同一个平面坐标系中图象可能是（

）A．

B．

C．

D．

典例4已知a，b是非零实数，且，在同一个坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是（

）A． B．C． D．跟踪训练4若函数y=x2(x≥0)的图象与直线y=kx+k+1有公共点，则k的取值范围是（

）A．k≤0 B．k≤－1 C．k≥－1 D．k为任意实数典例5平面直角坐标系中，点为抛物线上一动点，当时，点关于轴的对称点始终在直线的上方，则的取值范围是．平移产生的阴影面积问题典例6如图，抛物线的顶点为A，抛物线的顶点为B，过点A作轴于点C．点B作轴于点D，则阴影部分的面积为．

跟踪训练6如图，抛物线的顶点为P(－2，2)与y轴交于点A(0，3)，若平移该抛物线使其顶P沿直线移动到点，点A的对应点为，则抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积为典例7如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3交x轴于A（﹣1，0）、B（3，0），交y轴于C（0，﹣3），M是抛物线的顶点，现将抛物线沿平行于y轴的方向向上平移三个单位，则曲线CMB在平移过程中扫过的面积为（面积单位）．

跟踪训练7已知二次函数的图象如图所示．将此函数图象向右平移2个单位得抛物线的图象，则阴影部分的面积为．过关训练1、已知二次函数（h为常数），在自变量x的值满足的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（）A．1或﹣5 B．﹣1或5 C．1或﹣3 D．1或32、二次函数，当0≤x≤5时，y的取值范围为（）A．7≤y≤12 B．2≤y≤12 C．3≤y≤12 D．3≤y≤73．在同一坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能是（

）A．

B．

C．

D．

4．在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（

）A． B．

C． D．

5．在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象和二次函数的图象可能是（）A． B．

C．

D．

6．如图，将抛物线平移得到抛物线m．抛物线m经过点和原点O，它的顶点为P，它的对称轴与抛物线交于点Q，则图中阴影部分的面积为．7．如图，抛物线y1=-x2+2向右平移1个单位得到的抛物线y2.回答下列问题：(1)抛物线y2的解析式是，顶点坐标为；(2)阴影部分的面积;(3)若再将抛物线y2绕原点O旋转180°得到抛物线y3，则抛物线y3的解析式为，开口方向，顶点坐标为.8．如图，把抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移8个单位长度得到抛物线l，抛物线l的顶点为P，它的对称轴与抛物线交于点Q，则图中阴影部分的面积为．

9．如图，抛物线向右平移一个单位得到抛物线，则图中阴影部分的面积．

第五章二次函数（最值、图像、阴影面积拓展）知识拓展一、二次函数的最值问题对于二次函数（表示y的最大值，表示y的最小值）（1）若自变量x的取值范围为全体实数，如图①，函数在顶点处时取到最小值．（2）若，如图②，当，；当，；（3）若，如图③，当，；当，；（4）若，且，如图④，当，；当，典例1求出下列函数的最值：（1）若x为任意实数，求函数的最小值；（2）若，求函数的最小值、最大值；（3）若，求函数的最小值、最大值；（4）若，求函数的最小值、最大值；（5）若x为整数，求函数的最小值．【答案】见解析【解析】解析：∵∴对称轴为直线，顶点坐标为（，）（1）x为任意实数，（2）当时，y随x增大而增大∴当时，；当时，（3）当时，y先减后增∴当时，；当时，（4）当时，y随x增大而减小∴当时，；当时，（5）∵x为整数∴当时，跟踪训练1当时，二次函数有最大值4，则实数m的值为__．【答案】2或【解析】解析：二次函数对称轴为①时，取得最大值，，解得，不合题意，舍去②时，取得最大值，，解得∵不满足的范围，∴③时，取得最大值，，解得，综上所述，或时，二次函数有最大值4典例2在平面直角坐标系中，点P的坐标为（0，2），点M的坐标为（，）（其中m为实数），当PM的长最小时，m的值为（）A． B． C．﹣3 D．﹣4【答案】A【解析】解析：由两点间的距离公式可知：∴当时，最小跟踪训练2已知抛物线，当0≤x≤m时，y的最小值为﹣1，最大值为3，则m的取值范围为（）A．m≥2 B．0≤m≤2 C．2≤m≤4 D．m≤4【答案】C【解析】解析：∵∴当时，当时，有解得：，∴当或4时，又∵当时，y的最小值为﹣1，最大值为3∴一次函数、二次函数图像综合判断典例3在平面直角坐标系中，二次函数和一次函数的大致图象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【解析】解：A、二次函数的开口向下，，二次函数的对称轴在轴的左侧，，，当时，，一次函数的图象经过一、二、四象限，故A错误，不符合题意；B、二次函数的开口向下，，二次函数的对称轴在轴的右侧，，，当时，，一次函数的图象经过二、三、四象限，故B正确，符合题意；C、二次函数的开口向上，，二次函数的对称轴在轴的右侧，，，当时，，一次函数的图象经过一、二、三象限，故C错误，不符合题意；D、二次函数的开口向上，，二次函数的对称轴在轴的左侧，，，当时，，一次函数的图象经过一、三、四象限，故D错误，不符合题意；故选：B．跟踪训练3一次函数与二次函数在同一个平面坐标系中图象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【解析】解：由解析式可得：一次函数与二次函数的图象与y轴的交点都为，即交点重合，选项B，C，D满足，选项A不满足，排除A；B选项，由一次函数图象可得，此时二次函数的图象应开口向下，有可能；C选项，由一次函数图象可得，此时二次函数的图象应开口向上，不可能；D选项，由一次函数图象可得，此时二次函数的图象应开口向下，不可能；故选B．典例4已知a，b是非零实数，且，在同一个坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】解：．故二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝ax+b（a≠0）在同一平面直角坐标系中的交点在x轴上为（，0）或点（1，a+b）．在A中，由一次函数图象可知a＞0，b＞0，二次函数图象可知，a＞0，b＞0，∵∴0，∴（，0）比（1，a+b）更靠近原点，故选项A不可能；在B中，由一次函数图象可知a＞0，b＞0，二次函数图象可知，a＞0，b＞0，∵∴0，∴（，0）比（1，a+b）更靠近原点，故选项B有可能；在C中，由一次函数图象可知a＜0，b＞0，二次函数图象可知，a＜0，b＞0，由|a|＞|b|，则a+b＜0，故选项C不可能；在D中，由一次函数图象可知a＜0，b＞0，二次函数图象可知，a＜0，b＞0，由|a|＞|b|，则a+b＜0，故选项D不可能；故选：B．跟踪训练4若函数y=x2(x≥0)的图象与直线y=kx+k+1有公共点，则k的取值范围是（

）A．k≤0 B．k≤－1 C．k≥－1 D．k为任意实数【答案】C【解析】解：的图象与直线有公共点，有实数根，，∴，，此时k为任意值，又，一次函数与二次函数函数的交点在第一象限或原点，其横坐标为k+1，即，解得：．故选C．典例5平面直角坐标系中，点为抛物线上一动点，当时，点关于轴的对称点始终在直线的上方，则的取值范围是．【答案】/【解析】解：直线中，当x＝3时，y＝3-2＝1，∵A（m，n）关于x轴的对称点始终在直线y＝x-2的上方，∴当m＝3时，n＜-1，∴9a﹣3（a+1）﹣5＜-1，解得a＜，又∵a＞0，∴a的取值范围是0＜a＜．故答案为：0＜a＜．平移产生的阴影面积问题典例6如图，抛物线的顶点为A，抛物线的顶点为B，过点A作轴于点C．点B作轴于点D，则阴影部分的面积为．

【答案】4【解析】解：如图，过点作轴于点，

抛物线的顶点，抛物线的顶点，、两点关于原点对称，两抛物线的二次项系数，即抛物线开口大小相同，抛物线段绕点旋转后，与抛物线段重合，．故答案为：4．跟踪训练6如图，抛物线的顶点为P(－2，2)与y轴交于点A(0，3)，若平移该抛物线使其顶P沿直线移动到点，点A的对应点为，则抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积为【答案】12．【解析】解：连接AP，A′P′，过点A作AD⊥PP′于点D，由题意可得出：AP∥A′P′，AP＝A′P′，∴四边形APP′A′是平行四边形，∵抛物线的顶点为P（﹣2，2），与y轴交于点A（0，3），平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P′（2，﹣2），∴PO2，∠AOP＝45°，又∵AD⊥OP，∴△ADO是等腰直角三角形，∴PP′＝22＝4，∴AD＝DO＝sin45°•OA3，∴抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积为：412．故答案为：12．典例7如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3交x轴于A（﹣1，0）、B（3，0），交y轴于C（0，﹣3），M是抛物线的顶点，现将抛物线沿平行于y轴的方向向上平移三个单位，则曲线CMB在平移过程中扫过的面积为（面积单位）．

【答案】9【解析】解：如图所示，连接BC，OD，由图象可知曲线CMB在平移过程中扫过的面积=平行四边形OCBD的面积，根据题意可得：OB=3，OC=3，BD=3，所以，曲线CMB在平移过程中扫过的面积=OC×OB+OB×BD=×3×3+×3×3=9.故答案为:9．跟踪训练7已知二次函数的图象如图所示．将此函数图象向右平移2个单位得抛物线的图象，则阴影部分的面积为．【答案】8【解析】解：，顶点坐标是，二次函数向右平移2个单位得到，，顶点坐标是，，和抛物线图象相同，与抛物线围成的面积等于与抛物线围成的面积，阴影部分面积等于平行四边形的面积，阴影部分的面积为：，故答案为：8．过关训练1、已知二次函数（h为常数），在自变量x的值满足的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（）A．1或﹣5 B．﹣1或5 C．1或﹣3 D．1或3【答案】B【解析】解析：∵当时，y随x得增大而增大，当时，y随x的增大而减小∴①若，当时，y取得最小值5可得，解得或（舍去）②若，当时，y取得最小值5可得，解得或（舍去）③若，当时，y取得最小值，此种情况不符合题意，舍去∴综上所述，h的值为或52、二次函数，当0≤x≤5时，y的取值范围为（）A．7≤y≤12 B．2≤y≤12 C．3≤y≤12 D．3≤y≤7【答案】C【解析】解析：∵∴开口向上，对称轴为直线∴当时，y随x增大而增大∴当时，当时，∴当时，3．在同一坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【解析】解：由抛物线可知，，即；由直线可知，，二者矛盾，故本选项错误；B．由抛物线可知，，即，根据对称轴，可得，两者矛盾；由直线可知，，的范围不一致，故本选项错误；C．由抛物线可知，，即，根据对称轴，可得，两者矛盾；由直线可知，，的范围不一致，故本选项错误；D．由抛物线可知，，即，根据对称轴，可得；由直线可知，，的范围一致，故本选项正确；故选：D．4．在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【解析】解：A．选项中一次函数的图象经过一、二、三象限，则，二次函数的图象与y轴负半轴相交，则，矛盾，故选项不符合题意；B．选项中二次函数的图象开口向下，而的图象开口向上，矛盾，故选项不符合题意；C．一次函数的图象经过一、二、四象限，则，与y轴正半轴相交，二次函数的图象与y轴负半轴相交，则，不矛盾，故选项符合题意；D．一次函数的图象经过二、三、四象限，与一次函数的图象与y轴正半轴相交矛盾，故选项不符合题意．故选：C．5．在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象和二次函数的图象可能是（）A． B．

C．

D．

【答案】D【解析】解：A．由一次函数图象可得，则二次函数图象应开口向下，不符合题意；B．二次函数的图象没有过原点，不符合题意；C．由一次函数图象可得，则二次函数图象应开口向上，不符合题意；D．由一次函数图象可得，，则二次函数图象开口向下，对称轴应在x轴正半轴，符合题意；故选：D．6．如图，将抛物线平移得到抛物线m．抛物线m经过点和原点O，它的顶点为P，它的对称轴与抛物线交于点Q，则图中阴影部分的面积为．【答案】【解析】连接，如图∵平移后的抛物线m的函数解析式为，∴，抛物线m的对称轴为直线，当时，，则点，由于抛物线向右平移3个单位，在向上平移个单位得到抛物线所以．故答案为：．7．如图，抛物线y1=-x2+2向右平移1个单位得到的抛物线y2.回答下列问题：(1)抛