第八章 统计和概率的简单应用（5类题型突破）

第八章统计和概率的简单应用（题型突破）题型一样本条形统计图扇形统计图【例1】我市有A，B，C，D，E五个景区很受游客喜爱，一旅行社对某小区居民在暑假期间去以上五个景区旅游（只选一个景区）的意向做了一次随机调查统计，并根据这个统计结果制作了如下两幅不完整的统计图：

(1)该小区居民在这次随机调查中被调查到的人数是________人，m＝________(2)若该小区有居民1200人，试估计去B地旅游的居民约有多少人？(3)小军同学已去过E地旅游，暑假期间计划与父母从A，B，C，D四个景区中，任选两个去旅游，求选到A，C两个景区的概率．（要求画树状图或列表求概率）【例2】为了解学生手机使用情况，某学校开展了“手机伴我健康行”的主题活动，学校随机抽取部分学生进行“使用手机目的”和“每周使用手机的时间”问卷调查（问卷中的问题均为单项选择），并绘制扇形统计图和条形统计图，在这次调查的学生中，手机使用目的为“玩游戏”的人数是35人．

请根据以上信息，解答下列问题：(1)在这次活动中被调查的学生共________人；所抽取的学生使用手机时间的中位数落在________范围内（填写时间段即可）；(2)直接补全条形统计图；(3)该校有学生4800人，请估算每周使用手机时间超过2小时的人数．巩固训练1．某盒子中装有6张黑色卡片和若干张白色卡片，它们除颜色外其余都相同．某班级为估计盒子中白色卡片的张数，分15个组进行摸卡片试验．每一组做300次试验，汇总后，摸到白色卡片的次数为1500次．(1)估计从盒子中任意摸出一张卡片，恰好是白色卡片的概率．(2)请你估计这个盒子中白色卡片接近多少张．2．为了落实新课改精神，许多学校都开设了“知识拓展类”、“体艺特长类”、“实践活动类”三类拓展性课程，某校为了解在周二第六节开设的“体艺特长类”中各门课程学生的参与情况，随机调查了部分学生作为样本进行统计，绘制了如图所示的统计图（部分信息未给出）某校部分学生“体艺特长类”课程参与情况扇形统计图

某校部分学生“体艺特长类”课程参与情况条形统计图

A．球类B．动漫类C．舞蹈类D．音乐类E．棋类根据图中信息，解答下列问题：(1)求被调查学生的总人数；(2)若该校有200名学生参加了“体艺特长类”中的各门课程，请估计参加棋类的学生人数；(3)根据调查结果，请你给学校提一条合理化建议．3．某校开展“垃圾分类，绿色生活”主题宣传活动．为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，该校环保社团成员在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调查，将他们的得分按优秀、良好、合格、待合格四个等级进行统计，并绘制了如下不完整的统计表和条形统计图．四个等级频率分布表等级频数频率优秀良好合格待合格四个等级条形统计图

(1)本次调查随机抽取了___________名学生；表中___________；(2)补全条形统计图；(3)若全校有名学生，请你估计该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”等级的学生的人数．题型二平均数中位数众数方差【例3】某小区共有200户居民，从中随机抽取5户，每户月均用水量如下：（单位：吨）8，10，10，13，14．由此估计这200户居民每月共用水约为吨．【例4】吴师傅从鱼塘中捕得同时放养的草鱼500尾，从中任选10尾，称得每尾鱼的质量（单位：）分别为，，，，，，，，，，则这500尾草鱼的总质量大约是．【例5】为了解某小区居民使用共享单车次数的情况，某研究小组随机采访了该小区的10名居民，得到这10名居民一周内使用共享单车的次数统计表如下：使用次数05101620人数11341(1)这10位居民一周内使用共享单车次数的中位数是______次，众数是______次；(2)若小明同学把数据“20”看成了“30”，那么中位数、方差和平均数中不受影响的是______（填“中位数”“方差”或“平均数”）；(3)该小区有2000名居民，试估计该小区居民一周内使用共享单车的总次数．【例6】在对一组样本数据进行分析时，小华列出了方差的计算公式，则下列说法错误的是（

）A．样本的方差是2 B．样本的中位数是3C．样本的众数是3 D．样本的平均数是3巩固训练4．小红家今年有苹果树棵，现进入收获期，收获时先随意采摘5棵树上的苹果，称得每棵树上的苹果质量（单位：千克）如下：，，，，，估计今年小红家一共可收获苹果千克．5．国庆长假期间，兴趣小组随机采访了位到高邮的游客使用“街兔”共享电动车的次数，得到了这位游客天内使用“街兔”共享电动车的次数，统计如下：使用次数人数(1)这位游客天内使用“街兔”共享电动车的次数的众数是____________次，中位数是____________次，平均数是____________次．(2)若国庆长假期间，每天约有位游客到高邮，试估计这些游客7天国庆长假期间使用“街兔”共享电动车的总次数．6．若一组数据2，3，4，5，6的方差是，另一组数据11，12，13，14，15的方差是，则（填“>”“<”或“=”）．7．杭州亚运会开设了“射击比赛”项目，甲、乙两个射击队都想代表国家参赛，为选拔一个比较好的队伍，组织了一次选拔赛，甲、乙两队各10人的比赛成绩如下表：甲组789710109101010乙组10879810109109(1)甲队的平均成绩是________．(2)计算乙队的平均成绩和方差．(3)已知甲队成绩的方差是1.4，哪个队的成绩更稳定？题型三由频率估计概率【例7】一个不透明的箱子里装有m个球，其中红球3个，这些球除颜色不同外其余都相同，每次搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验发现，摸到红球的频率稳定在附近，则可以估算出m的值为（）A．3 B．7 C．10 D．12【例8】一个不透明的盒子中装有红、黄两种颜色的小球共10个，它们除颜色外其他都相同．小明多次摸球后记录并放回小球重复试验，发现摸到红色小球的频率稳定在左右，由此可知盒子中黄色小球的个数可能是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【例9】昆明是我国有名的花城，它四季如春，比较适合各种花卉的生长条件，成了养殖花卉的名城，某林业部门为了考察某种花的种子在一定条件下的发芽率，做了大量的种子发芽实验，得到如下的一组统计数据：实验种子数量（颗）10050010001500200030004000发芽种子数量（颗）653466971051139621012808种子发芽的频率0.650.6920.6970.7010.6980.7000.702估计该种子在此条件下发芽的概率是（

）（结果精确到）A． B． C． D．巩固训练8．罚球是篮球比赛中得分的一个组成部分，罚球命中率的高低对篮球比赛的结果影响很大．下图是对某球员罚球训练时命中情况的统计：

下面推断中合理的是（

）A．当罚球次数是500时，该球员命中次数是411，所以“罚球命中”的概率是B．随着罚球次数的增加，“罚球命中”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该球员“罚球命中”的概率是C．由于该球员“罚球命中”的频率的平均值是，所以“罚球命中”的概率是D．若让该球员再进行1000次的罚球训练，命中的个数可能会超过812次9．对1000件某品牌毛衣进行抽检，统计合格毛衣的件数．在相同条件下，经过大量的重复抽检，发现一件合格毛衣的频率稳定在，则这1000件毛衣中合格的件数大约是件．10．在一个不透明的袋子中有50个除颜色外均相同的小球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为，估计袋中白球有个．题型四游戏的公平问题【例10】在一个不透明的盒子中放入三个红色小球和四个白色小球，每个小球上写有一个数字．其中，红色小球上的数字分别是1，2，3，白色小球上的数字分别是1，2，3，4，这些小球除颜色和数字外，其余完全相同．（1）从盒子中任意摸出一个小球，求摸出小球上的数字小于3的概率；（2）现将四个白色小球取出后，放入另外一个不透明的盒子内，此时，小明和小亮做游戏，他俩约定游戏规则：从这两个盒子中各随机摸出一个小球，若小球上的数字之和为奇数，则小明获胜；若和为偶数，则小亮获胜，请用列表或画树状图的方法说明这个游戏规则对双方是否公平．【例11】小明的爸爸拿回一张电影票，儿子小明和妹妹小利都想去看电影，于是爸爸给他们出了一个主意，方法是：从印有1，2，3，4，5，4，6，7的8张扑克牌中任取一张，抽到比4大的牌，则小明去看电影，否则小利去看电影．（1）你认为爸爸这个方法是否合理？请用概率的知识解释原因．（2）若使方法公平，你认为该如何修改这个方法？【例12】甲、乙两位同学只有一张《金刚川》的电影票，谁都想去，最后商定通过抽卡片的游戏决定．游戏规则：将正面分别写有“我”、“爱”、“实”、“验”的四张卡片（注：这四张卡片的形状、大小、质地、颜色等方面完全相同，若背面向上放在桌面上，看上去无任何差别）洗匀后，背面向上放在桌面上．从中随机抽取两张卡片，若卡片上的字能组合成“我爱”或“实验”，则甲去；否则乙去．（1）请用列表法或画树状图法中的一种方法，写出所有抽出的卡片的所有可能出现的结果；（2）你认为这个游戏公平吗？请说明理由．巩固训练11．甲、乙两位同学做一个抽卡片游戏，游戏规则如下：在大小和形状完全相同的4张卡片上分别标上字2、3、4、5，将这4张卡片放入一个不透明盒子中搅匀，参与者每次从中随机抽取一张卡片，记录数字，然后将卡片放回搅匀．（1）甲随机抽取卡片16次，其中6次抽取标有数字3的卡片，求这16次中抽取标有数字3的卡片的频率；（2）甲、乙两位同学各抽取卡片一次，若取出的两张卡片数字之和为3的倍数，则甲胜；若取出的两张卡片数字之和不为3的倍数，则乙胜．用画树状图或列表的方法说明这个游戏规则对双方是否公平．12．有2个信封，每个信封内各装有四张卡片，其中一个信封内的四张卡片上分别写有1，2，3，4四个数字，另一个信封内的四张卡片分别写有5，6，7，8四个数字．甲乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个信封中各随机抽取一张卡片，然后把卡片上的两个数相乘，如果得到的积大于20，则甲获胜；否则乙获胜．（1）请你通过列举法求甲获胜的概率；（2）你认为这个游戏公平吗？如果不公平，那么得到的两数之积大于多少时才能公平？题型五列表法或树状图法求概率【例13】袋中装有编号为1，2，3的三个质地均匀、大小相同的球，从中随机取出一球记下编号（不放回），再从袋中随机取出第二个球，两次所取球的编号的和是偶数的概率为（

）A． B． C． D．【例14】周末小明一家想到丹霞山、老厂竹海、坡上草原中的一处旅游，小颖一家想去丹霞山、坡上草原中的一处旅游，则两家恰好选择同一处景区的概率是．巩固训练13．小明和小亮下周日计划参加四项活动，分别是看电影（记为A）、郊游（记为B）、去图书馆（记为C）、滑雪（记为D），他们各自在这四项活动中任选一个，每项活动被选中的可能性相同.（1）小明选择去郊游的概率为多少；（2）请用树状图或列表法求小明和小亮选择是同一个活动的概率.14．随着盐城交通的快速发展，城乡居民出行更加便捷.如图，从甲镇到乙镇有乡村公路和省级公路两条路线；从乙镇到盐城南洋国际机场，有省级公路、高速公路和城市高架三条路线.小华驾车从甲镇到盐城南洋国际机场接人（不考虑其他因素）.(1)从甲镇到乙镇，小华所选路线是乡村公路A的概率为_________．(2)用列表或画树状图的方法，求小华两段路程都选省级公路的概率．15．一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“我”、“爱”、“中”、“国”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先摇均匀．(1)若从中任取一个球，球上的汉字刚好是“爱”的概率是多少？(2)从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图或列表的方法，求取出的两个球上的汉字能组成“中国”的概率．16、不透明的袋子中装有三个小球，除标有的数字不同外无其他差别，小球上分别标有数字“1”、“2”、“3”，每次摸球前先摇匀．(1)随机摸出一个小球，摸到的小球数字为奇数的概率为_______；(2)随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，请用列表法或画树状图法，求两次摸到的球上的数字都是奇数的概率．

第八章统计和概率的简单应用（题型突破）题型一样本条形统计图扇形统计图【例1】我市有A，B，C，D，E五个景区很受游客喜爱，一旅行社对某小区居民在暑假期间去以上五个景区旅游（只选一个景区）的意向做了一次随机调查统计，并根据这个统计结果制作了如下两幅不完整的统计图：

(1)该小区居民在这次随机调查中被调查到的人数是________人，m＝________(2)若该小区有居民1200人，试估计去B地旅游的居民约有多少人？(3)小军同学已去过E地旅游，暑假期间计划与父母从A，B，C，D四个景区中，任选两个去旅游，求选到A，C两个景区的概率．（要求画树状图或列表求概率）【答案】(1)200；35(2)420人(3)【分析】（1）用想去D景区的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再计算想去B景区的百分比得到m的值；（2）用1200乘以B区所占比值可估计该景区旅游的居民大约人数；（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出选到A，C两个景区的结果数，然后根据概率公式计算．【详解】（1）解：该小区居民在这次随机调查中被调查到的人数是（人），，∴；（2）估计去B地旅游的居民约有（人）；（3）画树状图如下：

由树状图知，共有12种等可能结果，其中选到A，C两个景区的有2种结果，所以选到A，C两个景区的概率为．【例2】为了解学生手机使用情况，某学校开展了“手机伴我健康行”的主题活动，学校随机抽取部分学生进行“使用手机目的”和“每周使用手机的时间”问卷调查（问卷中的问题均为单项选择），并绘制扇形统计图和条形统计图，在这次调查的学生中，手机使用目的为“玩游戏”的人数是35人．

请根据以上信息，解答下列问题：(1)在这次活动中被调查的学生共________人；所抽取的学生使用手机时间的中位数落在________范围内（填写时间段即可）；(2)直接补全条形统计图；(3)该校有学生4800人，请估算每周使用手机时间超过2小时的人数．【答案】(1)100，2至3(2)图见解析(3)3120【分析】（1）通过扇形统计图求出“玩游戏”对应的百分比，用“玩游戏”的人数除以其所占的百分比可得本次调查的学生人数，在根据中位数的定义即可求解；（2）求出每周使用手机的时间在3小时以上的学生人数，再补全条形统计图即可；（3）由每周使用手机时间在2小时以上的百分比乘以4800即可得到结果．【详解】（1）解：“玩游戏”对应的百分比为，在这次调查中，一共抽取的学生人数为（名）．所抽取的100名学生使用手机时间的中位数为第50，51名同学的平均数，即：所抽取的学生使用手机时间的中位数落在2至3小时范围内，故答案为：100，2至3；（2）每周使用手机的时间在3小时以上的人数为：人，

补全条形统计图，如图所示；（3）估计每周使用手机时间在2小时以上的人数约为：人，答：每周使用手机时间超过2小时的人数约为3120人．巩固训练1．某盒子中装有6张黑色卡片和若干张白色卡片，它们除颜色外其余都相同．某班级为估计盒子中白色卡片的张数，分15个组进行摸卡片试验．每一组做300次试验，汇总后，摸到白色卡片的次数为1500次．(1)估计从盒子中任意摸出一张卡片，恰好是白色卡片的概率．(2)请你估计这个盒子中白色卡片接近多少张．【答案】(1)(2)3张【分析】（1）根据概率公式即可得到结论；（2）根据题意列式计算即可．【详解】（1）解：，答：恰好是白色卡片的概率为；（2）解：总的张数：（张），白色卡片的张数：（张），答：白色卡片的张数接近3张．2．为了落实新课改精神，许多学校都开设了“知识拓展类”、“体艺特长类”、“实践活动类”三类拓展性课程，某校为了解在周二第六节开设的“体艺特长类”中各门课程学生的参与情况，随机调查了部分学生作为样本进行统计，绘制了如图所示的统计图（部分信息未给出）某校部分学生“体艺特长类”课程参与情况扇形统计图

某校部分学生“体艺特长类”课程参与情况条形统计图

A．球类B．动漫类C．舞蹈类D．音乐类E．棋类根据图中信息，解答下列问题：(1)求被调查学生的总人数；(2)若该校有200名学生参加了“体艺特长类”中的各门课程，请估计参加棋类的学生人数；(3)根据调查结果，请你给学校提一条合理化建议．【答案】(1)40人(2)40人(3)见解析【分析】（1）根据“总体样本容量所占比例”即可得出结论；（2）根据“样本容量总体所占比例”可求出参加C舞蹈类的学生人数，再由总体减去其他各样本容量算出参加E棋类的学生人数，求出其所占总体的比例，再根据比例关系即可得出结论；（3）根据条形统计图的特点，找出一条建议即可．【详解】（1）解：人，∴被调查学生的总人数为40人；（2）解：样本中参加舞蹈类课程的人数为人，∴样本中参加棋类课程的人数为人，∴估计参加棋类的学生人数为人；（3）解：因为参加A球类的学生人数最多，故建议学校增加球类课时量，希望学校多开展拓展性课程等．3．某校开展“垃圾分类，绿色生活”主题宣传活动．为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，该校环保社团成员在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调查，将他们的得分按优秀、良好、合格、待合格四个等级进行统计，并绘制了如下不完整的统计表和条形统计图．四个等级频率分布表等级频数频率优秀良好合格待合格四个等级条形统计图

(1)本次调查随机抽取了___________名学生；表中___________；(2)补全条形统计图；(3)若全校有名学生，请你估计该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”等级的学生的人数．【答案】(1)(2)见解析(3)人【分析】（1）根据等级频率分布表中合格的信息即可求解；（2）根据题意算出样本的数量即可补全统计图；（3）根据样本百分比估算总体的计算方法即可求解．【详解】（1）解：根据题意，，∴，即，∴故答案为：．（2）解：根据题意得，，∴良好的人数为人，补全条形统计图如图所示；

（3）解：（人）∴该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”等级的学生约有人．题型二平均数中位数众数方差【例3】某小区共有200户居民，从中随机抽取5户，每户月均用水量如下：（单位：吨）8，10，10，13，14．由此估计这200户居民每月共用水约为吨．【答案】2200【分析】用小区200户家庭乘以随机抽取的用户的平均月用水量即可．【详解】解：（吨），故答案为：2200．【例4】吴师傅从鱼塘中捕得同时放养的草鱼500尾，从中任选10尾，称得每尾鱼的质量（单位：）分别为，，，，，，，，，，则这500尾草鱼的总质量大约是．【答案】1250【分析】用总数量乘以样本的平均质量即可．【详解】解：估计这500尾的总质量大约为：（），故答案为：1250．【例5】为了解某小区居民使用共享单车次数的情况，某研究小组随机采访了该小区的10名居民，得到这10名居民一周内使用共享单车的次数统计表如下：使用次数05101620人数11341(1)这10位居民一周内使用共享单车次数的中位数是______次，众数是______次；(2)若小明同学把数据“20”看成了“30”，那么中位数、方差和平均数中不受影响的是______（填“中位数”“方差”或“平均数”）；(3)该小区有2000名居民，试估计该小区居民一周内使用共享单车的总次数．【答案】(1)13，16(2)中位数(3)23800次【分析】（1）根据众数、中位数分别求解可得；（2）由中位数不受极端值影响可得答案；（3）先求出平均数，用总人数乘以样本中居民的平均使用次数即可得．【详解】（1）解：这10位居民一周内使用共享单车次数的中位数是（次），众数为16次，故答案为：13，16；（2）把数据“20”看成了“30”，那么中位数，方差和平均数中不受影响的是中位数和众数，故答案为：中位数．（3）∵样本的平均数为：，∴估计该小区居民一周内使用共享单车的总次数为次．【例6】在对一组样本数据进行分析时，小华列出了方差的计算公式，则下列说法错误的是（

）A．样本的方差是2 B．样本的中位数是3C．样本的众数是3 D．样本的平均数是3【答案】A【分析】先根据方差的计算公式得出样本数据，样本平均数，方差，再根据中位数与众数的定义逐项判断即可得．【详解】解：由方差的计算公式得：这组样本数据为，∴样本的平均数是，故D正确，不符合题意；∴，故A错误，符合题意；样本的中位数是，故B正确，不符合题意；样本的众数是3，故C正确，不符合题意；故选：A．巩固训练4．小红家今年有苹果树棵，现进入收获期，收获时先随意采摘5棵树上的苹果，称得每棵树上的苹果质量（单位：千克）如下：，，，，，估计今年小红家一共可收获苹果千克．【答案】【分析】先计算平均数，用样本的平均数估算总体的平均数，进而即可求解．【详解】解：依题意，平均每棵树上的苹果质量为千克

估计今年小红家一共可收获苹果千克，故答案为：．5．国庆长假期间，兴趣小组随机采访了位到高邮的游客使用“街兔”共享电动车的次数，得到了这位游客天内使用“街兔”共享电动车的次数，统计如下：使用次数人数(1)这位游客天内使用“街兔”共享电动车的次数的众数是____________次，中位数是____________次，平均数是____________次．(2)若国庆长假期间，每天约有位游客到高邮，试估计这些游客7天国庆长假期间使用“街兔”共享电动车的总次数．【答案】(1)，，(2)【分析】（1）根据中位数、众数和平均数的定义求解即可；（2）用总人数乘以游客1天内使用“街兔”共享电动车的次数的平均数，再乘以总天数即可．【详解】（1）解：这10位游客1天内使用“街兔”共享电动车的次数的中位数是，众数是2，平均数是故答案为：，，．（2）估计这些游客7天国庆长假期间使用“街兔”共享电动车的总次数为（次）6．若一组数据2，3，4，5，6的方差是，另一组数据11，12，13，14，15的方差是，则（填“>”“<”或“=”）．【答案】【分析】先计算两组数据的平均数，再计算两组数据的方差比较即可．【详解】解：∵，，∴，，∴，故答案为：．7．杭州亚运会开设了“射击比赛”项目，甲、乙两个射击队都想代表国家参赛，为选拔一个比较好的队伍，组织了一次选拔赛，甲、乙两队各10人的比赛成绩如下表：甲组789710109101010乙组10879810109109(1)甲队的平均成绩是________．(2)计算乙队的平均成绩和方差．(3)已知甲队成绩的方差是1.4，哪个队的成绩更稳定？【答案】(1)9(2)9；1(3)乙队成绩更稳定【分析】（1）根据平均数的计算公式进行计算即可；（2）先求出乙组的平均成绩，再根据方差公式进行计算；（3）先比较出甲组和乙组的方差，再根据方差的意义即可得出答案；【详解】（1）解：甲队的平均成绩是（分）．故答案为：9．（2）乙队的平均成绩是：(分)，则方差是：；（3）∵甲队成绩的方差是1.4，乙队成绩的方差是1，∴乙队成绩更稳定；题型三由频率估计概率【例7】一个不透明的箱子里装有m个球，其中红球3个，这些球除颜色不同外其余都相同，每次搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验发现，摸到红球的频率稳定在附近，则可以估算出m的值为（）A．3 B．7 C．10 D．12【答案】C【分析】用红球的个数除以红球频率的稳定值即可．【详解】解：由题意知，的值约为，故选：C．【例8】一个不透明的盒子中装有红、黄两种颜色的小球共10个，它们除颜色外其他都相同．小明多次摸球后记录并放回小球重复试验，发现摸到红色小球的频率稳定在左右，由此可知盒子中黄色小球的个数可能是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设袋中有黄色乒乓球x个，列出方程求解即可．【详解】解：设袋中有黄色乒乓球x个，由题意得，解得：．故选：D．【例9】昆明是我国有名的花城，它四季如春，比较适合各种花卉的生长条件，成了养殖花卉的名城，某林业部门为了考察某种花的种子在一定条件下的发芽率，做了大量的种子发芽实验，得到如下的一组统计数据：实验种子数量（颗）10050010001500200030004000发芽种子数量（颗）653466971051139621012808种子发芽的频率0.650.6920.6970.7010.6980.7000.702估计该种子在此条件下发芽的概率是（

）（结果精确到）A． B． C． D．【答案】B【分析】在大量重复试验下，利用频率估计概率即可解答．【详解】解：∵随着种子数量的增多，其发芽的频率逐渐稳定在左右，∴估计该种子在此条件下发芽的概率是，故选：B．巩固训练8．罚球是篮球比赛中得分的一个组成部分，罚球命中率的高低对篮球比赛的结果影响很大．下图是对某球员罚球训练时命中情况的统计：

下面推断中合理的是（

）A．当罚球次数是500时，该球员命中次数是411，所以“罚球命中”的概率是B．随着罚球次数的增加，“罚球命中”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该球员“罚球命中”的概率是C．由于该球员“罚球命中”的频率的平均值是，所以“罚球命中”的概率是D．若让该球员再进行1000次的罚球训练，命中的个数可能会超过812次【答案】BD【分析】根据图形和各个小题的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：当罚球次数是500时，该球员命中次数是411，所以此时“罚球命中”的频率是：，但“罚球命中”的概率不一定是，故A错误，不合题意；随着罚球次数的增加，“罚球命中”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该球员“罚球命中”的概率是．故B正确，符合题意；虽然该球员“罚球命中”的频率的平均值是，但是“罚球命中”的概率不是，故C错误，不合题意．若让该球员再进行1000次的罚球训练，命中的个数可能会超过812次，故D正确，符合题意．故选BD．9．对1000件某品牌毛衣进行抽检，统计合格毛衣的件数．在相同条件下，经过大量的重复抽检，发现一件合格毛衣的频率稳定在，则这1000件毛衣中合格的件数大约是件．【答案】950【分析】用总件数乘以合格毛衣的频率即可得出答案．【详解】解：（件），故答案为：950．10．在一个不透明的袋子中有50个除颜色外均相同的小球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为，估计袋中白球有个．【答案】【分析】用袋中球的总个数乘以摸到白球的频率，据此可得．【详解】解：估计袋中白球有个，故答案为：．题型四游戏的公平问题【例10】在一个不透明的盒子中放入三个红色小球和四个白色小球，每个小球上写有一个数字．其中，红色小球上的数字分别是1，2，3，白色小球上的数字分别是1，2，3，4，这些小球除颜色和数字外，其余完全相同．（1）从盒子中任意摸出一个小球，求摸出小球上的数字小于3的概率；（2）现将四个白色小球取出后，放入另外一个不透明的盒子内，此时，小明和小亮做游戏，他俩约定游戏规则：从这两个盒子中各随机摸出一个小球，若小球上的数字之和为奇数，则小明获胜；若和为偶数，则小亮获胜，请用列表或画树状图的方法说明这个游戏规则对双方是否公平．【答案】（1）；（2）树状图见解析，这个游戏规则对双方公平．【分析】（1）根据概率公式计算即可；（2）先利用树状图法展示所有可能的结果数，再求出小明和小亮获胜的概率，然后通过比较概率的大小判断游戏规则对双方是否公平．【详解】解：（1）根据题意可得：盒子中共有7个球，其中有4个小于3，故摸出小球上的数字小于3的概率为：P（数字小于3）＝；（2）画树状图为：共有12种等可能的结果，小球上的数字之和为奇数的结果数为6，∴小明获胜的概率为：P（小明获胜）＝，小亮获胜的概率为：P（小亮获胜）＝，∵，∴这个游戏规则对双方公平．【例11】小明的爸爸拿回一张电影票，儿子小明和妹妹小利都想去看电影，于是爸爸给他们出了一个主意，方法是：从印有1，2，3，4，5，4，6，7的8张扑克牌中任取一张，抽到比4大的牌，则小明去看电影，否则小利去看电影．（1）你认为爸爸这个方法是否合理？请用概率的知识解释原因．（2）若使方法公平，你认为该如何修改这个方法？【答案】（1）不合理，见解析；（2）见解析【分析】（1）根据概率的求法进行判断即可；（2）根据概率的求法修改成概率一样的情况即可；【详解】（1）∵比4大的牌有5，6，7，∴P（抽到大于4的）=．∵不大于4的牌有1，2，3，4，4，∴P（抽到不大于4的）=，∵＞，∴这个方法不合理；（2）改成抽到大于4的牌和抽到小于4的牌；∵比4大的牌有5，6，7，∴P（大于4的牌）=，∵小于4的牌有1，2，3，∴P（小于4的牌）=．∵=，∴此时是公平的；【例12】甲、乙两位同学只有一张《金刚川》的电影票，谁都想去，最后商定通过抽卡片的游戏决定．游戏规则：将正面分别写有“我”、“爱”、“实”、“验”的四张卡片（注：这四张卡片的形状、大小、质地、颜色等方面完全相同，若背面向上放在桌面上，看上去无任何差别）洗匀后，背面向上放在桌面上．从中随机抽取两张卡片，若卡片上的字能组合成“我爱”或“实验”，则甲去；否则乙去．（1）请用列表法或画树状图法中的一种方法，写出所有抽出的卡片的所有可能出现的结果；（2）你认为这个游戏公平吗？请说明理由．【答案】（1）列表见详解，共有6种结果；（2）不公平，理由见详解．【分析】（1）从列表中可得所有可能出现的结果共有6种；（2）从（1）知，甲去的概率为，而乙去的概率为，即可判断结果．【详解】（1）用号码1，2，3，4分别表示“我”、“爱”、“实”、“验”，从中随机抽取两张卡片，列表如下：12341234则抽出的卡片的所有可能出现的结果为，，，，，共有6种；（2）从（1）知，甲去的概率为，而乙去的概率为，所以这个游戏不公平．巩固训练11．甲、乙两位同学做一个抽卡片游戏，游戏规则如下：在大小和形状完全相同的4张卡片上分别标上字2、3、4、5，将这4张卡片放入一个不透明盒子中搅匀，参与者每次从中随机抽取一张卡片，记录数字，然后将卡片放回搅匀．（1）甲随机抽取卡片16次，其中6次抽取标有数字3的卡片，求这16次中抽取标有数字3的卡片的频率；（2）甲、乙两位同学各抽取卡片一次，若取出的两张卡片数字之和为3的倍数，则甲胜；若取出的两张卡片数字之和不为3的倍数，则乙胜．用画树状图或列表的方法说明这个游戏规则对双方是否公平．【答案】（1）；（2）不公平，见解析．【分析】（1）根据频率=频数÷样本容量，计算即可；（2）画树状图，计算甲获胜的概率是，乙获胜的概率是，比较两者概率的大小，判断即可．【详解】（1）16次中抽取标有数字3的卡片的频率为：；（2）规则不公平，理由如下：画树状图，如下：两数之和有16个结果：4，5，6，7，5，6，7，8，6，7，8，9，7，8，9，10，其中，是3的倍数的和有6，6，6，9，9，5个，∴甲获胜的概率是，乙获胜的概率是，两个概率不相等，∴这个游戏的规则是不公平的．12．有2个信封，每个信封内各装有四张卡片，其中一个信封内的四张卡片上分别写有1，2，3，4四个数字，另一个信封内的四张卡片分别写有5，6，7，8四个数字．甲乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个信封中各随机抽取一张卡片，然后把卡片上的两个数相乘，如果得到的积大于20，则甲获胜；否则乙获胜．（1）请你通过列举法求甲获胜的概率；（2）你认为这个游戏公平吗？如果不公平，那么得到的两数之积大于多少时才能公平？【答案】（1）；（2）不公平，得到的积大于15能保证公平【分析】（1）通过列表法求解即可；（2）分别求出与的值，根据、是否相等判断公平性，然后根据表格确定出公平时满足的条件即可．【详解】解：（1）利用列表法得出所有可能的结果，如下表：由上表可知，该游戏所有可能的结果共16种，其中两卡片上的数字之积大于20的有5种，∴甲获胜的概率为=；（2）∵甲获胜的概率=，乙获胜的概率=，≠，∴这个游戏对双方不公平；∵从表格中可知，积大于15的共计有8种情况，∴甲获胜的概率为，乙获胜的概率，=，∴将规则改为“如果得到的积大于15，则甲获胜；否则乙获胜”能保证公平．题型五列表法或树状图法求概率【例13】袋中装有编号为1，2，3的三个质地均匀、大小相同的球，从中随机取出一球记下编号（不放回），再从袋中随机取出第二个球，两次所取球的编号的和是偶数的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】列表法求概率即可．【详解】解：由题意，列表如下：123134235345共6种等可能的结果，其中和为偶数的情况有2种，∴；故选C．【例14】周末小明一家想到丹霞山、老厂竹海、坡上草原中的一处旅游，小颖一家想去丹霞山、坡上草原中的一处旅游，则两家恰好选择同一