第六章 图形的相似（12类题型突破）

第六章图形的相似（题型突破）题型一比例的性质【例1】如果，那么下列比例式成立的是（

）A． B． C． D．【例2】若，则的值为（

）A． B．1 C．1.5 D．3【例3】已知四条线段a、b、c、d满足，则下列各式一定成立的是（）A． B． C． D．巩固训练1．若，且，则等于（

）A．4:3 B．3:2 C．2:3 D．3:42．若，则．题型二比例尺【例4】在一幅比例尺是1：5000000的地图上，量得上海到杭州的距离是3.4cm．那么上海到杭州的实际距离是（）A．17km B．34km C．170km D．340km【例5】、两地的实际距离米，画在地图上的距离为5厘米，则地图上的距离与实际距离的比是．巩固训练3．某地图上1cm2面积表示实际面积900m2，则该地图的比例尺是（

）A． B． C． D．4．若在比例尺为的地图上，测得两地的距离为1.5厘米，则这两地的实际距离是___________千米5．在比例尺为1：800000的盐城市地图上，大丰实验初中与滨海第一初级中学的图上距离为16cm，则实际距离为km．题型三比例线段【例6】下列各组的四条线段a，b，c，d是成比例线段的是（）A． B．C． D．【例7】已知线段是线段，的比例中项，，，则为（）cm.A． B． C． D．巩固训练6．下列各组线段中，不成比例的是（）A． B．C． D．7．线段c是线段a，b的比例中项，其中a=4，b=5，则c=8．（1）若，则___________；（2）若，则___________；（3）若，则___________．题型四由平行判断成比例的线段【例8】如图，在□ABCD中，AE＝AD，连接BE，交AC于点F，AC＝12，则AF为（）A．3 B．4 C．4.2 D．4.8【例9】如图，在中，E，F，G依次是对角线上的四等分点，连结并延长交于点M，连结并延长交于点H．若，的长为（

）A．4 B．6 C．7 D．8【例10】如图，，则．巩固训练9．已知M，N分别为上的两点，且，若，则的长为（

）A．6 B．7 C．8 D．910．如图，D、E分别是AC和AB上的点，AD＝DC＝4，DE＝3，DE∥BC，∠C＝90°，将△ADE沿着AB边向右平移，当点D落在BC上时，平移的距离为（）A．3 B．4 C．5 D．611．如图，已知一组平行线abc，被直线m、n所截，交点分别为A、B、C和D、E、F，且AB＝3，BC＝4，EF＝4.8，则DE的长为_________．题型五黄金分割【例11】某品牌汽车将汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置（如图），若车头与倒车镜的水平距离为1.58米，倒车镜到车尾部分的水平距离较长，则该车车身总长约为（

）

A．4.14米 B．2.56米 C．6.70米 D．3.82米【例12】鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，点P是的黄金分割点，若线段的长为，则的长为（

）

A． B． C． D．巩固训练12．主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处是最自然得体的，现在班级元旦晚会开始了，主持人从讲台黄金分割点C走到另一个黄金分割点D，若讲台的长为米，则的长为（

）米A． B．2 C． D．13．若线段长为，是的黄金分割点且，则线段．14．已知点C是线段的黄金分割点，，若，则的长为．15．某品牌汽车为了打造更加精美的外观，特将汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置（如图，即车尾到倒车镜的距离与车长之比为），若车头与倒车镜的水平距离为，则该车车身总长为m．16．（1）点是线段的黄金分割点，，厘米，求的长；（2）已知点是线段的黄金分割点，，求的值．题型六相似图形性质【例13】如图所示，一般书本的纸张是在原纸张多次对开后得到．矩形沿对开后，再把矩形沿对开，依此类推．若各种开本的矩形都相似，那么等于（

）A． B． C． D．【例14】下列各组四边形中是相似多边形的是（

）A．一组邻边为厘米和厘米与一组邻边为厘米和厘米的矩形B．有一个内角为的两个菱形C．边长分别为厘米和厘米的两个菱形D．两个高相等的等腰梯形【例15】两个相似多边形的面积之比为，则它们的对应高之比为（）A． B． C． D．巩固训练17．若一个多边形的各边长分别为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边长为24，则另一个多边形的最短边长为（

）A．6 B．8 C．10 D．1218．如图，将一张两边长分别为和的矩形纸片两次对折后展开，得到四个全等的小矩形，若小矩形和原矩形相似，则x的值为（）

A．9 B．12 C．15 D．1819．下列各命题中，是真命题的是（）A．在与中，，B．底角都为的两个等腰梯形相似C．一组邻边之比为的两个平行四边形相似D．有一个内角为的两个等腰三角形相似题型七证明三角形相似（小题）【例16】如图，在中，，，垂足为D，则图中相似三角形共有（

）对．

A．0 B．1 C．2 D．3【例17】如图，以下三个三角形中，相似的是（

）A．（1）和（2） B．（2）和（3） C．（1）和（3） D．（1）和（2）和（3）【例18】如图，每个小正方形的边长均为，则下列图形中的三角形（阴影部分）与相似的是（）A． B．C． D．巩固训练20．下列条件中的两个等腰三角形不一定相似的是（

）A．都含有角 B．都含有的角C．都含有的角 D．都含有的角21．如图，四边形四边形，则的度数是．​22．在一张由复印机通过放大复印出来的纸上，一个面积为图案的一条边由原来的1cm变成4cm，则这次复印出来的图案的面积是23．一个多边形的边长分别为2，4，5，6，另一个与它相似的多边形的最长边长为24，则该多边形的最短边长为．24．若，它们的面积比为，则与的周长之比为．题型八证明三角形相似（解答题）【例19】如图，四边形四边形，且，，，，，．求，的大小和的长．

【例20】如图，点、在线段上，是等腰三角形，，且．求证：

【例21】已知：在和中，．求证：．

【例22】如图，和都是的高，相交于F点，连接．

(1)求证：；(2)若点D是的中点，，则的长为__________．巩固训练25．如图，D是上一点，，．求证：．

26．如图，在和中，于A，于D，相交于点O，，求证：．

27．如图，分别是的边上的点，，，，求证：．

28．如图，D，E分别为边上两点，且，，，．求证：．

29．如图，在中，为边上一点，连接为上一点，连接，且．求证：．

题型九相似三角形的判定与性质综合【例23】如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为（

）A．7.5 B．8 C． D．【例24】如图，的直角边，斜边，则＝；它的内接正方形的边长为．

【例25】如图，在中，，，垂足为点是的中点，的延长线与的延长线交于点．(1)求证：；(2)求证：．巩固训练30．有一块锐角三角形余料，边为，边上的高为，现要把它分割成若干个邻边长分别为和的小长方形零件，分割方式如图所示（分割线的耗料不计），使最底层的小方形的长为的边在上，则按如图方式分割成的小长方形零件最多有几个（）

A．个 B．个 C．个 D．个31．如图，梯形中，，点是边上一点，点在边上，射线交的延长线于点，且．

(1)求证：；(2)若，求的长．32．如图，交于点，点在边上，．(1)求证：；(2)若四边形的面积为16，求的面积．题型十重心【例26】如图，点为的重心，过点作，分别交、于点、，则与的周长之比为（

）A．： B．： C．： D．：【例27】如图，点为的重心，连接，则．

【例28】如图，在中，是边上的中线，G是重心，，交于点E，则．

巩固训练33．如图，在中，D是的中点，点G是的重心．，则．

34．如图，在中，点G是的重心，如果，那么与的面积之比是．

35．如图，在平面直角坐标系中，点，点C在x轴负半轴，，点M为的重心，若将绕着点O逆时针旋转90°，则旋转后三角形的重心的坐标为．

题型十一位似图形【例29】如图．三个顶点的坐标分别为，以原点为位似中心画一个三角形，使它与位似，且位似比是，则点A的对应点的坐标是（

）

A． B．或 C．或 D．【例30】如图，与是位似图形，是位似中心，点A、、的对应点分别为、、，若与的面积之比为，则的值为（

）

A． B． C． D．巩固训练36．在平面直角坐标系中，有三个点，，．以点O为位似中心，在第三象限内作与的位似图形，位似比为，则点C的坐标为．37．如图，和是以点为位似中心的位似图形，相似比为，则和的面积比是．38．如图，在平面直角坐标系中，已知，与位似，原点O是位似中心．若，则．

题型十二解决问题【例31】如图，刻度尺的分度值为．玻璃管的内径正对“30”刻度线，正对“50”刻度线，，量得，则内径长为．

【例32】晚上放学回家，小明和大华走在路灯下，突然灵机一动，想利用所学的知识测量路灯的高度．在灯光下，当大华站在D点处时，小明测得大华的影长为3米；大华沿方向行走5米到达G点，此时又测得大华的影长为4米．如果大华的身高为米，请你根据以上信息，帮助他们计算路灯的高度．

巩固训练39．如图，一棵树的高度为米，下午某一个时刻它在水平地面上形成的树影长为米，同一时刻站在附近的小明影子长为米，则他的身高为米．

40．如图，身高的小王晚上在灯柱下散步，他想通过测量自己的影长来估计路灯的高度，具体做法如下：先从路灯底部点向东走20步到点处，发现自己的影子端点落在点处，作记号后，继续沿刚才自己的影子走4步恰好到达点处，此时影子的端点在点处，已知小王和路灯的底端在同一水平线上，且小王每步的间距相同．计算路灯的高，并求影长合计为多少步．

41．如图，在甲、乙两座楼中间有一堵院墙，小明站在甲楼某层窗口前，同时小光站在乙楼某层窗口前观察这堵墙，小明、小光视线所及位置如图①所示．根据实际情况画出平面图形如图②（，，），小明从点可以看到点处，小光从点可以看到点处，点是的中点，院墙高5米，米，米，分别求小明、小光两人的观测点到地面的高度、．

第六章图形的相似（题型突破）第七章题型一比例的性质【例1】如果，那么下列比例式成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】把比例式转化为乘积式，逐项判断，即可．【详解】A、，变形为：，不符合题意；B、，变形为：，符合题意；C、，变形为：，不符合题意；D、，变形为：，不符合题意；故选：B．【例2】若，则的值为（

）A． B．1 C．1.5 D．3【答案】A【分析】先用b、d、f分别表示出a、c、e，再代入要求的式子即可．【详解】解：由，，，故选：A．【例3】已知四条线段a、b、c、d满足，则下列各式一定成立的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据比例的性质进行判断即可．【详解】解：A、由已知，可得，故本选项不符合题意；B、由已知，可得，故本选项不符合题意；C、由已知，可得，故本选项不符合题意；D、由已知，可得，那么，故本选项符合题意．故选：D．巩固训练1．若，且，则等于（

）A．4:3 B．3:2 C．2:3 D．3:4【答案】B【分析】根据比例的基本性质，若b2=ac，则b：c可求．【详解】∵a：b=3：2，且b2=ac，∴b：c=a：b=3：2．故选B．2．若，则．【答案】【分析】根据比例的性质，即可．【详解】∵，∴．故答案为：．题型二比例尺【例4】在一幅比例尺是1：5000000的地图上，量得上海到杭州的距离是3.4cm．那么上海到杭州的实际距离是（）A．17km B．34km C．170km D．340km【答案】C【分析】要求3.4厘米表示的实际距离是多少千米，根据“图上距离÷比例尺＝实际距离”，代入数值计算即可求解．【详解】解：（厘米），17000000厘米＝170千米，答：上海到杭州的实际距离是170千米，故选：C．【例5】、两地的实际距离米，画在地图上的距离为5厘米，则地图上的距离与实际距离的比是．【答案】【分析】根据比例尺=图上距离:实际距离，直接求出即可．【详解】解：250米厘米，∴比例尺；故答案为：．巩固训练3．某地图上1cm2面积表示实际面积900m2，则该地图的比例尺是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先设该地图的比例尺是1：x，根据面积比是比例尺的平方比，列出方程，求得x的值即可．【详解】解：设该地图的比例尺是1：x，根据题意得：1：x2＝1：9000000，解得x1＝3000，x2＝−3000（舍去）．则该地图的比例尺是1：3000；故选：B．4．若在比例尺为的地图上，测得两地的距离为1.5厘米，则这两地的实际距离是千米【答案】15【分析】设两地间的实际距离是xcm，由在比例尺为1：1000000的地图上，量得两地间的距离为1.5厘米，即可得方程，解方程即可求得x的值，然后换算单位即可求得答案．【详解】解：设两地间的实际距离是xcm，∵比例尺为1：1000000，量得两地间的距离为1.5cm，∴，解得：x=1500000，∵1500000cm=15km，∴两地间的实际距离是15千米，故答案为：15．5．在比例尺为1：800000的盐城市地图上，大丰实验初中与滨海第一初级中学的图上距离为16cm，则实际距离为km．【答案】128【分析】根据比例尺直角计算即可．【详解】解：设实际距离为xcm，∵比例尺为1：800000，∴16：x=1：800000x=1280000012800000cm=128km；故答案为：128．题型三比例线段【例6】下列各组的四条线段a，b，c，d是成比例线段的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据比例线段的定义，让最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等，对选项一一分析，即可得出答案．【详解】解：A、，故此选项不符合题意；B、，故此选项不符合题意；C、，故此选项不符合题意；D、，故此选项符合题意，故选：D．【例7】已知线段是线段，的比例中项，，，则为（）cm.A． B． C． D．【答案】C【详解】根据题意可得，代入数值，解答出即可，注意线段为正值．【解答】解：由题意得，∵，∴∴，（舍）∴．故选：C．巩固训练6．下列各组线段中，不成比例的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】四条线段成比例，根据线段的长短关系，从小到大排列，判断中间两项的积是否等于两边两项的积，相等即成比例；不相等即不成比例．【详解】A、从小到大排列，由于20×90＝30×60，所以成比例，不符合题意;B、从小到大排列，由于4×10≠6×8，所以不成比例，符合题意;C、从小到大排列，由于22×33=11×66，所以成比例，不符合题意;D、从小到大排列，由于4×4=2×8，所以成比例，不符合题意.故选B．7．线段c是线段a，b的比例中项，其中a=4，b=5，则c=【答案】【分析】根据比例中项的定义可得c2=ab，从而易求c．【详解】∵线段c是线段a，b的比例中项，∴c2=ab，∵a=4，b=5，∴c2=20，∴c=2（负数舍去），故答案是2.8．（1）若，则___________；（2）若，则___________；（3）若，则___________．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）对化简得，再把代入，即可；（2）根据，得，把的值代入，即可；（3）对化简，得，把的值代入，即可【详解】（1）∵，∴；故答案为：．（2）∵，∴，∴，故答案为：．（3）∵，∴，∴．故答案为：．题型四由平行判断成比例的线段【例8】如图，在□ABCD中，AE＝AD，连接BE，交AC于点F，AC＝12，则AF为（）A．3 B．4 C．4.2 D．4.8【答案】D【分析】根据平行四边形的对边相等可得，然后求出，再根据平行线分线段成比例定理求出、的比，然后求解即可．【详解】解：在中，，，，，，，．故选：D．【例9】如图，在中，E，F，G依次是对角线上的四等分点，连结并延长交于点M，连结并延长交于点H．若，的长为（

）A．4 B．6 C．7 D．8【答案】D【分析】根据AD∥BC，得到，根据四等分点和MG得到CG，可得MC=MF=4，再证明可得HF，可得MH．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴，∵E，F，G依次是对角线BD上的四等分点，MG=1，∴，∴CG=3，∴MF=MC=MG+CG=4，∵AD∥BC，∴，∴HF=4，∴MH=MF+HF=8，故选D．【例10】如图，，则．【答案】9【分析】由平行线得出比例式，求出BC的长，即可得出求AC的长．【详解】解：∵l1∥l2∥l3，∴，即，解得：BC=6，∴AC=AB+BC=9，故答案为：9．巩固训练9．已知M，N分别为上的两点，且，若，则的长为（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】根据平行线分线段成比例列方程即可得答案．【详解】解：，，，，，，故选：C．10．如图，D、E分别是AC和AB上的点，AD＝DC＝4，DE＝3，DE∥BC，∠C＝90°，将△ADE沿着AB边向右平移，当点D落在BC上时，平移的距离为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】根据勾股定理得到，由平行线等分线段定理得到AE＝BE＝5，根据平移的性质即可得到结论．【详解】∵∠C＝90°，，∴∠ADE=∠C=90°，∴是直角三角形，∴，

∵DE∥BC，AD＝DC＝4，∴AE＝BE＝5，∴当点D落在BC上时，平移的距离为BE＝5,故选：C．11．如图，已知一组平行线abc，被直线m、n所截，交点分别为A、B、C和D、E、F，且AB＝3，BC＝4，EF＝4.8，则DE的长为．【答案】3.6【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入数据进行计算即可得到答案．【详解】解：∵a∥b∥c，∴，即，∴DE＝3.6，故答案为：3.6．题型五黄金分割【例11】某品牌汽车将汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置（如图），若车头与倒车镜的水平距离为1.58米，倒车镜到车尾部分的水平距离较长，则该车车身总长约为（

）

A．4.14米 B．2.56米 C．6.70米 D．3.82米【答案】A【分析】设整个车身长为，点C表示倒车镜位置，根据黄金分割确定的长，继而确定车身长，对照选项判断即可．【详解】解：如图，设整个车身长为，点C表示倒车镜位置，

根据题意，米，∴米，∴车长米，故选A．【例12】鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，点P是的黄金分割点，若线段的长为，则的长为（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根据黄金分割的定义进行计算即可解答．【详解】解：是的黄金分割点，线段的长为，，，故选：A．巩固训练12．主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处是最自然得体的，现在班级元旦晚会开始了，主持人从讲台黄金分割点C走到另一个黄金分割点D，若讲台的长为米，则的长为（

）米A． B．2 C． D．【答案】A【分析】不妨设点C靠近点A，根据黄金分割点的定义求出的长即可得到答案．【详解】解：不妨设点C靠近点A，∵讲台的长为米，C、D都是讲台的黄金分割点，∴米，∴，∴米，故选A．13．若线段长为，是的黄金分割点且，则线段．【答案】/【分析】根据黄金分割的概念及得到，从而求出的长，再根据进行计算即可得到答案．【详解】解：是的黄金分割点且，，线段长为，，，故答案为：．14．已知点C是线段的黄金分割点，，若，则的长为．【答案】【分析】根据黄金分割点的定义解答，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项．【详解】解：点C是线段的黄金分割点，，设，，，，，，（舍去），，故答案为：．15．某品牌汽车为了打造更加精美的外观，特将汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置（如图，即车尾到倒车镜的距离与车长之比为），若车头与倒车镜的水平距离为，则该车车身总长为m．【答案】5【分析】设该车车身总长为，利用黄金分割点的定义得到汽车倒车镜到车尾的水平距离为，则根据题意列方程，然后解方程即可．【详解】解：设该车车身总长为，∵汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置，∴汽车倒车镜到车尾的水平距离为，∴，解得，即该车车身总长为5米．故答案为：5．16．（1）点是线段的黄金分割点，，厘米，求的长；（2）已知点是线段的黄金分割点，，求的值．【答案】（1）厘米；（2）或．【分析】（1）根据条件建立等式，求解即可；（2）利用分类讨论的思想讨论出黄金分割点，得出与原线段比例分别为和，然后建立等式求解．【详解】解：（1）根据黄金分割点定义，且，可知，此时厘米；（2）线段的黄金分割点有两个，与原线段比例分别为和，故或．题型六相似图形性质【例13】如图所示，一般书本的纸张是在原纸张多次对开后得到．矩形沿对开后，再把矩形沿对开，依此类推．若各种开本的矩形都相似，那么等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据矩形的面积是矩形面积的2倍，得出相似图形面积比是相似比的平方，进而得出的值【详解】解：∵矩形的面积是矩形面积的2倍，∴∵各种开本的矩形都相似，∴，∴．故选：B．【例14】下列各组四边形中是相似多边形的是（

）A．一组邻边为厘米和厘米与一组邻边为厘米和厘米的矩形B．有一个内角为的两个菱形C．边长分别为厘米和厘米的两个菱形D．两个高相等的等腰梯形【答案】B【分析】根据相似多边形的定义，即可求解．【详解】解：B菱形一个内角确定，则每个内角都可以确定下来，同时，菱形四边相等，对应成比例，是相似多边形，则B选项符合题意；A选项边不对应成比例，不是相似多边形，则A选项不符合题意；C选项菱形有不稳定性，形状不固定，不是相似多边形，则C选项不符合题意；D选项等腰梯形形状不固定，不是相似多边形，则D选项不符合题意．故选：B【例15】两个相似多边形的面积之比为，则它们的对应高之比为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用相似多边形面积的比等于相似比的平方，即可求得相似多边形的相似比，再由相似多边形对应高的比等于相似比即可求得结果．【详解】解：∵两个相似多边形的面积之比为，∴相似比是，又∵相似多角形对应高的比等于相似比，∴对应边上高的比为．故选：A．巩固训练17．若一个多边形的各边长分别为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边长为24，则另一个多边形的最短边长为（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【分析】根据相似多边形的性质进行解答即可．【详解】解：设另一个多边形的最短边长为x，根据题意得：，解得：，故选：B．18．如图，将一张两边长分别为和的矩形纸片两次对折后展开，得到四个全等的小矩形，若小矩形和原矩形相似，则x的值为（）

A．9 B．12 C．15 D．18【答案】B【分析】求出折叠后小矩形的一条边长，然后根据相似图形的性质列式计算即可．【详解】解：∵大矩形的一条边长为，∴折叠后小矩形的一条边长为，∵小矩形和原矩形相似，∴，解得（负值已舍去），故选：B．19．下列各命题中，是真命题的是（）A．在与中，，B．底角都为的两个等腰梯形相似C．一组邻边之比为的两个平行四边形相似D．有一个内角为的两个等腰三角形相似【答案】D【分析】根据相似三角形的判定定理、相似多边形的判定定理、等腰梯形、平行四边形的性质判断即可．【详解】解：A、在与中，，，则，原说法错误；B、底角都为的两个等腰梯形对应边的比不一定相等，则不一定相似，原说法错误；C、一组邻边之比为的两个平行四边形，对应角不一定相等，不一定相似，原说法错误；D、有一个内角为的两个等腰三角形相似，原说法正确；故选：D．题型七证明三角形相似（小题）【例16】如图，在中，，，垂足为D，则图中相似三角形共有（

）对．

A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】可证得，，所以相似三角形有3对．【详解】解：∵,∴．∵，∴．∵，∴．∵，∴．∴共有3对相似三角形．故选：D【例17】如图，以下三个三角形中，相似的是（

）A．（1）和（2） B．（2）和（3） C．（1）和（3） D．（1）和（2）和（3）【答案】B【分析】由两角对应相等的两个三角形相似．即可判断．【详解】第（1）个三角形的第三角是，第（2）个三角形的第三角是，第（3）个三角形的第三角是，∴（2）和（3）两个三角形的两角对应相等，∴（2）和（3）两个三角形相似．故选：B．【例18】如图，每个小正方形的边长均为，则下列图形中的三角形（阴影部分）与相似的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据题意可得：，，，然后根据三组对应边的比相等的两个三角形相似可对各选项进行判定即可．【详解】解：∵每个小正方形的边长均为，∴，，，A．该三角形的三边分别为：，，，但，则这个三角形与不相似，故此选项不符合题意；B．该三角形的三边分别为：，，，且，则这个三角形与相似，故此选项符合题意；C．该三角形的三边分别为：，，，但，则这个三角形与不相似，故此选项不符合题意；D．该三角形的三边分别为：，，，但，则这个三角形与不相似，故此选项不符合题意．故选：B．巩固训练20．下列条件中的两个等腰三角形不一定相似的是（

）A．都含有角 B．都含有的角C．都含有的角 D．都含有的角【答案】B【分析】根据相似三角形的判定及等腰三角形的性质对各个选项进行分析，从而得到答案．【详解】解：A、有一个角是的两个等腰三角形的三组角分别对应相等，所以这两个三角形相似，不符合题意；B、当一个等腰三角形的底角为，而另一个等腰三角形的顶角是时，这两个等腰三角形不相似，符合题意；C、有一个角是的两个等腰三角形的三组角分别对应相等，所以这两个三角形相似，不符合题意；D、有一个角是的两个等腰三角形的三组角分别对应相等，所以这两个三角形相似，不符合题意；故选：B．21．如图，四边形四边形，则的度数是．​【答案】【分析】利用相似多边形对应角相等即可求解．【详解】解：∵四边形四边形，∴，∴，故答案为：．22．在一张由复印机通过放大复印出来的纸上，一个面积为图案的一条边由原来的1cm变成4cm，则这次复印出来的图案的面积是【答案】32【分析】复印前后的图案按照比例放大或缩小，因此它们是相似图形，按照相似图形的面积比等于相似比的平方求解即可．【详解】解：∵在一张由复印机通过放大复印出来的纸上，一个面积为图案的一条边由原来的1cm变成4cm，∴相似比，∴面积比，∴这次复印出来的图案的面积．故答案是：32．23．一个多边形的边长分别为2，4，5，6，另一个与它相似的多边形的最长边长为24，则该多边形的最短边长为．【答案】8【分析】该多边形的最短边长为．利用相似多边形的性质构建方程求解即可．【详解】解：该多边形的最短边长为．由相似多边形的性质可知：，，故答案为：8．24．若，它们的面积比为，则与的周长之比为．【答案】【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出相似比，可得与的相似比；即可得与的周长之比．【详解】已知与相似且面积之比为，得与的相似比为；得与的周长之比为．故答案为．题型八证明三角形相似（解答题）【例19】如图，四边形四边形，且，，，，，．求，的大小和的长．

【答案】，，．【分析】由四边形四边形，根据相似四边形的对应角相等，即可求得，，又由四边形的内角和等于，即可求得的度数；根据相似四边形的对应边成比例，即可求得的长．【详解】解：∵四边形四边形，，，∴，，∵，∴，∵四边形四边形，∴，∵，，，∴，解得：．∴，，．【例20】如图，点、在线段上，是等腰三角形，，且．求证：

【答案】见解析【分析】由相似三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可得，由外角的性质可得，可得结论．【详解】解：证明：，，，，，，又，．【例21】已知：在和中，．求证：．

【答案】见解析【分析】直接在线段（或它的延长线）上截取，得出，再证明，进而得出答案．【详解】证明：在线段（或它的延长线）上截取，过点D作，交于点E，

∵，∴，∴，又，，∴，，∴，在和中，∴，∴．【例22】如图，和都是的高，相交于F点，连接．

(1)求证：；(2)若点D是的中点，，则的长为__________．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据相似三角形的判定，即，再根据即可证明结论；（2）根据垂直平分线的性质可得，由(1)，可得，再根据勾股定理即可求出的长；【详解】（1）证明:∵是的高,∴,∵,∴，∴，即，又∵,∴；（2）∵点是的中点,,∴,在中,∵,，，∵，，，，．故答案为：．巩固训练25．如图，D是上一点，，．求证：．

【答案】见解析【分析】先根据平行线的性质得到，再由，即可证明．【详解】证明：∵，∴，又∵，∴．26．如图，在和中，于A，于D，相交于点O，，求证：．

【答案】见解析【分析】先根据直角三角形的性质，得，再根据相似三角形的判定即可．【详解】证明：∵于A，于D，∴，又∵，∴，又∵，∴，,∴，∴．27．如图，分别是的边上的点，，，，求证：．

【答案】见解析【分析】首先求出的长，再求出，根据即可证明．【详解】解：，，，，，又，．28．如图，D，E分别为边上两点，且，，，．求证：．

【答案】见解析【分析】根据两边对应成比例，且夹角即可证明相似．【详解】证明：，，，，，，，，，又，．29．如图，在中，为边上一点，连接为上一点，连接，且．求证：．

【答案】见解析【分析】由平行四边形的性质可得，，得到，然后由，得到，然后根据相似三角形的判定可得结论．【详解】解：∵四边形是平行四边形∴，∴∵，∴∴．题型九相似三角形的判定与性质综合【例23】如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为（

）A．7.5 B．8 C． D．【答案】C【分析】证明，求得，再根据三角形的面积关系求得结果．【详解】解：∵，∴，∴，∴．故选：C．【例24】如图，的直角边，斜边，则＝；它的内接正方形的边长为．

【答案】【分析】由勾股定理可求出的长度，由正方形的性质证明，利用相似三角形的性质即可求出正方形的边长．【详解】解：∵的直角边，斜边，∴，设正方形的边长为x，则，∵四边形是正方形，∴，∴，，∴，∴，即，解得：，故答案为：；．【例25】如图，在中，，，垂足为点是的中点，的延长线与的延长线交于点．(1)求证：；(2)求证：．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据直角三角形，斜边上的中线等于斜边的一半得出，可得进而证明，即可证明，根据相似三角形的性质，即可得证；（2）证明可得，由（1）可得，进而即可得证．【详解】（1）证明：∵，是的中点，∴，，∴，又，∴，，∴，又∵，∴，∴，∴；（2）证明：∵，∴又∵，∴∴∴∴，∵，∴，∴，即，∴，巩固训练30．有一块锐角三角形余料，边为，边上的高为，现要把它分割成若干个邻边长分别为和的小长方形零件，分割方式如图所示（分割线的耗料不计），使最底层的小方形的长为的边在上，则按如图方式分割成的小长方形零件最多有几个（）

A．个 B．个 C．个 D．个【答案】C【分析】根据题意，可得底层可以放置个小长方形，根据顶层与的边交于点，可得，由此可求出的值，可得共堆叠的层数，由此即可求解．【详解】解：∵的底边为，最底层的小长方形的长为的边在上，∴底层可以放置个小长方形，即，如图所示，顶层小长方形与的边交于点，连接，过点作于点，交于点，∴，∴，且，，，∴相似比为，∴，则，∴，∵小长方形零件的高为，∴，即可以叠四层，∴共有个，故选：．31．如图，梯形中，，点是边上一点，点在边上，射线交的延长线于点，且．

(1)求证：；(2)若，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据已知条件得出，，根据三角形的外角的性质，可得，证明，则，根据相似三角形的性质，即可得证；（2）根据（1）的结论得出比例式，代入数据，即可求解．【详解】（1）证明：∵梯形中，，∴，又∵∴∴，∴∴∴即；（2）解：∵∴∵∴，∴则∵∴，∴32．如图，交于点，点在边上，．(1)求证：；(2)若四边形的面积为16，求的面积．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据平行线分线段成比例结合已知得到，则可得，然后可得结论；（2）根据求出，然后可得的面积．【详解】（1）解：∵，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，∴；（2）解：由（1）知：，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴．题型十重心【例26】如图，点为的重心，过点作，分别交、于点、，则与的周长之比为（

）A．： B．： C．： D．：【答案】B【分析】连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接，在的延长线上取一点，使，先证四边形为平行四边形，从而得，进而可证点为的中点，从而得，则，设，则，则，再证得：：：：，然后证得相似比为：：，最后根据相似三角形的性质可得出答案．【详解】解：连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接，在的延长线上取一点，使，如图所示：点为的重心，，分别为的中线，点为的中点，点为的中点，，又，四边形为平行四边形，，即，又点为的中点，由平行线分线段成比例可知，即点为的中点，，，，设，则，，，，，，：：：：，，，，相似比为：：，与的周长之比为：，故选：B．【例27】如图，点为的重心，连接，则．

【答案】【分析】三角形的重心是三边中线的交点，根据重心分中线的线段关系（即）即可求解．【详解】解：∵点为的重心，即是的中线，∴，如图所示，过点作于点，

∴，，∴，∴，故答案为：．【例28】如图，在中，是边上的中线，G是重心，，交于点E，则．

【答案】2【分析】根据重心的概念得到，根据平行线分线段成比例定理解答．【详解】解：是重心，，，，故答案为：2．

巩固训练33．如图，在中，D是的中点，点G是的重心．，则．

【答案】4【分析】根据重心的性质，进行求解即可．【详解】解：∵D是的中点，点G是的重心，∴，∴；故答案为：4．34．如图，在中，点G是的重心，如果，那么与的面积之比是．

【答案】【分析】根据判断出和相似，再根据重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍，求出两三角形对应中线的比，也就是相似比，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方列式计算即可得解．【详解】解：延长与交于点D，

∵点G是的重心，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故答案为：．35．如图，在平面直角坐标系中，点，点C在x轴负半轴，，点M为的重心，若将绕着点O逆时针旋转90°，则旋转后三角形的重心的坐标为．

【答案】【分析】由重心的性质可得点的坐标，根据旋转的性质证全等即可求得旋转后三角形的重心的坐标．【详解】解：∵，点M为的重心∴,∵点∴点

∵将绕着点O逆时针旋转90°过点作轴，连接∵∴∵∴∴∴点故答案为：题型十一位似图形【例29】如图．三个顶点的坐标分别为，以原点为位似中心画一个三角形，使它与位似，且位似比是，则点A的对应点的坐标是（

）

A． B．或 C．或 D．【答案】B【分析】分与在原点同侧和异侧两种情况，根据位似图形对应点坐标的特点进行求解即可【详解】解：当与在原点同侧时，∵与关于原点位似，且位似比是，，∴，即；当与在原点异侧时，∵与关于原点位似，且位似比是，，∴，即；故选C．【例30】如图，与是位似图形，是位似中心，点A、、的对应点分别为、、，