第27章 圆与正多边形 综合检测（难点）

第27章圆与正多边形单元综合检测（难点）一、单选题1．矩形中，，，点在边上，且，如果圆是以点为圆心，为半径的圆，那么下列判断正确的是（

）

A．点，均在圆外 B．点在圆外，点在圆内C．点在圆内，点在圆外 D．点，均在圆内2．如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=90°，AB=4，AD=，，圆O是以AB为直径的圆．如果以点C为圆心作圆C与直线AD相交，与圆O没有公共点，那么圆C的半径长可以是（

）A．9 B． C．5 D．3．如图，在等边三角形中，，点为边上一动点，连接，在左侧构造三角形，使得，．当点由点运动到点的过程中，点的运动路径长为（

）A． B． C． D．4．新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，如图，已知在的网格图形中，点A、B、C、D都在格点上，如果，那么图中所有符合要求的格点D的个数是（

）．A．3 B．5 C．7 D．95．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝18，AC＝24，点O在边AB上，且BO＝2OA．以点O为圆心，r为半径作圆，如果⊙O与Rt△ABC的边有3个公共点，那么下列各值中，半径r不可以取的是（

）A．6 B．10 C．15 D．166．如图，、是的两条弦，且．，，垂足分别为点、，、的延长线交于点，连接．下列结论正确的个数是（

）①；②；③；④A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝2，AB＝4，BC＝6，点O是边BC上一点，以O为圆心，OC为半径的⊙O，与边AD只有一个公共点，则OC的取值范围是（）A．4＜OC≤ B．4≤OC≤ C．4＜OC D．4≤OC8．如图，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作，且使，连接，则长的最大值为（）A． B． C． D．9．如图，在平面直角坐标系中，，点C在y轴正半轴上，点D在x轴正半轴上，且，以为直径在第一象限作半圆，交线段于E、F，则线段的最大值为（）A． B． C． D．10．如图，是等边的外接圆，点D是弧上一动点（不与A，C重合），下列结论：①；②当最长时，；③；④当，时，；⑤当时，四边形最大面积是．其中一定正确的结论有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个二、填空题11．如图，在中，，，，点O在边上，且，以点O为圆心，r为半径作圆，如果与的边共有4个公共点，那么半径r取值范围是.12．如图，AB是的弦，D为半径OA的中点，过D作交弦AB于点E，且．若，，那么的半径为13．如图，已知扇形AOB的半径为6，圆心角为90°，E是半径OA上一点，F是上一点．将扇形AOB沿EF对折，使得折叠后的圆弧恰好与半径OB相切于点G，若OE＝5，则O到折痕EF的距离为．14．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝7，点E，F分别在边AD、BC上，且B、F关于过点E的直线对称，如果以CD为直径的圆与EF相切，那么AE＝．15．如图，在矩形ABCD中，过点A的圆O交边AB于点E，交边AD于点F，已知AD=5，AE=2，AF=4．如果以点D为圆心，r为半径的圆D与圆O有两个公共点，那么r的取值范围是．16．如图，以为圆心，半径为2的圆与轴交于、两点，与轴交于、两点，点为上一动点，于，当点从点出发顺时针运动到点时，点经过的路径长为．17．新定义：在中，点D、E分别是边的中点，如果上的所有点都在的内部或边上，那么称为的中内弧．已知在中，，，点D、E分别是边的中点，如果是的中内弧，那么长度的最大值等于．18．如图，在直角梯形中，，E是上一定点，．点P是BC上一个动点，以P为圆心，PC为半径作⊙P．若⊙P与以E为圆心，1为半径的⊙E有公共点，且⊙P与线段AD只有一个交点，则PC长度的取值范围是．三、解答题19．如图1，四边形ABCD内接于，BD为直径，上点E，满足，连接BE并延长交CD的延长线于点F，BE与AD交于点G，连接CE，．(1)求证：；(2)如图2，连接CG，．若，求的周长．20．如图，半圆的直径，点是上一点（不与点、重合），点是的中点，分别连接、．

(1)当是圆的内接正六边形的一边时，求的长；(2)设，，求与之间的函数解析式，并写出x的取值范围；(3)定义：三角形一边上的中线把这个三角形分成两个小三角形，如果其中有一个小三角形是等腰三角形，且这条中线是这个小三角形的腰，那么这条中线就称为这个三角形的中腰线．分别延长、相交于点，连接．是的中腰线，求的长．21．如图，已知半圆O的直径，C是圆外一点，的平分线交半圆O于点D，且，联结交于点E．(1)当时，求的长；(2)当时，求的值；(3)当为直角三角形时，求的值．22．如图1，在菱形中，，点在对角线上，，是的外接圆，点与点之间的距离记为．(1)如图2，当时，联结，求证：；(2)延长交射线于点，如果是直角三角形，求的长；(3)当圆心在菱形外部时，用含的代数式表示的半径，并直接写出的取值范围．23．已知在矩形中，，点O是边上的一点（不与点A重合），以点O为圆心，长为半径作圆，交射线于点G．

(1)如图1，当与直线相切时，求半径的长；(2)当与的三边有且只有两个交点时，求半径的取值范围；(3)连接，过点A作，垂足为点H，延长交射线于点F，如果以点B为圆心，长为半径的圆与相切，求的正切值．24．在平面直角坐标系中、的半径为1，为上一点，点．对于点给出如下定义：将点绕点顺时针旋转，得到点，点关于点的对称点为，称点为点的“对应点”．(1)如图，已知点，点，点为点的“对应点”．①在图中画出点；②求证：．(2)点在轴正半轴上，且，点为点的“对应点”，连接，当点在上运动时，直接写出长的最大值与最小值的积（用含的式子表示）25．如图，已知扇形的半径，，点、分别在半径、上（点不与点重合），联结．点是弧上一点，．（1）当，以为半径的圆与圆相切时，求的长；（2）当点与点重合，点为弧的中点时，求的度数；（3）如果，且四边形是梯形，求的值．

圆与正多边形单元综合检测（难点）一、单选题1．矩形中，，，点在边上，且，如果圆是以点为圆心，为半径的圆，那么下列判断正确的是（

）

A．点，均在圆外 B．点在圆外，点在圆内C．点在圆内，点在圆外 D．点，均在圆内【答案】C【分析】由，得到，，再根据勾股定理，在中计算出，在中计算出，则，然后根据点与圆的位置关系进行判断．【解析】解：如图，

四边形为矩形，，，，，，在中，，，，在中，，，，，点在圆内，点在圆外．故选：．【点睛】本题考查了点与圆的位置：设的半径为，点到圆心的距离，则有：点在圆外；点在圆上；点在圆内．2．如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=90°，AB=4，AD=，，圆O是以AB为直径的圆．如果以点C为圆心作圆C与直线AD相交，与圆O没有公共点，那么圆C的半径长可以是（

）A．9 B． C．5 D．【答案】D【分析】根据直角三角形的边角关系求出FC，进而求出BC，再根据勾股定理求出两个圆心之间的距离OC，由⊙C与直线AD相交，⊙C与⊙O没有公共点，确定⊙C半径的取值范围，进而得出答案．【解析】如图，连接OC交⊙O于点E，过点D作DF⊥BC于点F，则DF＝AB＝4，BF＝AD＝2，在Rt△DCF中，DF＝4，cotC＝，∴FC＝cotC•DF＝，∴BC＝BF＋FC＝3，在Rt△BOC中，，由于⊙C与直线AD相交，因此⊙C的半径要大于4，又⊙C与⊙O没有公共点，因此⊙C与⊙O外离或内含，当⊙C与⊙O外离时，⊙C的半径要小于CE＝7−2＝5，此时⊙C的半径4＜r＜5；当⊙C与⊙O内含时，⊙C的半径要大于7＋2＝9，此时⊙C的半径r＞9；所以⊙C的半径为4＜r＜5或r＞9，故选：D．【点睛】本题考查勾股定理，直线与圆的位置关系以及圆与圆的位置关系，掌握勾股定理，圆与圆的位置关系的判定方法是正确解答的前提．3．如图，在等边三角形中，，点为边上一动点，连接，在左侧构造三角形，使得，．当点由点运动到点的过程中，点的运动路径长为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由圆内接四边形的性质得出A，O，P，C四点共圆，根据圆周角定理得出点在的角平分线上运动，进而得出O点的运动轨迹为线段，当点在点时，，由∠OCB的正切值求出OB的长，当点在点时，△AOO′是等边三角形，从而得出OO′的长；【解析】如图，∵，，∴、、、四点共圆，∵，，∴，∵，∴，∴，∴点在的角平分线上运动，∴点的运动轨迹为线段，当点在点时，，当点在点时，，∴，∵，∴，∵，，∴△AOO′是等边三角形，∴，∴点的运动路径长为，故选：B．【点睛】本题考查圆内接四边形的性质（对角互补），圆周角定理，等边三角形的性质和判定，解直角三角形，由圆周角定理得出O点的运动轨迹为线段OO′是解题的关键．4．新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，如图，已知在的网格图形中，点A、B、C、D都在格点上，如果，那么图中所有符合要求的格点D的个数是（

）．A．3 B．5 C．7 D．9【答案】D【分析】由勾股定理及其逆定理可知是等腰直角三角形，得，然后找出所有符合条件的点D即可．【解析】解：∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，如图，由等腰直角三角形的性质可知，，由圆周角定理可知，顶点在圆周上的其余7个角的度数也是，∴符合条件的点D的个数是9个．故选D．【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，以及圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解答本题的关键．5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝18，AC＝24，点O在边AB上，且BO＝2OA．以点O为圆心，r为半径作圆，如果⊙O与Rt△ABC的边有3个公共点，那么下列各值中，半径r不可以取的是（

）A．6 B．10 C．15 D．16【答案】C【分析】根据勾股定理得到，求得OA＝10，OB＝20，过O分别作OD⊥AC于D，OE⊥BC于E，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解析】解：∵∠C＝90°，BC＝18，AC＝24，∴，∵BO＝2OA，∴OA＝10，OB＝20，过O分别作OD⊥AC于D，OE⊥BC于E，∴∠BEO＝∠C＝∠ADO，∵∠A＝∠A，∠B＝∠B，∴△BEO∽△BCA，△AOD∽△ABC，∴，，∴，，∴OE＝16，OD＝6，当⊙O过点C时，连接OC，根据勾股定理得，如图，∵以点O为圆心，r为半径作圆，如果⊙O与Rt△ABC的边有3个公共点，∴r＝6或10或16或，故选：C．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，相似三角形的判定和性质，正确的理解题意是解题的关键．6．如图，、是的两条弦，且．，，垂足分别为点、，、的延长线交于点，连接．下列结论正确的个数是（

）①；②；③；④A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】如图连接OB、OD，只要证明Rt△OMB≌Rt△OND，Rt△OPM≌Rt△OPN即可解决问题．【解析】解：如图连接OB、OD；∵AB=CD，∴，故①正确∵OM⊥AB，ON⊥CD，∴AM=MB，CN=ND，∴BM=DN，∵OB=OD，∴Rt△OMB≌Rt△OND，∴OM=ON，故②正确，∵OP=OP，∴Rt△OPM≌Rt△OPN，∴PM=PN，∠OPB=∠OPD，故④正确，∵AM=CN，∴PA=PC，故③正确，故选：D．【点睛】本题考查垂径定理、圆心角、弧、弦的关系、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．7．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝2，AB＝4，BC＝6，点O是边BC上一点，以O为圆心，OC为半径的⊙O，与边AD只有一个公共点，则OC的取值范围是（）A．4＜OC≤ B．4≤OC≤ C．4＜OC D．4≤OC【答案】B【分析】作DE⊥BC于E，当⊙O与边AD相切时，圆心O与E重合，即OC＝4；当OA＝OC时，⊙O与AD交于点A，设OA＝OC＝x，则OB＝6﹣x，在Rt△ABO中，由勾股定理得出方程，解方程得出OC＝；即可得出结论．【解析】作DE⊥BC于E，如图所示：则DE＝AB＝4，BE＝AD＝2，∴CE＝4＝DE，当⊙O与边AD相切时，切点为D，圆心O与E重合，即OC＝4；当OA＝OC时，⊙O与AD交于点A，设OA＝OC＝x，则OB＝6﹣x，在Rt△ABO中，由勾股定理得：42+（6﹣x）2＝x2，解得：x＝；∴以O为圆心，OC为半径的⊙O，与边AD只有一个公共点，则OC的取值范围是4≤x≤；故选B．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、直角梯形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握直角梯形的性质，分情况讨论是解题的关键．8．如图，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作，且使，连接，则长的最大值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、两圆的位置关系；作，使得，，则，，，由，推出，即（定长），由点是定点，是定长，点在半径为1的上，由此即可解决问题．【解析】解：如图，作，使得，，则，，，，，，，，，即（定长），点是定点，是定长，点在半径为1的上，，的最大值为，故选：C．9．如图，在平面直角坐标系中，，点C在y轴正半轴上，点D在x轴正半轴上，且，以为直径在第一象限作半圆，交线段于E、F，则线段的最大值为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】过的中点G作的垂线与交于点M，过点O作于H，连接，先求出，进而求出，再根据等面积法求出，由直角三角形斜边中线的性质得到，由垂径定理得到，由，可知当最小时，最大，即最大，再由，得到，则，即可得到．【解析】解：过的中点G作的垂线与交于点M，过点O作于H，连接∵，∴，∴，∵，∴；∵，G为的中点，∴，∵，∴，∴，∴当最小时，最大，即最大，∵，∴，∴，即，∴，∴．故选B．【点睛】本题主要考查了垂径定理、勾股定理、坐标与图形、直角三角形斜边上的中线的性质等知识点，正确作出辅助线是解题的关键．10．如图，是等边的外接圆，点D是弧上一动点（不与A，C重合），下列结论：①；②当最长时，；③；④当，时，；⑤当时，四边形最大面积是．其中一定正确的结论有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【分析】由是等边三角形，及同弧所对圆周角相等可得，即可判断①正确；根据最长时，为直径，可判定②正确；在上取一点E，使，可得是等边三角形，从而，有，可判断③正确；过点A作于点，根据直角三角形的性质以及勾股定理，即可判断④是错误的；把绕点逆时针转，使得与重合，点与点是对应点，因为，则，再结合②，即可作答．【解析】解：∵是等边三角形，∴，∵，，∴，，∴，故①正确；因为当最长时，则为的直径，∴，∵，∴，∴，故②正确；在上取一点E，使，如图：∵，∴是等边三角形，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，故③正确；由③知，则，过点A作于点，如图所示：在中，，则，因为所以在中，，∵是等边三角形，，故④是错误的；把绕点逆时针转，使得与重合，点与点是对应点，如图所示：因为，所以是等边三角形，易知所以则要使四边形最大面积，则最大此时为的直径由②知，则所以因为所以在，那么则，故⑤是正确的；∴正确的有①②③⑤，共4个，故选：C．【点睛】本题考查等边三角形及外接圆，涉及三角形全等的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识内容，解题的关键是正确作辅助线，构造三角形全等解决问题．二、填空题11．如图，在中，，，，点O在边上，且，以点O为圆心，r为半径作圆，如果与的边共有4个公共点，那么半径r取值范围是.【答案】【分析】利用勾股定理求出，，作交于点D，以O为圆心作圆，结合图形可知：的时候，交点为4个．【解析】解：∵，，，∴，∵，∴，，作交于点D，以O为圆心作圆，如图：∵，，∴，∴，即解得：，结合图形可知：当半径等于3的时候，交点为3个，当半径等于5的时候，交点为A、E、F3个，当的时候，交点为4个，∴半径r取值范围是．故答案为：【点睛】本题考查勾股定理，相似三角形的判定及性质，圆的性质，解题的关键是作出图形，结合图形分析求解．12．如图，AB是的弦，D为半径OA的中点，过D作交弦AB于点E，且．若，，那么的半径为【答案】【分析】连接OB、OC，作CH⊥BE于H点，根据条件证明△ADE∽△CHE，得到，设AE=m，DE=n，n(5-n)=m2，然后再推出∠OBC=∠ADE=90°，根据勾股定理建立等式，两式联立求解，从而求出AD长，即可解决问题．【解析】解：如图，连接OB、OC，作CH⊥BE于H点，∵BC=EC，CH⊥BE，∴BH=HE，∵∠ADE=∠CHE=90°，∠AED=∠HEC，∴△ADE∽△CHE，∴，设AE=m，DE=n，∴n(5-n)=m2，在Rt△OBC中，∵OB2+BC2=OC2，∴OD2=AD2=m2-n2，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA，∵CB=CE，又∴∠BEC=∠CBE=∠AED，∴，∴∠OBC=∠ADE=90°，∴∵，，,∴，将m2=n(5-n)代入整理得：，解得n=1或0（舍去），∴m=2，∴，∴，即的半径为．故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，以及圆的基本知识，解题的关键是利用构建方程的方法解决几何问题．13．如图，已知扇形AOB的半径为6，圆心角为90°，E是半径OA上一点，F是上一点．将扇形AOB沿EF对折，使得折叠后的圆弧恰好与半径OB相切于点G，若OE＝5，则O到折痕EF的距离为．【答案】【分析】过点G作OG的垂线，交的延长线于点，连接交EF于点H，连接，则点、G、F在以点为圆心，为半径的圆上，证得四边形为矩形，接着求得的长，再求得的长，又证得，从而得到，进而得到O到折痕EF的距离．【解析】解：如图，过点G作OG的垂线，交的延长线于点，连接交EF于点H，连接，则点、G、F在以点为圆心，为半径的圆上，∵与是等弧∴与是等圆∴∵∴∴四边形为矩形∴∴∵∴若则∴∴连接，有∵∴∴∴∴∴即O到折痕EF的距离为故答案为：．【点睛】本题考查轴对称、三角形、矩形与圆的综合问题，是填空题的压轴题，懂得根据题意构造出等圆是解题的关键．14．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝7，点E，F分别在边AD、BC上，且B、F关于过点E的直线对称，如果以CD为直径的圆与EF相切，那么AE＝．【答案】3.【分析】设⊙O与EF相切于M，连接EB，作EH⊥BC于H．由题意易知四边形AEHB是矩形，设AE＝BH＝x，由切线长定理可知，ED＝EM，FC＝FM，由B、F关于EH对称，推出HF＝BH＝x，ED＝EM＝7﹣x，FC＝FM＝7﹣2x，EF＝14﹣3x，在Rt△EFH中，根据EF2＝EH2+HF2，列出方程即可解决问题．【解析】解：如图，设⊙O与EF相切于M，连接EB，作EH⊥BC于H．由题意易知四边形AEHB是矩形，设AE＝BH＝x，由切线长定理可知，ED＝EM，FC＝FM，∵B、F关于EH对称，∴HF＝BH＝x，ED＝EM＝7﹣x，FC＝FM＝7﹣2x，EF＝14﹣3x，在Rt△EFH中，∵EF2＝EH2+HF2，∴42+x2＝（14﹣3x）2，解得x＝3或（舍弃），∴AE＝3，故答案为3．【点睛】本题考查切线的性质、矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．15．如图，在矩形ABCD中，过点A的圆O交边AB于点E，交边AD于点F，已知AD=5，AE=2，AF=4．如果以点D为圆心，r为半径的圆D与圆O有两个公共点，那么r的取值范围是．

【答案】【分析】因为以点D为圆心，r为半径的圆D与圆O有两个公共点，则圆D与圆O相交，圆心距满足关系式：|R-r|<d<R+r，求得圆D与圆O的半径代入计算即可.【解析】连接OA、OD，过O点作ON⊥AE，OM⊥AF.AN=AE=1，AM=AF=2，MD=AD-AM=3∵四边形ABCD是矩形∴∠BAD=∠ANO=∠AMO=90°，∴四边形OMAN是矩形∴OM=AN=1∴OA=,OD=∵以点D为圆心，r为半径的圆D与圆O有两个公共点，则圆D与圆O相交∴

【点睛】本题考查了圆与圆相交的条件，熟记圆与圆相交时圆的半径与圆心距的关系是关键.16．如图，以为圆心，半径为2的圆与轴交于、两点，与轴交于、两点，点为上一动点，于，当点从点出发顺时针运动到点时，点经过的路径长为．【答案】【分析】连接，，由垂直于，利用垂径定理得到为的中点，由的坐标确定出的长，在直角三角形中，由与的长，利用勾股定理求出的长，进而确定出的长，由求出的长，在直角三角形中，利用勾股定理求出的长，由垂直于，得到三角形始终为直角三角形，点的运动轨迹为以为直径的半圆，如图中红线所示，当位于点时，，此时与重合；当位于时，，此时与重合，可得出当点从点出发顺时针运动到点时，点所经过的路径的长，在直角三角形中，利用锐角三角函数定义求出的度数，进而确定出所对圆心角的度数，再由的长求出半径，利用弧长公式即可求出的长．【解析】解：连接，，，为的中点，即，，即，在中，根据勾股定理得：，，又，在中，根据勾股定理得：，，始终是直角三角形，点的运动轨迹为以为直径的半圆，当位于点时，，此时与重合；当位于时，，此时与A重合，当点从点出发顺时针运动到点时，点所经过的路径长长，在中，，，度数为，直径，的长为，则当点从点出发顺时针运动到点时，点所经过的路径长．故答案为：．【点睛】此题属于圆的综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，勾股定理，锐角三角函数定义，弧长公式，以及圆周角定理，其中根据题意得到点从点出发顺时针运动到点时，点所经过的路径长是解本题的关键．17．新定义：在中，点D、E分别是边的中点，如果上的所有点都在的内部或边上，那么称为的中内弧．已知在中，，，点D、E分别是边的中点，如果是的中内弧，那么长度的最大值等于．【答案】【分析】首先根据题意可知：当DE为直径时，长度取最大值，再根据圆的周长公式，即可求得【解析】解：由题知，在△ABC内部以DE为直径的半圆弧，就是△ABC的最长中内弧，∵点D、E分别是边的中点，∴DE是△ABC的中位线，∵∠A=90°，，∴，∴长度，故答案为：π．【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形中位线定理，弧长的计算，理解题意，得到当DE为直径时，长度取最大值是解题的关键．18．如图，在直角梯形中，，E是上一定点，．点P是BC上一个动点，以P为圆心，PC为半径作⊙P．若⊙P与以E为圆心，1为半径的⊙E有公共点，且⊙P与线段AD只有一个交点，则PC长度的取值范围是．【答案】或【分析】根据题意可得的最小值为圆P与相切，切点为M；最大值为圆与圆E内切，切点为Q，由直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系即可解决问题．【解析】解：根据题意可知：的最小值为圆P与相切，切点为M，如图所示：∴，在直角梯形中，∵，∴，∴四边形是矩形，∴，最大值为圆与圆E内切，切点为Q，∴，当时，此时圆P与线段开始有2个交点，不符合题意，设，则，∴，∴，则长度的取值范围是或．故答案为：或．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，直角梯形，解决本题的关键是掌握直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系．三、解答题19．如图1，四边形ABCD内接于，BD为直径，上点E，满足，连接BE并延长交CD的延长线于点F，BE与AD交于点G，连接CE，．(1)求证：；(2)如图2，连接CG，．若，求的周长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）先根据圆周角定理可得，从而可得，再根据圆周角定理可得，从而可得，则，然后根据三角形全等的判定证出，根据全等三角形的性质即可得证；（2）先在中，解直角三角形和勾股定理可得，再根据可得，从而可得，然后根据解直角三角形和勾股定理分别求出的长，最后根据三角形的周长公式即可得．【解析】（1）证明：为的直径，，，，，由圆周角定理得：，，，即，在和中，，，．（2）解：如图，连接，，设，则，，解得，，，，即，，由（1）已证：，，，，，，，则的周长为．【点睛】本题考查了圆周角定理、三角形全等的判定与性质、解直角三角形、勾股定理等知识点，熟练掌握圆周角定理和解直角三角形的方法是解题关键．20．如图，半圆的直径，点是上一点（不与点、重合），点是的中点，分别连接、．

(1)当是圆的内接正六边形的一边时，求的长；(2)设，，求与之间的函数解析式，并写出x的取值范围；(3)定义：三角形一边上的中线把这个三角形分成两个小三角形，如果其中有一个小三角形是等腰三角形，且这条中线是这个小三角形的腰，那么这条中线就称为这个三角形的中腰线．分别延长、相交于点，连接．是的中腰线，求的长．【答案】(1)(2)(3)的长为或【分析】（1）连接，，是圆的内接正六边形的一边时，进而判断是等边三角形，即可求解；（2）根据题意证明，得出则,，在，中，勾股定理即可求解；（3）分情况讨论，①当时，如图所示，过点作于点，则，②当时，分别画出图形，根据，解方程即可求解．【解析】（1）解：如图所示，连接，，

∵半圆的直径，∴，∵是圆的内接正六边形的一边时，∴,∴，∵是的中点，∴，∵，∴是等边三角形，∴；（2）解：如图所示，连接交于点，

∵是的中点，∴，∵是直径，∴，∴，∴，∴，∵，，∴,∴，在中，，∴，在中，，∴，∴，∵，∴，∴；（3）解：①当时，如图所示，过点作于点，则，

设，由（2）可得，，∵，为的中点，∴，∴，在中，，∴，在中，，又∵∴，解得：，∴；②如图所示，当时，

同理可得，则，,∴，解得：，∴，综上所述，的长为或．【点睛】本题考查了正多边形与圆，垂径定理，函数关系式，等边三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握是解题的关键．21．如图，已知半圆O的直径，C是圆外一点，的平分线交半圆O于点D，且，联结交于点E．(1)当时，求的长；(2)当时，求的值；(3)当为直角三角形时，求的值．【答案】(1)；(2)；(3)的值为或．【分析】（1）作于M，联结，证明四边形是矩形，求得，推出是等腰直角三角形，求得，再利用勾股定理即可求解；（2）同（1）作于M，联结，可得四边形是矩形，求得，由，求得，再求得，根据相似三角形的判定和性质即可求解；（3）分两种情况讨论，当时，同（1）可得四边形是矩形，再证明，利用相似三角形的性质求得的长，即可求解；当时，求得，即可求解．【解析】（1）解：作于M，联结，∵，∴，∵是的平分线，∴，∵，∴，∴，∴，∴四边形是平行四边形，又，∴四边形是矩形，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴；（2）解：作于M，联结，同理四边形是矩形，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴；（3）解：作于M，联结，同理四边形是矩形，∴，当时，∵，，∴，又，∴，∴，即，解得(负值已舍)，∴，∴；当时，由垂径定理得，∴是线段的垂直平分线，∴，∴，∴；综上，的值为或．【点睛】本题考查了垂径定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．22．如图1，在菱形中，，点在对角线上，，是的外接圆，点与点之间的距离记为．(1)如图2，当时，联结，求证：；(2)延长交射线于点，如果是直角三角形，求的长；(3)当圆心在菱形外部时，用含的代数式表示的半径，并直接写出的取值范围．【答案】(1)见解析(2)或；(3)【分析】（1）联结、，交于，由，得出，根据垂径定理得出，，则．由，得出．根据菱形的性质得出，则，（2）分当时，当时，如图所示，设交于点，分别画出图形，解直角三角形，即可求解；（3）分点在，上，以及与点重合时，与点重合时，分别求得的值，结合图形即可求解．【解析】（1）解：联结、，交于，如图，，，，，．，，．四边形为菱形，，，；（2）解：当时，如图所示，∵∴是的直径，∵菱形中，，∴，，∴，∵，则，∴，∴，设，则，，在中，，∴，解得：或（舍去），∴，∴，∴，∴，当时，如图所示，设交于点∵，，∴，又∵，则∴综上所述，或；（3）解：由（2）可知，当时，此时点在上，则当在上时，如图所示，过点作于点，∵，∴,∵设则∴∴,∴，当与重合时，如图所示，∵∴∴∴即∴∴，当点与点重合时，同理可得，则时，圆心在菱形外部时，综上所述，当时或时，即圆心在菱形外部．【点睛】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，垂径定理，圆周角定理，熟练掌握解直角三角形，与圆的相关性质是解题的关键．23．已知在矩形中，，点O是边上的一点（不与点A重合），以点O为圆心，长为半径作圆，交射线于点G．

(1)如图1，当与直线相切时，求半径的长；(2)当与的三边有且只有两个交点时，求半径的取值范围；(3)连接，过点A作，垂足为点H，延长交射线于点F，如果以点B为圆心，长为半径的圆与相切，求的正切值．【答案】(1)(2)或(3)或1【分析】（1）设与直线的切点为点E，连接，根据全等三角形的判定和性质及勾股定理求解即可；（2）分三种临界情况：①当与边的切点为点E，连接，此时恰好有三个交点，②当恰好经过点C时，连接，③当点O与点B重合时，作出相应图形求解即可；（3）根据题意，分两种情况：①两个圆外切时，②两个圆内切时，作出图形，然后利用相似三角形的判定和性质及正切函数的定义求解即可．【解析】（1）解：设与直线的切点为点E，连接，如图所示：

∴，∵矩形，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，设，则，∵，∴，解得：，∴半径的长为；（2）①如图所示：当与边的切点为点E，连接，此时恰好有三个交点，∴，∴四边形为矩形，∴，

∴由（1）得半径的长为，恰好有一个交点，∴当时，满足条件；②当恰好经过点C时，连接，如图所示：

设，则，∵，∴，解得：，∴半径的长为；∴当时，与的三边的交点多于2个，不满足条件；③当点O与点B重合时，如图所示，满足条件，

∴当时，满足条件；综上可得：或时，满足条件；（3）①当两个圆外切时，如图所示：

∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，设，，∴，即，∵两个圆相切，∴，即，

解得：，∴；②当两个圆内切时，如图所示：

∴，∴，∵，∴，∴，∴；综上可得：的正切值为或1．【点睛】题目主要考查切线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的性质及勾股定理解三角形，正切函数的定义等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．24．在平面直角坐标系中、的半径为1，为上一点，点．对于点给出如下定义：将点绕点顺时针旋转，得到点，点关于点的对称点为，称点为点的“对应点”．(1)如图，已知点，点，点为点的“对应点”．①在图中画出点；②求证：．(2)点在轴正半轴上，且，点为点的“对应点”，连接，当点在上运动时，直接写出长的最大值与最小值的积（用含的式子表示）【答案】(1)①见解析；②见解析(2)【分析】（1）①根据题意作图即可；②如图所示，过点作轴于T，证明，得到，进而求出，进一步求出，利用勾股定理求出的长即可得到结论；（2）如图1所示，取，连接，证