第二十七章 圆与正多边形（14类题型突破）

第1页共2页第二十七章圆与正多边形14类题型突破重要题型题型一圆的确定与基本概念1．（2020上·上海浦东新·九年级上海民办建平远翔学校校考阶段练习）下列说法正确的是（

）A．半圆是弧 B．过圆心的线段是直径C．弦是直径 D．长度相等的两条弧是等弧2．（2020上·上海闵行·九年级统考期末）下列命题是真命题的是(

)A．经过平面内任意三点可作一个圆B．相等的圆心角所对的弧一定相等C．相交两圆的公共弦一定垂直于两圆的连心线D．内切两圆的圆心距等于两圆的半径的和3．（2022·上海徐汇·统考二模）下列说法中，正确的个数共有（）（1）一个三角形只有一个外接圆；（2）圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；（3）在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等；（4）三角形的内心到该三角形三个顶点距离相等；A．1个 B．2个 C．3个 D．4个巩固训练：1．（2023上·浙江绍兴·九年级校考期中）下列命题不正确的是（

）A．过一点有无数个圆B．过三点能作一个圆C．三角形的外心是三角形三边的中垂线的交点D．直角三角形的外接圆的直径为直角三角形的斜边2．（2023上·甘肃武威·九年级校联考阶段练习）已知⊙O的最大弦长为8cm，点A，B，C与圆心O的距离分别为2cm，4cm，6cm，则点A在圆，点B在圆，点3．（2023上·全国·九年级专题练习）如图，在⊙O中，直径为MN，正方形ABCD的四个顶点分别在半径OM、OP以及⊙O上，并且∠POM=45°，若(1)求OD的长；(2)求⊙O

题型二圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系4．（2022·上海金山·校考一模）如图，O是弧AD所在圆的圆心．已知点B、C将弧AD三等分，那么下列四个选项中不正确的是（

）A．AC=2CD B．AC=2CD C．∠AOC=2∠COD D．5．（2023上·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期中）下列命题正确的有（

）①长度相等的弧是等弧；②任意三点确定一个圆；③90°的圆周角所对的弦是直径；④相等的圆心角所对的弦相等；⑤A．0个 B．1个 C．2个 D．3个6．（2023上·河北唐山·九年级统考期中）在⊙O中AC=2CD，则弦AB与弦A．AB>2CD B．AB=2CD C．AB<2CD D．AB=CD巩固训练1．（2023上·河北唐山·九年级统考期中）在⊙O中AC=2CD，则弦AB与弦A．AB>2CD B．AB=2CD C．AB<2CD D．AB=CD2．（2023上·北京西城·九年级北京铁路二中校考期中）如图，CD是⊙O的直径，CD=8，，点B为弧AD的中点，点P是直径CD上的一个动点，则PA+PB的最小值为．

3．（2023上·九年级课时练习）如图，AB是的直径，点C，D在⊙O上，且点C，D在AB的异侧，连接AD，OD，OC．若AC所对圆心角的度数为70°，且AD∥OC，求AD所对圆心角的度数．

题型三圆周角定理7．（2023上·浙江台州·九年级校联考期中）如图，BD是⊙O的直径，点A,C在⊙O上，AB=AD,AC交BD于点G．若∠COD=126°，则∠AGB的度数为(

A．108° B．110° C．117° D．1268．（2023上·江苏南京·九年级统考期中）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，BD平分∠ABC，若∠D=20°，则∠ABDA．20° B．25° C．30° D．359．（2023上·浙江湖州·九年级统考期中）如图，在⊙O中，弦AC与半径OB交于点D，连接，若，则∠AOB的度数为（

）

A．132° B．120° C．112° D．110巩固训练1．（2023上·河南新乡·九年级校考期中）如图，点A，B，C在⊙O上，∠C+∠AOB=75°，则∠AOB的大小为A．50° B．45° C．40° D．252．（2023上·江苏泰州·九年级统考期中）如图，⊙O是△ABC的外接圆，，∠BAC=30°，则⊙O的半径长等于．3．（2023上·山东临沂·九年级统考期中）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=45°，BD是直径，且，连接CD，求BC的长．题型四90度的圆周角所对的弦是直径10．（2023·江苏宿迁·校联考二模）如图，直径为10的⊙A经过点C和点O，点B是y轴右侧⊙A优弧上一点，∠OBC=30°，则点C的坐标为（

）．A．0,5 B．0,53 C．0,5211．（2023上·河南周口·九年级校考期末）将一个含60°角的直角三角板和一个量角器按如图所示的方式放置，∠ACB=90°，其中点D所在位置在量角器外侧的读数为30°，连接DC交AB于点E，则图中∠BEC的度数是（

A．75° B．65° C．55° D．4512．（2023上·江苏扬州·九年级统考期末）如图，四边形ABCD为矩形，AB=6,BC=8，点P是线段BC上一动点，DM⊥AP，垂足为P，则BM的最小值为（

）A．5 B．245 C．485 D巩固训练1．（2022上·江苏宿迁·九年级沭阳县怀文中学校考阶段练习）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=14，BC=24，点D为线段BC上一动点，以CD为⊙O直径，作AD交⊙O于点E，则A．16 B．18 C．20 D．222．（2022上·江苏南京·九年级南京市科利华中学校考期中）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4，点D是AC边上一动点，连结BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则CE长度的最小值是．

3．（2021上·浙江绍兴·九年级新昌县七星中学校考期中）如图，∠BAC的平分线AD交△ABC外接圆于点D，若∠BAD=∠CAD=45°．连结BD，AB=2，时，(1)求⊙O的半径；(2)求BD的长(3)求AD的长题型五已知圆内接四边形求角度13．（2022上·北京朝阳·九年级统考期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠C=130°，则∠BOD的度数为（

A．50° B．100° C．130° D．15014．（2023上·山东德州·九年级校联考期中）如图，已知ABCD为⊙O的内接四边形，∠B=40°，AD=CD，则下列结论错误的是(

)A．∠D=140° B．∠ACD=20° C．∠AOC=90° D．∠15．（2023上·浙江温州·九年级温州市第八中学校考期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知点C为BD的中点，若∠A=50°，则∠CBD的度数为（

A．25° B．30° C．35° D．40巩固训练1．（2023上·山东济宁·九年级统考期中）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠A=100°，则∠BOD的度数是（

A．130° B．140° C．150° D．1602．（2023上·江苏泰州·九年级统考期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD、BC的延长线相交于点E，AB、DC的延长线相交于点F．若∠E=52°，∠F=36°，则∠A的度数为3．（2023上·福建福州·九年级校联考期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AC，连接AC，若，求∠

题型六利用垂径定理求值16．（2023上·山西朔州·九年级校考期中）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若CD=8，，则⊙O的半径为（

）A．4 B．5 C．6 D．717．（2023上·浙江丽水·九年级统考期中）如图，⊙O的半径是3，点P是弦AB延长线上的一点，连结OP，若，∠APO=30°，则弦AB的长为（

）A． B．5 C．23 D．218．（2023上·河南驻马店·九年级统考期中）如图，点在圆O上，OC⊥AB，垂足为D，若⊙O的半径是10，AB=12，则CD=（

）

A．2 B．2.4 C．3 D．4巩固训练1．（2022上·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期中）如图，⊙O的直径CD过弦AB的中点G，∠AOD=60°，则∠DCBA．120° B．60° C．50° D．302．（2023上·河南许昌·九年级统考期中）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图1．唐代陈廷章在《水轮赋》中写道“水能利物，轮乃曲成”．如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB长为8米，若点C为运行轨道的最低点，点C到弦AB所在直线的距离是2，则⊙O的半径长为3．（2023上·江苏南京·九年级统考期中）根据江心洲地质水文条件量身打造的“新时代号”泥水平衡盾构机，是目前世界上最先进的盾构设备之一，被誉为“国之重器”．如图1，盾构机核心部件——刀盘的形状是一个圆形．如图2，当机器暂停时，刀盘露在地上部分的跨度AB=12m，拱高（弧的中点到弦的距离CD）3

题型七垂径定理的实际应用19．（2023上·九年级课时练习）小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（

）

A．第①块 B．第②块 C．第③块 D．第④块20．（2023上·山东德州·九年级校联考期中）如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图，凹槽ABCD是矩形．当餐盘正立且紧靠支架于点A，D时，恰好与BC边相切，则此餐盘的半径是（

）A．10cm B．45cm C．621．（2022上·云南红河·九年级统考期末）为了落实“双减”政策，一些学校在课后服务时段开设了与冬奥会项目冰壶有关的选修课，如图，在冰壶比赛场地的一端画有一些同心圆作为营垒，其中有两个圆的半径分别约为60cm和180cm，小明掷出一球恰好沿着小圆的切线滑行出界，则该球在大圆内滑行的路径MN的长度为（

）A．240 B．2402 C．120 D．巩固训练1．（2023下·广东广州·九年级统考开学考试）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点M表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心．5米为半径的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦AB长为8米，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为（

）

A．2米 B．3米 C．4米 D．5米2．（2023上·北京丰台·九年级统考期中）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之、深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，EB=1寸，CD=10寸，则直径AB长为寸．3．（2023上·河北唐山·九年级统考期中）如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以AB为直径的半圆O，AB=52cm,MN为水面截线，MN=48

(1)作于点C，求OC的长；(2)将图中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了14cm题型八直线与圆的位置关系22．（2023上·安徽阜阳·九年级统考阶段练习）如图，直线AB与⊙O相切于点A,∠ABO=30°,⊙O的半径为3，则线段OB的长为（

）A．63 B．6 C．33 D23．（2023上·山东临沂·九年级统考期中）如图，AB切⊙O于点B，连结OA交⊙O于点交⊙O于点D，连接CD，若∠OCD=20°，则∠A的度数为（

）A．25° B．35° C．40° D．5024．（2023上·江苏连云港·九年级校考期中）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，若∠BAC=25°，则∠P的度数为（

A．45° B．50° C．55° D．60巩固训练1．（2023上·重庆·九年级重庆一中校考期中）如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，连接OC交⊙O于点D，连接AD，若∠BCO=40°，则∠OAD的度数为（

A．20° B．22° C．25° D．262．（2023上·河南漯河·九年级统考期中）如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，AC为⊙O的直径，若∠C=60°，则△PAB

3.点D在AB边上且DE⊥(1)判断直线AC与△DBE(2)若AE=62，AD=8，求tan题型九圆与圆的位置关系25．（2023下·四川泸州·九年级统考期中）如图，⊙O1，⊙O2的圆心O1，O2都在直线l上，且半径分别为2cm，3cm，O1O2=8cm．若⊙O1以A．外切 B．相交 C．内含 D．内切26．（2023上·辽宁大连·九年级统考期末）如图，长方形ABCD中，AB=4，AD=2，圆B半径为1，圆A与圆B外切，则点C、D与圆A的位置关系是（

）A．点C在圆A外，点D在圆A内 B．点C在圆A外，点D在圆A外C．点C在圆A上，点D在圆A内 D．点C在圆A内，点D在圆A外27．（2022下·上海闵行·九年级校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=7，点D在边BC上，CD=3，⊙A的半径长为3，⊙D与⊙A相交，且点B在⊙D外，那么⊙D的半径长r的取值范围是（A．1<r<4 B．2<r<4 C．1<r<8 D．巩固训练1．（2022上·新疆乌鲁木齐·九年级校考阶段练习）已知△ABC，AB=10cm，BC=6cm，以点B为圆心，以BC为半径画圆⊙B，以点A为圆心，半径为r，画圆⊙A．已知⊙A与⊙B外离，A．0<r≤4 B．0≤r≤4 C．0<r<4 D．02．（2023下·上海浦东新·九年级校考阶段练习）已知⊙O的半径OA长为3，点B在线段OA上，且OB=2，如果⊙B与⊙O有公共点，那么⊙B的半径r的取值范围是3．（2022下·四川成都·七年级统考期末）如图，AB＝a，P是线段AB上一点，分别以AP，BP为直径作圆．(1)设AP＝x，求两个圆的面积之和S；(2)当AP分别为a和12a时，比较S的大小．题型十正多边形与圆28．（2022·河北石家庄·统考二模）如图，边AB是⊙O内接正六边形的一边，点C在AB上，且BC是⊙O内接正八边形的一边，若AC是⊙O内接正n边形的一边，则n的值是（）A．6 B．12 C．24 D．4829．（2023上·福建福州·九年级统考期中）如图1，是北京故宫博物院内的太和殿上方的八角浑金蟠龙藻井，它展示出精美的装饰空间和造型艺术从分层构造上来看，太和殿藻井由三层组成：最外层为正方井，中层为正八角井，内层为圆井，图2是图1抽象出的平面图形，若最外层正方井ABCD的边长是2，则内层圆井的面积为（

）

A．π2 B．π C． D．2π30．（2023上·山东临沂·九年级统考期中）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点P在弧AB上，点Q是弧DE的中点，则∠CPQ的度数为（

A．30° B．45° C．36° D．60巩固训练1．（2023上·江苏徐州·九年级统考期中）如图，正六边形ABCDEF中，△ABD的面积为4，则正六边形ABCDEF的面积是（

）A．8 B．10 C．12 D．142．（2023上·江苏南京·九年级统考期中）如图，在正六边形ABCDEF中，点P是上任意一点，连接PC，PD，则△PCD与正六边形ABCDEF的面积之比为．

3．（2023下·安徽安庆·八年级统考期末）我们学习了，多边形中，如果各条边都相等，各个内角都相等，这样的多边形叫做正多边形．观察每个正多边形中∠α

(1)将如表的表格补充完整：正多边形边数3456______∠α度数________________________10(2)根据规律，是否存在一个正n边形，使其中的∠α=25°？若存在，直接写出n的值；若不存在，请说明理由．题型十一求弧长31．（2023上·河北张家口·九年级统考期中）如图，一条公路环绕山脚的部分是一段圆弧形状（O为圆心），过A、B两点的切线交于点C，测得∠C=120°，A，B两点之间的距离为72米．则这段公路AB的长度为（

）A．12π米 B．24π米 C．36π米 D．48π米32．（2023上·河北唐山·九年级统考期中）如图，已知⊙O的半径为6，AB，BC是⊙O的弦，若∠ABC=60°，则AC的长是（

）A．3π B．4π C．10π33．（2023上·河南商丘·九年级统考期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=40°，AB=6，斜边AB是半圆O的直径，点D是半圆上的一个动点，连接CD与AB交于点E，若BE=BC时，弧BD的长为（

A．43π B．73π C．巩固训练1．（2023上·江苏·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，D是边BC上的一点，以AD为直径的⊙O交边AC于点E，若AD=6，则

A．π B．2π C．3π D．4π2．（2023上·北京海淀·九年级校考阶段练习）将透明的三角形纸板按如图所示的方式放置在量角器上，使点B，C落在量角器所在的半圆上，且点B，C的读数分别为30°，170°，若该量角器所在半圆的直径为8cm，则弧BC的长为3．（2023上·河南安阳·九年级校联考期中）“抖空竹”在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．小颖玩“抖空竹”游戏时发现可以将某时刻的情形抽象成数学问题．如图，AC,BD分别与⊙O相切于点C,D，延长AC,BD交于点P，连接OP,CD,⊙O的半径为2，∠DPC=90

(1)连接OC,OD，判断四边形CODP的形状，并说明理由；(2)求劣弧CD的长；题型十二求扇形面积34．（2023上·浙江宁波·九年级宁波市第七中学校联考期中）一个扇形的半径为3，圆心角为120°，则该扇形的面积是（

A．π B．3π C．6π D．35．（2023上·福建厦门·九年级厦门大学附属科技中学校考期中）在平面直角坐标系中，已知点P的坐标为3,4，将OP绕原点O逆时针方向旋转90°到OP'的位置，则在旋转过程中，线段OP扫过的部分的面积为(A．5π2 B．25π4 C．36．（2023上·山西吕梁·九年级校联考阶段练习）在学习了圆后，数学兴趣小组的同学开始了对正五边形拼接的图案设计，小明将有公共顶点O的两个边长为4的正五边形（不重叠），以点O为圆心，4为半径作弧，构成一个“盛装芭蕾”形图案（阴影部分），则这个“盛装芭蕾”形图案的面积为（）A． B．285π C．325π巩固训练1．（2023上·江西南昌·九年级南昌市心远中学校考期中）斐波那契数列指的是这样一列数：1，1，2，3，5，8，…（从第3个数起，每个数是前面两数的和），如图，用以这些数为边长的正方形拼成长方形，在以这些数为边长的正方形中作出圆心角为90°的圆弧，则接下来一段圆弧对应的扇形面积是（

A．254π B．16π C． D．2（2023上·江苏泰州·九年级统考期中）如图，丁丁用一张半径为10cm的扇形纸板做一个圆锥形帽子侧面（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形帽子的底面周长为12πcm，那么这张扇形纸板的面积是3．（2023上·四川德阳·九年级四川省德阳中学校校考期中）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上BF的中点，CD⊥AF，垂足为D，AB、(1)求证：CD是⊙O(2)若BE=3，CE=33题型十三求某点的弧形运动路径长度37．（2022上·江苏徐州·九年级校考阶段练习）如图，有一块长为4cm、宽为3cm的矩形木板在桌面上按顺时针方向无滑动地翻滚，木板上顶点A的位置变化为A→A1→A2，其中，第二次翻滚时被桌面上一个小木块挡住，使木板边沿A2C

A．10cm B．3.5πcm C．4.5πcm38．（2023上·江苏·九年级专题练习）如图，一块含有30°角的直角三角板ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到A'B'C的位置．若BC的长为

A．10πcm B．10πcm C．15πcm D．39．（2023·贵州贵阳·统考三模）长为30 cm的细木条AB用两个铁钉固定在墙上，固定点为点A，B（铁钉的大小忽略不计），当固定点B处的铁钉脱落后，细木条顺时针旋转至与原来垂直的方向，点B落在点C的位置，则点B旋转的路径BC长为（

A．450π cm B．225π cm C．15π cm巩固训练1．（2023上·天津和平·九年级天津二十中校考期末）如图，将腰长为1cm的等腰Rt△ABC绕点B旋转至△A'BC'的位置，使A、A．34π B．342π C2．（2023上·河北张家口·九年级张北县第三中学校考期中）如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=23，将△ABC沿直线CB向右无滑动的滚动一次，则点C经过的路径长是，此时旋转过程中边BC扫过的面积是3．（2023下·广东梅州·九年级校考开学考试）如图所示，扇形OAB从图①无滑动绕着点A旋转到图②（∠O'AO=90°）的位置，再由图②紧贴直线运动到图③，已知∠O=60°(1)求由图①到图②点O所运动的路径长；（结果保留π）(2)点O所走过的路径与直线l围成的面积是多少？（结果保留π）题型十四求其他不规则图形的面积40．（2023上·浙江绍兴·七年级校联考期中）如图是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA,OB长分别为半径，圆心角∠O=120°形成的扇面，若，则阴影部分的面积是（

A．43π B．83π C．41．（2023上·河南新乡·九年级校考期中）如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，CD=4，BC=43A．16π B．16+83 C．16π+83 D42．（2022上·江苏徐州·九年级江苏省运河中学校考期中）如图，在半径为4的⊙O中，将劣弧AB沿弦AB翻折，折叠后的AB恰好与OA，OB相切，则阴影部分的面积为（

）

A．16+4π B．16-4π C．4π+8 D．巩固训练1．（2022·广东茂名·校考模拟预测）如图，已知⊙O的半径为1，AB是直径，分别以点A、B为圆心，以AB的长为半径画弧．两弧相交于C、D两点，则图中阴影部分的面积是（

）

A．5π3-23 B．5π6-32．（2023上·湖北随州·九年级校联考阶段练习）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB、AC、BC、分别相切于点D、E、F，且AB=5，BC=13，CA=12，则图中由线段AD、AE及DE组成的阴影部分的面积是．

3．（2022上·云南昆明·九年级昆明市第三中学校考期中）如图，D是等边△ABC内的一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE和扇形EAD，连接CD、、DE．

(1)若AD=2，求阴影部分的面积；（结果保留根号和π）(2)若∠ADC=110°，求

第二十七章圆与正多边形14类题型突破答案全解全析重要题型题型一圆的确定与基本概念1．（2020上·上海浦东新·九年级上海民办建平远翔学校校考阶段练习）下列说法正确的是（

）A．半圆是弧 B．过圆心的线段是直径C．弦是直径 D．长度相等的两条弧是等弧【答案】A【分析】利用圆的有关定义分别判断即可．【详解】解：A、半圆是弧，正确，符合题意；B、过圆心的弦是直径，故原命题错误，不符合题意；C、直径是弦，但弦不一定是直径，故原命题错误，不符合题意；D、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，故原命题错误，不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查了圆的认识，解题的关键是了解圆的有关定义及性质．2．（2020上·上海闵行·九年级统考期末）下列命题是真命题的是(

)A．经过平面内任意三点可作一个圆B．相等的圆心角所对的弧一定相等C．相交两圆的公共弦一定垂直于两圆的连心线D．内切两圆的圆心距等于两圆的半径的和【答案】C【分析】利用经过不在同一直线上的三点才可以确定一个圆；在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧一定相等；相交圆的公共线垂直于连心线；内切两圆的圆心距等于两圆半径的和或差判断求解.【详解】A选项，经过平面上在同一直线上的三点不能确定一个圆，错误；B选项，需在同圆中才成立，错误；C选项，相交两圆的连心线垂直平分公共弦，正确；D选项，不对，应为两圆半径之差；故答案为C.【点睛】此题主要考查了与圆有关的定理和推论，解题的关键是准确记忆有关定理和推论.3．（2022·上海徐汇·统考二模）下列说法中，正确的个数共有（）（1）一个三角形只有一个外接圆；（2）圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；（3）在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等；（4）三角形的内心到该三角形三个顶点距离相等；A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据外接圆的性质，圆的对称性，三角形的内心以及圆周角定理即可解出．【详解】（1）一个三角形只有一个外接圆，正确；（2）圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，正确；（3）在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，正确；（4）三角形的内心是三个内角平分线的交点，到三边的距离相等，错误；故选C．【点睛】此题考查了外接圆的性质，三角形的内心及轴对称和中心对称的概念，要求学生对这些概念熟练掌握．巩固训练：1．（2023上·浙江绍兴·九年级校考期中）下列命题不正确的是（

）A．过一点有无数个圆B．过三点能作一个圆C．三角形的外心是三角形三边的中垂线的交点D．直角三角形的外接圆的直径为直角三角形的斜边【答案】B【分析】考查确定圆的条件以及三角形外接圆的知识，根据圆的性质定理逐项排查即可．掌握三角形的外接圆是三条垂直平分线的交点是解题的关键．【详解】解：A、过一点有无数个圆，正确，不符合题意；B、不在同一条直线上的三点确定一个圆，选项错误，符合题意；C、三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，正确，不符合题意；D、直角三角形的外接圆的直径为直角三角形的斜边，正确，不符合题意；故选：B．2．（2023上·甘肃武威·九年级校联考阶段练习）已知⊙O的最大弦长为8cm，点A，B，C与圆心O的距离分别为2cm，4cm，6cm，则点A在圆，点B在圆，点【答案】内上外【分析】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有点P在圆外时，d>r；点P在圆上时，d=r；点P在圆内时，d<r根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．【详解】解：∵⊙O的直径为8∴⊙O的半径为4∵点A到圆心O的距离OA=2cm即点A到圆心O的距离小于圆的半径，∴点A在⊙O∵点B到圆心O的距离，即点B到圆心O的距离等于圆的半径，∴点B在⊙O∵点C到圆心O的距离OC=6cm即点C到圆心O的距离大于圆的半径，∴点C在⊙O答案为：内，上，外．3．（2023上·全国·九年级专题练习）如图，在⊙O中，直径为MN，正方形ABCD的四个顶点分别在半径OM、OP以及⊙O上，并且

(1)求OD的长；(2)求⊙O【答案】(1)2(2)5【分析】（1）根据正方形的性质和等腰三角形的判定可得，再根据勾股定理求解即可；（2）连接AO，根据勾股定理求出AO即得答案．【详解】（1）∵四边形ABCD为正方形，∴DC=BC=AB=1，∵∠POM=45∴∠POM=∴，∴OD=1（2）连接AO，则△ABO∵BO=BC+CO=2∴．即⊙O的半径为5

【点睛】本题考查了圆的基本知识、正方形的性质和勾股定理等知识，熟练掌握相关图形的性质定理是解题的关键．题型二圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系4．（2022·上海金山·校考一模）如图，O是弧AD所在圆的圆心．已知点B、C将弧AD三等分，那么下列四个选项中不正确的是（

）A．AC=2CD B．AC=2CD C．∠AOC=2∠【答案】B【分析】利用三等分点得到AB=BC=CD，由此判断A；根据AB=BC=CD，得到AB+BC>AC，由此判断B；根据AC=2CD即可判断C；根据【详解】解：连接AB、BC，OB，∵点B、C将弧AD三等分，∴AB=∴AC=2CD，故∵AB=∴AB=BC=CD，∵AB+BC>AC，∴AC<2CD，故B选项错误；∵AC=2∴∠AOC=2∠COD∵AB=∴∠AOB=∠BOC=∠COD，∴S扇形∴S扇形AOC=2故选：B．【点睛】此题考查了圆心角、弧、弦定理：在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦中有一个量相等，另两个量也对应相等．5．（2023上·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期中）下列命题正确的有（

）①长度相等的弧是等弧；②任意三点确定一个圆；③90°的圆周角所对的弦是直径；④相等的圆心角所对的弦相等；⑤A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】B【分析】根据能够完全重合的弧是等弧；不在同一直线上的三点确定一个圆；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等；平分弦(不是直径的弦)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧可得答案．此题主要考查了命题与定理，关键是掌握与圆有关的定理．【详解】①能够重合的弧是等弧，故本选项错误，不符合题意；②任意不同线的三点确定一个圆，故本选项错误，不符合题意；③90°④在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故本选项错误，不符合题意；⑤圆是轴对称图形，对称轴是直径所在的直线，故本选项错误，不符合题意；其中正确的命题共1个；故选：B．6．（2023上·河北唐山·九年级统考期中）在⊙O中AC=2CD，则弦ABA．AB>2CD B．AB=2CD C．AB<2CD D．AB=CD【答案】C【分析】本题考查了弧、弦之间的关系及三角形的三边关系，根据两弧的关系，作出AB的中点E，则EA=EB=CD，根据三角形两边之和大于第三边就可以得到结论，熟练掌握基础知识是解题的关键．【详解】解：取AB的中点E，连接EA、EB，则EA=EA=EB=CD，在△ABE中，AE+BE>AB，即2CD>AB则AB<2CD，故选：C．

巩固训练1．（2023上·河北唐山·九年级统考期中）在⊙O中AC=2CD，则弦ABA．AB>2CD B．AB=2CD C．AB<2CD D．AB=CD【答案】C【分析】本题考查了弧、弦之间的关系及三角形的三边关系，根据两弧的关系，作出AB的中点E，则EA=EB=CD，根据三角形两边之和大于第三边就可以得到结论，熟练掌握基础知识是解题的关键．【详解】解：取AB的中点E，连接EA、EB，则EA=EA=EB=CD在△ABE中，AE+BE>AB，即2CD>AB则AB<2CD，故选：C．

2．（2023上·北京西城·九年级北京铁路二中校考期中）如图，CD是⊙O的直径，CD=8，，点B为弧AD的中点，点P是直径CD上的一个动点，则PA+PB的最小值为．

【答案】4【分析】本题主要考查最短路径及圆的基本性质．作点B关于直径CD的对称点E，连接AE、OA、OE、【详解】解：作点B关于直径CD的对称点E，连接AE、OA、OE、

∴BD=∵，∴∠AOD=40∵点B为弧AD的中点，∴BD与ED的度数为20°∴∠EOD=20∴∠AOE=60∵OA=OE，∴△AOE∵CD=8，∴AE=OA=4，即PA+PB的最小值为4，故答案为：4．3．（2023上·九年级课时练习）如图，AB是的直径，点C，D在⊙O上，且点C，D在AB的异侧，连接AD，OD，OC．若AC所对圆心角的度数为70°，且AD∥OC

【答案】40【分析】先根据平行线的性质得到∠A=70°，再根据等腰三角形的性质求出∠D=70【详解】解：∵AC所对圆心角的度数为70°∴∠AOC=70∵AD∥∴∠A=∵OA=OD，∴∠D=∴∠AOD=180∴AD所对圆心角的度数为40°【点睛】本题主要考查了平行线的性质，圆的基本性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟知相关知识是解题的关键．题型三圆周角定理7．（2023上·浙江台州·九年级校联考期中）如图，BD是⊙O的直径，点A,C在⊙O上，AB=AD,AC交BD于点G．若∠COD=126°，则∠AGBA．108° B．110° C．117°【答案】A【分析】本题考查了圆周角定理，根据圆周角定理得到∠BAD=90°，∠DAC=12∠COD=63°，再由AB=AD,【详解】解：∵BD是⊙，∵∴∠，∴∠AGB=故选：A．8．（2023上·江苏南京·九年级统考期中）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，BD平分∠ABC，若∠D=20°，则A．20° B．25° C．30° D．35【答案】D【分析】此题考查了圆周角定理，连接AC，根据圆周角定理得出∠ACB=90°，∠A=20°，根据直角三角形的性质求出∠ABC=70【详解】解：如图，连接AC，∵AB为⊙O∴∠ACB=90，∵∠D=∴∠∵BD平分∠ABC∴∠故选：D．9．（2023上·浙江湖州·九年级统考期中）如图，在⊙O中，弦AC与半径OB交于点D，连接，若，则∠AOB的度数为（

）

A．132° B．120° C．112° D．110【答案】C【分析】本题考查了三角形外角的性质，圆周角定理；先利用三角形外角的性质求出∠C【详解】解：∵∠B=70°，∠ADB=126∴∠C=∴∠AOB=2故选：C．巩固训练1．（2023上·河南新乡·九年级校考期中）如图，点A，B，C在⊙O上，∠C+∠AOB=75°，则∠AOB的大小为A．50° B．45° C．40° D．25【答案】A【分析】根据圆周角定理得到∠C=本题考查的是圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．【详解】解：由圆周角定理得∠C=∵∠∴∠AOB+解得，∠AOB=50故选：A．2．（2023上·江苏泰州·九年级统考期中）如图，⊙O是△ABC的外接圆，，∠BAC=30°，则⊙O的半径长等于．【答案】5【分析】本题考查的是三角形的外接圆，圆周角定理、等边三角形的性质，连接，得到．由OB=OC，得到△OBC是等边三角形，即可得到结果．【详解】解：如图，连接，∵∠∴．∵OB=OC∴△∴OB=OC=BC=5，即⊙O的半径长为5故答案为：5．3．（2023上·山东临沂·九年级统考期中）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=45°，BD是直径，且，连接CD，求BC的长．【答案】2【分析】先根据圆周角定理可求出∠D=45°，∠BCD=90°，由锐角三角函数的定义即可求出BC的长．此题考查了圆周角定理、解直角三角形等知识，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．【详解】解：在⊙O中，∵∠A=45∴∠D=45∵BD是直径，，∴∠BCD=90∴BC=BD·题型四90度的圆周角所对的弦是直径10．（2023·江苏宿迁·校联考二模）如图，直径为10的⊙A经过点C和点O，点B是y轴右侧⊙A优弧上一点，∠OBC=30°，则点C的坐标为（

）．A．0,5 B．0,53 C．0,52【答案】A【分析】首先设⊙A与x轴的另一个交点为点D，连接CD．根据90°的圆周角所对的弦是直径，即可得CD是⊙A的直径．由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠ODC的度数，进而由含30°角的直角三角形的性质求得OC的长，即得出点C坐标．【详解】解：设⊙A与x轴的另一个交点为点D，连接CD，如图，∵∠COD=90∴CD是⊙A的直径，即CD=10．∵OC=∴∠ODC=∴OC=∴点C的坐标为：0,5．故选A．【点睛】此题考查圆周角定理的推论，含30°11．（2023上·河南周口·九年级校考期末）将一个含60°角的直角三角板和一个量角器按如图所示的方式放置，∠ACB=90°，其中点D所在位置在量角器外侧的读数为30°，连接DC交AB于点E，则图中∠BEC的度数是（

A．75° B．65° C．55° D．45【答案】D【分析】取AB的中点O，连接DO，由已知得出AB为⊙O的直径，AOD=30°，在⊙O上，进而得出∠ACD=15°【详解】解：如图所示，取AB的中点O，连接DO，∵∠ACB=90°，其中点D所在位置在量角器外侧的读数为30°∴AB为⊙O的直径，AOD=30°，在⊙O上，∵AD∴∠∵∠∴∠BEC=故选：D．【点睛】本题考查了直角所对的弦是直径，圆周角定理，三角形外角的性质，掌握圆周角定理是解题的关键．12．（2023上·江苏扬州·九年级统考期末）如图，四边形ABCD为矩形，AB=6,BC=8，点P是线段BC上一动点，DM⊥AP，垂足为P，则BM的最小值为（

）A．5 B．245 C．485 D【答案】D【分析】首先得出点M在O点为圆心，以AO为半径的圆上，然后得到当直线BM过圆心O时，BM最短，从而利用勾股定理计算出答案．【详解】设AD的中点为O，以O点为圆心，AO为半径画圆，∵四边形ABCD为矩形，AB=6,BC=8，∴AD=BC=8，∵DM⊥∴点M在O点为圆心，以AO为半径的圆上，连接OB交圆O与点N，∵点B为圆O外一点，∴当直线BM过圆心O时，BM最短，∵BO2=A∴BO∴BO=213∵BN=BO-故选：D．【点睛】本题考查直角三角形、圆的性质，勾股定理，直径所对圆周角是直角等知识，解题的关键是熟练掌握直角三角形和圆的相关知识．巩固训练1．（2022上·江苏宿迁·九年级沭阳县怀文中学校考阶段练习）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=14，BC=24，点D为线段BC上一动点，以CD为⊙O直径，作AD交⊙O于点E，则A．16 B．18 C．20 D．22【答案】B【分析】连接CE，可得∠CED=∠CEA=90°，从而得到点E在以AC为直径的圆Q上，则当Q，E，B三点共线时，最小，再根据勾股定理求出QB，即可求解．【详解】解：如图，连接CE，∵CD为⊙O直径，点E在⊙O∴∠CED=∴点E在以AC为直径的圆Q上，则当Q，E，B三点共线时，最小，∵AC=14，∴QC=QE=7，∵BC=24，∴QB=B∴BE=QB-即的最小值为18．故选：B【点睛】本题考查了圆周角定理和勾股定理，解决本题的关键是确定E点运动的路径，从而把问题转化为圆外一点到圆上一点的最短距离问题．2．（2022上·江苏南京·九年级南京市科利华中学校考期中）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4，点D是AC边上一动点，连结BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则CE长度的最小值是．

【答案】2【分析】连接AE，根据圆周角定理，由AD为直径得到∠AED=90°，接着由∠AEB=90°得到点E在以AB为直径的圆O上，于是当点O、E、C共线时，CE最小，在Rt△AOC中利用勾股定理计算出OC=25【详解】解：连接AE，如图，∵AD为直径，∴∠AED=90∴∠AEB=90∴点E在以AB为直径的圆O上，∵AB=AC=4∴圆O的半径为2，∴当点O、E、C共线时，CE最小，在Rt△∵OA=2,AC=4，∴OC=A∴CE=OC-即线段CE长度的最小值为25故答案为：25【点睛】此题考查等腰直角三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，解题关键在于结合实际运用圆的相关性质．3．（2021上·浙江绍兴·九年级新昌县七星中学校考期中）如图，∠BAC的平分线AD交△ABC外接圆于点D，若∠BAD=∠CAD=45°．连结BD，AB=2，时，(1)求⊙O的半径；(2)求BD的长(3)求AD的长【答案】(1)⊙O的半径为3(2)BD的长为3(3)AD的长为2【分析】（1）连接BC，由∠BAD=∠CAD=45°得到∠BAC=90°，进而得到（2）连接BC，CD，首先根据圆周角定理得到∠BCD=2（3）作BE⊥AD交AD于点E，首先根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求出BE的长度，然后求出DE的长度，最后根据勾股定理即可求出【详解】（1）如图连接BC∵∠∴∠∴BC为⊙O的直径，经过点O，∴在Rt△ABC中，∴半径BO=1（2）如图连接OD，∵∠BAD=45∴∠BOD=2∵BC=CD=3，∴在中，BD=BC（3）如图所示，作BE⊥AD交AD于点∵∠BAD=45∴∠ABE=90∴△ABE∴AE2+B∵AB=2，∴AE=BE=2∴在Rt△BDE中，∴AD=AE+DE=2【点睛】此题考查了圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．题型五已知圆内接四边形求角度13．（2022上·北京朝阳·九年级统考期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠C=130°，则∠BOD的度数为（

A．50° B．100° C．130° D．150【答案】B【分析】根据圆的内接四边形对角互补，圆心角是对弧的圆周角的2倍计算即可．【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O∴∠A+∠C=180°，而∠C=130∴∠A=180∴∠BOD=2故选：B．14．（2023上·山东德州·九年级校联考期中）如图，已知ABCD为⊙O的内接四边形，∠B=40°，AD=CD，则下列结论错误的是(

)A．∠D=140° B．∠ACD=20° C．∠AOC=90° D．∠【答案】C【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，弦与弧、圆心角的关系，根据已知条件，结合选项逐项分析判断，即可求解．【详解】解：连接AO,CO,DO，∵ABCD为⊙O的内接四边形，∠B=40∴∠D=180°-∠∵AD=CD，∴AD=∴∠ACD=12∠ABC=20°，∠AOD=∠∵∠B=40∴∠AOC=2∠B=80故选：C．15．（2023上·浙江温州·九年级温州市第八中学校考期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知点C为BD的中点，若∠A=50°，则∠CBD的度数为（

A．25° B．30° C．35° D．40【答案】A【分析】本题考查了圆的内接四边形的性质，先根据“圆的内接四边形对角互补”求出∠C=130°，再得出BC=CD，进而得出【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A=50∴∠C=180∵C为BD的中点，∴BC=∴∠CBD=∴∠CBD=故选：A．巩固训练1．（2023上·山东济宁·九年级统考期中）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠A=100°，则∠BOD的度数是（

A．130° B．140° C．150° D．160【答案】D【分析】本题考查圆内接四边形的性质、圆周角定理等知识，先根据圆内接四边形的性质求出∠C【详解】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠A=100∴∠∴故选：D．2．（2023上·江苏泰州·九年级统考期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD、BC的延长线相交于点E，AB、DC的延长线相交于点F．若∠E=52°，∠F=36°，则∠A的度数为【答案】46°/46【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，三角形的外角性质．先两次根据三角形的外角定理，得∠ECF=∠E+∠A+∠F=∠A+88°，再根据圆内接四边形的性质，得∠ECF=【详解】解：∵∠ECF是△CDE∴∠ECF=∵∠EDC是△ADF∴∠EDC=∴∠ECF=∵四边形ABCD内接于⊙O∴∠ECF=∴∠A+88∴∠A=46故答案为：46°3．（2023上·福建福州·九年级校联考期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AC，连接AC，若，求∠

【答案】120度【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，解题的关键是了解圆的有关定义及性质，难度不大．首先利用等弧对等弦得到AB=AC，然后判定△ABC是等边三角形，从而求得∠B【详解】解：∵弧AB=弧AC∴AB=AC，∴△ABC，∵∠B+．题型六利用垂径定理求值16．（2023上·山西朔州·九年级校考期中）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若CD=8，，则⊙O的半径为（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】本题主要考查了圆半径的求法，根据题意，连接OC，通过垂径定理及勾股定理求半径即可．熟练掌握垂径定理及勾股定理是解决本题的关键．【详解】如下图，连接OC，∵CD⊥AB，CD=8，∴CE=1∵，OC2∴OC=O故选：B．17．（2023上·浙江丽水·九年级统考期中）如图，⊙O的半径是3，点P是弦AB延长线上的一点，连结OP，若，∠APO=30°，则弦AB的长为（

）A． B．5 C．23 D．2【答案】D【分析】此题考查了垂经定理，用到的知识点是垂经定理、含30度角的直角三角形、勾股定理，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形．先过O作OC⊥AP，连结OB，根据，∠APO=30°，求出OC的值，在Rt△BCO中，根据勾股定理求出BC的值，即可求出AB的值．【详解】如图，过O作OC⊥AP，连结OB，∵，∠APO=30°∴OC=∵OB=3∴根据勾股定理得：BC=O∴由垂径定理得：AB=25故选：D．18．（2023上·河南驻马店·九年级统考期中）如图，点在圆O上，OC⊥AB，垂足为D，若⊙O的半径是10，AB=12，则CD=（

）

A．2 B．2.4 C．3 D．4【答案】A【分析】本题主要考查了垂径定理以及勾股定理，先构造出直接三角形，再利用勾股定理解题即可．【详解】解：∵⊙O的半径是10，AB=12，OC是⊙O的半径且OC∴OA=OC=10cm，∵在Rt△AOD中，OA=10∴OD=∴CD=OC故选：A．巩固训练1．（2022上·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期中）如图，⊙O的直径CD过弦AB的中点G，∠AOD=60°，则∠DCBA．120° B．60° C．50° D．30【答案】D【分析】本题考查的是圆周角定理及垂径定理．根据垂径定理得出，再利用圆周角定理得出∠DCB=30°【详解】解：∵⊙O的直径CD过弦AB的中点G，∴∴∠DCB=∵∠AOD=60∴∠DCB=30故选：D．2．（2023上·河南许昌·九年级统考期中）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图1．唐代陈廷章在《水轮赋》中写道“水能利物，轮乃曲成”．如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB长为8米，若点C为运行轨道的最低点，点C到弦AB所在直线的距离是2，则⊙O的半径长为【答案】5【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．连接OC交AB于点E．利用垂径定理得AE=4，再利用勾股定理即可求出半径．【详解】解：连接OC交AB于点E．设OA=OC=r，由题意OC⊥∴AE=BE=1∵CE=2，∴OE=r-在Rt△AEO中，∴r=5米，故答案为：5．3．（2023上·江苏南京·九年级统考期中）根据江心洲地质水文条件量身打造的“新时代号”泥水平衡盾构机，是目前世界上最先进的盾构设备之一，被誉为“国之重器”．如图1，盾构机核心部件——刀盘的形状是一个圆形．如图2，当机器暂停时，刀盘露在地上部分的跨度AB=12m，拱高（弧的中点到弦的距离CD）3

【答案】盾构机刀盘的半径为7.5【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，设OA=OC=rm【详解】解：依题意，如图：

设OA=OC=r∵OC⊥∴AD=DB=∵OA∴r2∴r=7.5．所以盾构机刀盘的半径为7.5m题型七垂径定理的实际应用19．（2023上·九年级课时练习）小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（

）

A．第①块 B．第②块 C．第③块 D．第④块【答案】B【分析】本题考查了利用垂径定理的实际应用．根据垂径定理可得，弦的垂直平分线经过圆心，只要有两条既不平行也不重合的弦，通过作弦的垂直平分线即可确定圆心和半径，得出答案，熟记垂径定理“垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧”是解本题关键．【详解】解：第②块碎片有一段完整的弧，在这段弧上任作两条既不平行也不重合的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长，这样就可配到一块与原来大小一样的圆形玻璃；故选：B．20．（2023上·山东德州·九年级校联考期中）如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图，凹槽ABCD是矩形．当餐盘正立且紧靠支架于点A，D时，恰好与BC边相切，则此餐盘的半径是（

）A．10cm B．45cm C．6【答案】A【分析】本题考查了切线的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．连接OA，过O点作OE⊥BC，交BC于点E，交AD于点F，则点E为餐盘与边BC的切点，由矩形的性质得AD=BC=16cm，AD∥BC，则OE⊥AD，得CD=EF=4cm，，AF=DF=8cm，设餐盘的半径为r，则，【详解】连接OA，过O点作OE⊥BC，交BC于点E，交AD于点F，则，∵餐盘与BC边相切，∴点E为切点，∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=16cm，AD∴OE∴CD=EF=4cm，，AF=DF=8cm设餐盘的半径为r，则，OA=OE=r，OF=r-在Rt△AOF中，由勾股定理得：OF即r-42∴餐盘的半径是10cm故选：A．21．（2022上·云南红河·九年级统考期末）为了落实“双减”政策，一些学校在课后服务时段开设了与冬奥会项目冰壶有关的选修课，如图，在冰壶比赛场地的一端画有一些同心圆作为营垒，其中有两个圆的半径分别约为60cm和180cm，小明掷出一球恰好沿着小圆的切线滑行出界，则该球在大圆内滑行的路径MN的长度为（

）A．240 B．2402 C．120 D．【答案】B【分析】设小圆的切线MN与小圆相切于点D，与大圆交于M，N连接OD、OM，根据切线的性质定理和垂径定理求解即可．【详解】解：如图，设小圆的切线MN与小圆相切于点D，与大圆交于M、N，连接OD、OM，，∴MD=DN在Rt△ODM中，OM=180cm∴MD=∴MN=2MD=240即该球在大圆内滑行的路径MN的长度为2402故选B．【点睛】本题考查切线的性质定理、垂径定理、勾股定理，熟练掌握切线的性质和垂径定理是解答的关键．巩固训练1．（2023下·广东广州·九年级统考开学考试）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点M表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心．5米为半径的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦AB长为8米，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为（

）

A．2米 B．3米 C．4米 D．5米【答案】A【分析】作OD⊥AB于点C，确定盛水桶在水面以下的最大深度即为CD的长度，进而结合垂径定理以及勾股定理进行计算即可．【详解】解：如图所示，作OD⊥AB于点C，盛水桶在水面以下的最大深度即为CD的长度，

∵AB=8，∴根据垂径定理，AC=BC=4，∵OA=OD=5，∴Rt△AOC中，∴，∴盛水桶在水面以下的最大深度为2米，故选：A．【点睛】本题考查垂径定理的实际应用，理解圆的基本性质，熟练运用垂径定理是解题关键．2．（2023上·北京丰台·九年级统考期中）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之、深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，EB=1寸，CD=10寸，则直径AB长为寸．【答案】26【分析】证明E为CD的中点，可得CE=DE=12CD=5，设，则AB=2x，OE=x-1，由勾股定理得：O【详解】解：∵弦CD⊥AB，AB为⊙O∴E为CD的中点，又∵CD=10（寸），∴CE=DE=1设（寸），则AB=2x（寸），OE=x由勾股定理得：OE即x-解得x=13，∴AB=26（寸），故答案为：26．【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，勾股定理的应用，熟练的利用垂径定理解决问题是关键．3．（2023上·河北唐山·九年级统考期中）如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以AB为直径的半圆O，AB=52cm,MN为水面截线，MN=48

(1)作于点C，求OC的长；(2)将图中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了14cm【答案】(1)10(2)28【分析】本题主要考查了垂径定理的实际应用，勾股定理：（1）连接OM，利用垂径定理得出MC=1（2）过O作OD⊥EF于点D，连接OE，利用勾股定理求出ED，再利用垂径定理得出EF=2ED=20cm,MN与【详解】（1）解：连接OM，

∵O为圆心，，MN=48cm，∴MC=1∵AB=52cm∴OM=1在Rt△OMC中，∴OC的长为10cm（2）解：过O作OD⊥EF于点D，连接OE，

由题意得，OD=10+14=24cm在Rt△OED中，∴EF=2ED=20cm∴48∴水面截线减少了28cm题型八直线与圆的位置关系22．（2023上·安徽阜阳·九年级统考阶段练习）如图，直线AB与⊙O相切于点A,∠ABO=30°,⊙O的半径为3，则线段OB的长为（

）A．63 B．6 C．33 D【答案】B【分析】本题主要利用了切线的性质和含30°直角三角形性质，由于直线AB与⊙O相切于点A，则∠OAB=90°，而OA=3，∠OBA=30°，根据含30°直角三角形性质即可求出【详解】解：∵直线AB与⊙O相切于点A则∠OAB=90∵OA=3，∴OB=2OA=6．故选：B．23．（2023上·山东临沂·九年级统考期中）如图，AB切⊙O于点B，连结OA交⊙O于点交⊙O于点D，连接CD，若∠OCD=20°，则∠A的度数为（

）A．25° B．35° C．40° D．50【答案】D【分析】本题考查的是切线的性质，圆周角定理的应用，三角形的内角和定理的应用，连接OB，证明∠ABO=90°，∠CDB=20°，可得∠BOC=2∠BDC=40°，从而可得∠A=50【详解】解：如图，连接OB，

∵AB切⊙O于点B，∴∠ABO=90∵BD∥OA，∠OCD=20∴∠CDB=20∴∠BOC=2∴∠A=50故选：D．24．（2023上·江苏连云港·九年级校考期中）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，若∠BAC=25°，则∠P的度数为（

A．45° B．50° C．55° D．60【答案】B【分析】本题主要考查切线的性质和切线长的性质定理，根据切线的性质和切线长的性质定理，得出∠PAB=∠CAP-∠BAC=65【详解】∵PA，PB是⊙O的切线，AC是⊙O∴∠CAP=90°，PA=PB，∴∠∵∠∴∠PAB=∠CAP-∠BAC=65∴∠P=180故选B．巩固训练1．（2023上·重庆·九年级重庆一中校考期中）如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，连接OC交⊙O于点D，连接AD，若∠BCO=40°，则∠OAD的度数为（

A．20° B．22° C．25° D．26【答案】C【分析】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，根据切线的性质得到∠OBC=90°，根据直角三角形的性质求出∠BOC【详解】解：∵BC与⊙O相切于点B，∴AB⊥BC，即∠OBC=90∵∠BCO=40∴∠由圆周角定理得：∠OAD=故选：C．2．（2023上·河南漯河·九年级统考期中）如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，AC为⊙O的直径，若∠C=60°，则△PAB

【答案】等边三角形【分析】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，连接OB，根据圆周角定理求出∠AOB，根据切线的性质得到OA⊥PA，OB⊥PB，【详解】解：如图，连接OB，

∵AC为⊙O∴∠ABC=90由圆周角定理得：∠AOB=2∵PA，PB分别与⊙O相切于点A∴OA⊥∴∠P=360∴△PAB故答案为：等边三角形．3．（2023上·山东菏泽·九年级统考期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，平分∠ABC交AC于点E，点D在AB边上且DE(1)判断直线AC与△DBE(2)若AE=62，AD=8，求tan【答案】(1)直线AC与△DBE(2)12【分析】本题考查了切线的判定以及勾股定理的有关知识．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．（1）连接OE，结合两半径构成的等腰三角形性质和角平分线定义，易证为OE、（2）由（1）的结论，根据勾股定理构造方程，可求出半径长，再求出tan∠【详解】（1）解：直线AC与△DBE理由如下：设△DBE外接圆的圆心为O，连接OE∵平分∠ABC，∴∠CBE=∵OB=OE，∴∠OBE=∴∠CBE=∴OE∥∴∠OEA=∴OE⊥∴AC为⊙O（2）解：设⊙O的半径为r，则OE=OD=r，OA=8+r，在Rt△AOE中，解得：r=1∴tan∠∵OE∥∴∠ABC=∴tan∠题型九圆与圆的位置关系25．（2023下·四川泸州·九年级统考期中）如图，⊙O1，⊙O2的圆心O1，O2都在直线l上，且半径分别为2cm，3cm，O1O2=8cm．若⊙O1以1cm/sA．外切 B．相交 C．内含 D．内切【答案】D【分析】先求出7s后，两圆的圆心距为1cm【详解】解：∵⊙O1的半径为2cm，⊙O2的半径为3cm，O1O2∴7s后，两圆的圆心距为8∵两圆的半径差为3-∴此时两圆内切，故选D．【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，掌握d=R+r，则两圆外切，d=R-26．（2023上·辽宁大连·九年级统考期末）如图，长方形ABCD中，AB=4，AD=2，圆B半径为1，圆A与圆B外切，则点C、D与圆A的位置关系是（

）A．点C在圆A外，点D在圆A内 B．点C在圆A外，点D在圆A外C．点C在圆A上，点D在圆A内 D．点C在圆A内，点D在圆A外【答案】A【分析】先根据两圆外切求出圆A的半径，连接AC，根据勾股定理求出AC的长，进而可得出结论．【详解】解：∵AB=4，圆B半径为1，圆A与圆B外切，∴圆A的半径为4-∵AD=2<3，∴点D在圆内，连接AC，∵BC=AD=2，∴AC=4∴点C在圆外，故选：A．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、勾股定理，熟练掌握点与圆的位置关系是关键，还利用了数形结合的思想，通过图形确定圆的位置．27．（2022下·上海闵行·九年级校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=7，点D在边BC上，CD=3，⊙A的半径长为3，⊙D与⊙A相交，且点B在⊙D外，那么⊙D的半径长r的取值范围是（A．1<r<4 B．2<r<4 C．1<r<8 D．【答案】B【分析】连接AD，根据勾股定理得到，根据圆与圆的位置关系得到r>5-3=2由点B在⊙D外，于是得到r<4，即可得到结论．【详解】解：连接AD，∵AC=4，CD=3，∠C=90∴AD=∵⊙A的半径长为3，⊙D与⊙A∴r>5-∵BC=7，∴BD=4，∵点B在⊙D∴r<4，∴⊙D的半径长r的取值范围是2<r<4，故选：B．【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，点与圆的位置关系，设点到圆心的距离为d，则当d=r时，点在圆上；当d>r时，点在圆外；当d<r时，点在圆内．巩固训练1．（2022上·新疆乌鲁木齐·九年级校考阶段练习）已知△ABC，AB=10cm，BC=6cm，以点B为圆心，以BC为半径画圆⊙B，以点A为圆心，半径为r，画圆⊙A．已知⊙A与⊙BA．0<r≤4 B．0≤r≤4 C．0<r<4 D．0【答案】C【分析】设⊙B半径为R，则R=BC=6cm，根据⊙A与⊙B外离得到AB>R+r，进一步求得r<4，又由r>0即可求得r的取值范围．【详解】解：设⊙B半径为R，则R=BC=6cm，∵⊙A与⊙B∴AB>R+r，∴r<AB-即r<4，∵r>0，∴0<r<4．故选：C．【点睛】此题考查了圆与圆的位置关系，熟练掌握外离的条件是解题的关键．2．（2023下·上海浦东新·九年级校考阶段练习）已知⊙O的半径OA长为3，点B在线段OA上，且OB=2，如果⊙B与⊙O有公共点，那么⊙B的半径r的取值范围是【答案】1【分析】求得⊙B在⊙O内部且有唯一公共点时⊙B的半径和⊙O在⊙B内部且有唯一公共点时⊙B【详解】解：如图，当⊙B在⊙O内部且有唯一公共点时，⊙B的半径为：3-当⊙O在⊙B内部且有唯一公共点时，⊙B的半径为3+2=5，

∴如果⊙B与⊙O有公共点，那么⊙B的半径r的取值范围是1≤故答案为：1≤【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，注意掌握数形结合和分类讨论思想的应用．3．（2022下·四川成都·七年级统考期末）如图，AB＝a，P是线段AB上一点，分别以AP，BP为直径作圆．(1)设AP＝x，求两个圆的面积之和S；(2)当AP分别为a和12a时，比较S的大小．【答案】(1)1(2)AP=a时的面积大于AP=12a时的面积【分析】（1）用圆形的面积公式求解；（2）根据AP的长度，分别计算两个圆形的面积之和，比较即可．【详解】（1）解：∵AP＝x，∴S=π(=1（2）当AP＝a时，BP＝a，S=5当AP＝12a时，BP＝12S=1∵5∴AP=a时的面积大于AP=12a时的面积．【点睛】本题考查了动点问题的解决方法圆形的面积公式，完全平方公式，正确进行计算是解决本题的关键．题型十正多边形与圆28．（2022·河北石家庄·统考二模）如图，边AB是⊙O内接正六边形的一边，点C在AB上，且BC是⊙O内接正八边形的一边，若AC是⊙O内接正n边形的一边，则n的值是（）A．6 B．12 C．24 D．48【答案】C【分析】根据中心角的度数=360°÷边数，列式计算分别求出∠AOB，∠BOC的度数，可得∠AOC=15°，然后根据边数n=360°÷中心角即可求得答案．【详解】解：连接OC，∵AB是⊙O内接正六边形的一边，∴∠AOB＝360°÷6＝60°，∵BC是⊙O内接正八边形的一边，∴∠BOC＝360°÷8＝45°，∴∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝60°－45°＝15°∴n＝360°÷15°＝24．故选：C．【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、正八边形、正二十四边形的性质；根据题意求出中心角的度数是解题的关键．29．（2023上·福建福州·九年级统考期中）如图1，是北京故宫博物院内的太和殿上方的八角浑金蟠龙藻井，它展示出精美的装饰空间和造型艺术从分层构造上来看，太和殿藻井由三层组成：最外层为正方井，中层为正八角井，内层为圆井，图2是图1抽象出的平面图形，若最外层正方井ABCD的边长是2，则内层圆井的面积为（

）

A．π2 B．π C． D．2π【答案】A【分析】本题考查了正多边形与圆，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，圆的面积的计算，根据正方形的性质得到AB=BC=2，∠B=90°，根据题意得到BE=BF=12AB=1，求得EF=【详解】解：由题意得，如图2，四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC=2，∠B=90°∴BE=BF=1∴EF=2∴圆的直径为2，∴圆的半径为22∴上层圆的面积是22故选：A．30．（2023上·山东临沂·九年级统考期中）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点P在弧AB上，点Q是弧DE的中点，则∠CPQ的度数为（

A．30° B．45° C．36° D．60【答案】B【分析】本题考查了正多边形与圆,圆周角定理；先求出正六边形的中心角，再利用圆周角定理求解即可．【详解】解：如图所示，连接OC,OD,OQ，∵正六边形ABCDEF内接于⊙O∴∠COD=3606=60°∵点Q是弧DE的中点，∴∴∠∴∠故选：B．巩固训练1．（2023上·江苏徐州·九年级统考期中）如图，正六边形ABCDEF中，△ABD的面积为4，则正六边形ABCDEF的面积是（

）A．8 B．10 C．12 D．14【答案】C【分析】本题考查了求几何图形面积，“割补法”是解题关键．【详解】如图所示：将三角形△DEF分割为△DEJ,△EFJ，补到△AHB,S正六边形故选：C．2．（2023上·江苏南京·九年级统考期中）如图，在正六边形ABCDEF中，点P是上任意一点，连接PC，PD，则△PCD与正六边形ABCDEF的面积之比为．

【答案】1：3【分析】本题考查正多边形与圆，三角形的面积，等边三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．设正多边形的中心为O，如图，连接CF，DF，OD，根据AF∥CD，得到S△PCD=S△FCD，根据得到S【详解】解：设正多边形的中心为O，如图，连接CF，DF，OD，

∵AF∴S∵OC=OF∴S∵S∴△PCD与正六边形ABCDEF的面积之比为1：故答案为：1：3．（2023下·安徽安庆·八年级统考期末）我们学习了，多边形中，如果各条边都相等，各个内角都相等，这样的多边形叫做正多边形．观察每个正多边形中∠α

(1)将如表的表格补充完整：正多边形边数3456______∠α度数________________________10(2)根据规律，是否存在一个正n边形，使其中的∠α=25°？若存在，直接写出n的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)60°，45°，36°，30°，18(2)不存在一个正n边形，使其中的∠α=25【分析】（1）根据正多边形的内角，内角和以及三角形内角和定理进行计算即可；（2）根据（1）中的计算方法得出∠α=【详解】（1）解：正三角形中∠α的度数