6.4 探索三角形相似的条件 同步练习

第6章图形的相似6.4探索三角形相似的条件基础过关全练知识点1平行线分线段成比例定理1.(2022山东临沂中考)如图，在△ABC中，DE∥BC，ADDB=23，若AC=6A.65 B.125 C.2.(2022河北石家庄一模)如图所示的是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点P表示的数是()A.1 B.2 C.103 知识点2平行线分线段成比例定理的推论3.(2020江苏盐城中考)如图，BC∥DE，且BC<DE，AD=BC=4，AB+DE=10，则AEAC的值为.4.如图，已知点O是△ABC的边BC的中点，且ABAD=23，则AE知识点3三角形相似的条件5.(2022江苏扬州高邮期末)如图，在下列四个条件：①∠B=∠C，②∠ADB=∠AEC，③AD∶AC=AE∶AB，④PE∶PD=PB∶PC中，随机抽取一个能使△BPE∽△CPD的概率是()A.0.25 B.0.5 C.0.75 D.16.(2022湖南邵阳中考)如图，在△ABC中，点D在AB边上，点E在AC边上，请添加一个条件：，使△ADE∽△ABC.

7.小明和弟弟在玩耍时，发现爸爸的汽车里面有一个三角形警示标志，他们想做一个形状相同的三角形警示标志，但是他们手中只有一把10cm长的直尺，小明的弟弟说做不出来，小明说可以做出来，你认为谁说的对呢?说明理由.知识点4三角形的重心8.如图，点G为△ABC的重心，GE∥AC，若DE=2，则DC=.

9.(2022上海黄浦期末)如图，在△ABC中，中线AD、BE相交于点O，如果△AOE的面积是4，那么四边形OECD的面积是.

能力提升全练10.(2022四川巴中中考)如图，在平面直角坐标系中，C为△AOB的OA边上一点，AC∶OC=1∶2，过C作CD∥OB交AB于点D，C、D两点纵坐标分别为1、3，则B点的纵坐标为()A.4 B.5 C.6 D.711.(2019四川凉山州中考)如图，在△ABC中，D在AC边上，AD∶DC=1∶2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，则BE∶EC=()A.1∶2 B.1∶3 C.1∶4 D.2∶312.(2022安徽安庆怀宁模拟)如图，AB与CD相交于点E，点F在线段BC上，且AC∥EF∥DB.若BE=5，BF=3，AE=BC，则BDACA.23 B.12 13.(2022江苏徐州二模)已知△ABC的一边BC=5，另两边长分别是3，4，若P是△ABC边BC上异于B，C的一点，过点P作直线截△ABC，截得的三角形与原△ABC相似，满足这样条件的直线有条.()

A.4 B.3 C.2 D.114.(2021江苏连云港中考)如图，BE是△ABC的中线，点F在BE上，延长AF交BC于点D.若BF=3FE，则BDDC=.15.(2023江苏无锡惠山期中)如图，AB、DE是☉O的直径，点C在☉O上，∠ABC=20°，点D从点C出发沿顺时针方向绕圆心O旋转α°(0<α<180)，当α=时，直径DE在△ABC中截得的三角形与△ABC相似.

16.(2020江苏苏州中考)如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为(-4，0)、(0，4)，点C(3，n)在第一象限内，连接AC、BC.已知∠BCA=2∠CAO，则n=.

17.(2022湖北襄阳中考)如图，在△ABC中，D是AC的中点，△ABC的角平分线AE交BD于点F，若BF∶FD=3∶1，AB+BE=33，则△ABC的周长为.

18.(2021江苏宿迁中考)如图，在△ABC中，AB=4，BC=5，点D、E分别在BC、AC上，CD=2BD，CE=2AE，BE交AD于点F，则△AFE面积的最大值是.

19.(2019江苏常州中考)如图，在矩形ABCD中，AD=3AB=310，点P是AD的中点，点E在BC上，CE=2BE，点M、N在线段BD上.若△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，则MN=.

20.(2022四川巴中中考)四边形ABCD内接于☉O，直径AC与弦BD交于点E，直线PB与☉O相切于点B.(1)如图1，若∠PBA=30°，且EO=EA，求证：BA平分∠PBD；(2)如图2，连接OB，若∠DBA=2∠PBA，求证：△OAB∽△CDE. 图1 图2素养探究全练21.(2023江苏扬州邗江月考)如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=6，动点E在边BC上，连接DE，过点A作AH⊥DE，垂足为H，延长AH交CD于F.(1)求证：△CDE∽△DAF；(2)当FC=2时，求EC的长；(3)若直线AF与线段BC的延长线交于点G，当△DEB∽△GFD时，求DF的长.

第6章图形的相似6.4探索三角形相似的条件答案全解全析基础过关全练1.C∵DE∥BC，∴ADDB=AEEC=23，∴AC−ECEC2.D如图，OB=1.5，OA=3，OC=10，∵PB∥AC，∴OBOA=OPOC∴OP=5.∴点P表示的数是5.故选D.3.答案2解析∵BC∥DE，∴△ADE∽△ABC，∴ADAB=DEBC=AEAC，即4AB=DE4=AEAC，∴AB·DE=16，又∵AB+DE=10，且易知AB4.答案3解析如图，过B作BF∥AC，交DE于点F，∵BF∥AC，∴∠FBO=∠C，∠BFO=∠CEO.又O为BC的中点，∴BO=CO，在△OBF和△OCE中，∠BFO=∠CEO,∠FBO=∠C,BO=CO,∴△OBF≌△OCE(AAS)，∴BF=CE，∵ABAD=23，∴BDAD=135.C由题意得∠DPC=∠EPB，①∠B=∠C，根据两角相等的两个三角形相似可得△BPE∽△CPD，②∵∠ADB=∠AEC，∴∠PDC=∠PEB，根据两角相等的两个三角形相似可得△BPE∽△CPD，③根据AD∶AC=AE∶AB，∠A=∠A，不能得到△ADB和△AEC相似，∴∠B≠∠C，故③不能使△BPE∽△CPD，④PE∶PD=PB∶PC，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可得△BPE∽△CPD，∴随机抽取一个能使△BPE∽△CPD的概率是0.75，故选C.6.答案∠ADE=∠B(答案不唯一)解析∵∠A=∠A，∴当∠ADE=∠B时，△ADE∽△ABC，故答案可以为∠ADE=∠B.(答案不唯一)7.解析小明说的对.理由：用10cm长的直尺量出三角形警示标志的各边长度，因为要求做出来的标志与原来的三角形标志形状相同，大小没有要求，可以缩小或放大相同倍数做出三根木条(或硬纸板条)，然后把它们钉起来即可.8.答案6解析∵点G为△ABC的重心，∴AG∶DG=2∶1，∵GE∥AC，∴CEDE=AGDG=2，∴CE=2DE=2×2=4，∴CD=DE+CE9.答案8解析∵在△ABC中，中线AD、BE相交于点O，∴点O是△ABC的重心，∴AO∶OD=2∶1，BO∶OE=2∶1，∵△AOE的面积是4，∴△AOB的面积=2×△AOE的面积=8，∴△BOD的面积=12×△AOB的面积=4，∴△ABD的面积=△AOB的面积+△BOD的面积=12，∴△ADC的面积=△ABD的面积=12，∴四边形OECD的面积=△ADC的面积-△AOE的面积=12-4=8能力提升全练10.C∵CD∥OB，∴ACAO=CDOB，∵AC∶OC=1∶2，∴ACAO=13，∵C、D两点纵坐标分别为1、3，∴CD=3-1=2，∴2OB=11.B解法一：如图，过O作OG∥BC，交AC于G，∵O是BD的中点，∴G是DC的中点.又AD∶DC=1∶2，∴AD=DG=GC，∴AG∶GC=2∶1，∴AO∶OE=2∶1，∴S△AOB∶S△BOE=2∶1，设S△BOE=S，S△AOB=2S，又BO=OD，∴S△AOD=2S，S△ABD=4S，∵AD∶DC=1∶2，∴S△BDC=2S△ABD=8S，∴S四边形CDOE=7S，∴S△AEC=9S，∵S△ABE=3S，∴BEEC解法二：过点D作DF∥AE交BC于F.∵O为BD中点，∴OB=OD，∴BE=EF，∵DF∥AE，∴EF∶FC=AD∶DC=1∶2，∴BE∶EC=1∶3.故选B.12.A设CF=x，∵EF∥AC，∴BFCF=BEAE，∴3x=5x+3，解得x=92，∴CF=913.B∵△ABC的一边BC=5，另两边长分别是3，4，32+42=52，∴∠BAC=90°，由于△ABC是直角三角形，过P点作直线截△ABC，则截得的三角形与△ABC有一公共角，所以只要再作一个直角即可使截得的三角形与Rt△ABC相似，过点P可作AB的垂线、AC的垂线、BC的垂线，共3条直线.故选B.14.答案3解析如图，过点E作EG∥DC交AD于G，∴∠AGE=∠ADC，∠AEG=∠C，∴△AGE∽△ADC，∴GEDC=AEAC，∵BE是△ABC的中线，∴点E是AC的中点，∴AEAC=12，∴GEDC=12，∴DC=2GE，∵BF=3FE，∴EFBF=13，∵∴△GFE∽△DFB，∴GEBD=EFBF∴BDDC15.答案50或70或160解析连接OC，当DE⊥AB时，直径DE在△ABC中截得的三角形与△ABC相似，如图，∵∠ABC=20°，OB=OC，∴∠OCB=∠ABC=20°，∴∠AOC=40°，∴∠COD=∠AOD-∠AOC=90°-40°=50°，∴α=50；当DE⊥BC时，直径DE在△ABC中截得的三角形与△ABC相似，如图，∴∠COD=∠BOD=12×(180°-40°)=70°，∴α=70当DE⊥AC时，直径DE在△ABC中截得的三角形与△ABC相似，如图，∴∠COE=∠AOE=∠ABC=20°，∴∠COD=180°-20°=160°，∴α=160.故答案为50或70或160.16.答案解析如图，设AC与y轴交于点E，过点C作CD⊥y轴于点D，则CD∥AO，∴∠DCE=∠CAO，∵∠BCA=2∠CAO，∴∠BCA=2∠DCE，∴∠DCE=∠DCB，∵CD⊥y轴，∴∠CDE=∠CDB=90°，又∵CD=CD，∴△CDE≌△CDB(ASA)，∴DE=DB，∵B(0，4)，C(3，n)，∴CD=3，OD=n，OB=4，∴DE=DB=OB-OD=4-n，∴OE=OD-DE=n-(4-n)=2n-4，∵A(-4，0)，∴AO=4，∵CD∥AO，∴△AOE∽△CDE，∴AOCD=OEDE，∴43=17.答案53解析如图，过点F作FM⊥AB于点M，FN⊥AC于点N，过点D作DT∥AE交BC于点T.∵AE平分∠BAC，FM⊥AB，FN⊥AC，∴FM=FN，∴S△ABF∴AB=3AD，设AD=DC=a，则AB=3a，AC=2a，∵AD=DC，DT∥AE，∴ET=CT，BEET=设ET=CT=b，则BE=3b，∵AB+BE=33，∴3a+3b=33，∴a+b=3，∴△ABC的周长=AB+AC+BC=5a+5b=53，故答案为53.18.答案4解析如图，连接DE.∵CD=2BD，CE=2AE，∴CECA=CDCB=23，∵∠C=∠C，∴△CDE∽△CBA，∴DEBA=CDCB=23，∠CED=∠CAB，∴DE∥BA，∴△DEF∽△ABF，∴DEAB=DFAF=23，∴S△AFE=35S△ADE，∵CE=2AE，∴S△ADE=13S△ADC，∴S△AFE=15S△ADC，∵CD=2BD，∴S△ADC=23S△ABC，∴S△AFE=215S△ABC，∵△ABC中，AB19.答案6或15解析如图所示，作PF⊥BD于F，①MN为等腰△PMN的底边，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，BC=AD=3AB=310，∴AB=CD=10，∴BD=AB2+AD2=10，∵点P是AD的中点，∴PD=12AD=3102，∵∠PDF=∠BDA，∠PFD=∠A=90°，∴△PDF∽△BDA，∴PFAB=PDBD，即PF10=310210，解得PF=32，∵CE=2BE，∴BC=AD=3BE，∴BE=CD，∴CE=2CD，∵△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，PF⊥BD，∴MF=NF，∠PNF=∠DEC，∵∠PFN=∠C=90②MN为等腰△PMN的腰，由①得PF=32，M'F=3，设M'N'=PN'=x，则FN'=3-x，在Rt△PN'F中，322+(3-x)2=x2，∴x=158，故20.证明(1)连接OB，∵直线PB与☉O相切于点B，∴∠PBO=90°.∴∠PBA+∠ABO=90°.∵∠PBA=30°，∴∠ABO=60°.又∵OA=OB，∴△AOB为等边三角形.又∵OE=AE，∴BE平分∠ABO.∴∠ABE=12∠ABO=30°=∠PBA∴BA平分∠PBD.(2)∵直线PB与☉O相切于点B，∴∠PBO=90°.∴∠PBA+∠ABO=90°.∵AC为直径，∴∠ABC=90°.∴∠OBC+∠ABO=90°.∴∠OBC=∠PBA.∵OB=OC，∴∠PBA=∠OBC=∠OCB.∴∠AOB=2∠OCB=2∠PBA.∵∠ACD=∠ABD=2∠PBA，∴∠AOB=∠ACD，又∵∠BAO=∠BDC，∴△OAB∽△CDE.素养探究全练21.解析(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠