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文档简介
江西省奉新一中、南丰一中等六校2025届高考数学四模试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.设是定义域为的偶函数,且在单调递增,,则()A. B.C. D.2.函数的图象大致为()A. B.C. D.3.如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边,直角边.已知以直角边为直径的半圆的面积之比为,记,则()A. B. C. D.4.已知复数z,则复数z的虚部为()A. B. C.i D.i5.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是A. B. C. D.6.已知双曲线(,)的左、右顶点分别为,,虚轴的两个端点分别为,,若四边形的内切圆面积为,则双曲线焦距的最小值为()A.8 B.16 C. D.7.命题:的否定为A. B.C. D.8.已知集合M={y|y=2x,x>0},N={x|y=lg(2x-xA.(1,+∞) B.(1,2) C.[2,+∞) D.[1,+∞)9.已知在中,角的对边分别为,若函数存在极值,则角的取值范围是()A. B. C. D.10.已知满足,则()A. B. C. D.11.中,角的对边分别为,若,,,则的面积为()A. B. C. D.12.执行如下的程序框图,则输出的是()A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.曲线在处的切线方程是_________.14.已知全集,,则________.15.学校艺术节对同一类的四项参赛作品,只评一项一等奖,在评奖揭晓前,甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下:甲说:“作品获得一等奖”;乙说:“作品获得一等奖”;丙说:“,两项作品未获得一等奖”;丁说:“是或作品获得一等奖”,若这四位同学中只有两位说的话是对的,则获得一等奖的作品是___.16.已知双曲线-=1(a>0,b>0)与抛物线y2=8x有一个共同的焦点F,两曲线的一个交点为P,若|FP|=5,则点F到双曲线的渐近线的距离为_____.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,四边形为菱形,为与的交点,平面.(1)证明:平面平面;(2)若,,三棱锥的体积为,求菱形的边长.18.(12分)如图,在四棱锥中,侧棱底面,,,,是棱的中点.(1)求证:平面;(2)若,点是线段上一点,且,求直线与平面所成角的正弦值.19.(12分)设函数,是函数的导数.(1)若,证明在区间上没有零点;(2)在上恒成立,求的取值范围.20.(12分)已知椭圆的右焦点为,离心率为.(1)若,求椭圆的方程;(2)设直线与椭圆相交于、两点,、分别为线段、的中点,若坐标原点在以为直径的圆上,且,求的取值范围.21.(12分)如图在四边形中,,,为中点,.(1)求;(2)若,求面积的最大值.22.(10分)如图,四棱锥的底面中,为等边三角形,是等腰三角形,且顶角,,平面平面,为中点.(1)求证:平面;(2)若,求二面角的余弦值大小.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】
根据偶函数的性质,比较即可.【详解】解:显然,所以是定义域为的偶函数,且在单调递增,所以故选:C【点睛】本题考查对数的运算及偶函数的性质,是基础题.2、A【解析】
根据函数的奇偶性和单调性,排除错误选项,从而得出正确选项.【详解】因为,所以是偶函数,排除C和D.当时,,,令,得,即在上递减;令,得,即在上递增.所以在处取得极小值,排除B.故选:A【点睛】本小题主要考查函数图像的识别,考查利用导数研究函数的单调区间和极值,属于中档题.3、D【解析】
由半圆面积之比,可求出两个直角边的长度之比,从而可知,结合同角三角函数的基本关系,即可求出,由二倍角公式即可求出.【详解】解:由题意知,以为直径的半圆面积,以为直径的半圆面积,则,即.由,得,所以.故选:D.【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系,考查了二倍角公式.本题的关键是由面积比求出角的正切值.4、B【解析】
利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出【详解】,则复数z的虚部为.故选:B.【点睛】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.5、A【解析】
详解:由题意知,题干中所给的是榫头,是凸出的几何体,求得是卯眼的俯视图,卯眼是凹进去的,即俯视图中应有一不可见的长方形,且俯视图应为对称图形故俯视图为故选A.点睛:本题主要考查空间几何体的三视图,考查学生的空间想象能力,属于基础题。6、D【解析】
根据题意画出几何关系,由四边形的内切圆面积求得半径,结合四边形面积关系求得与等量关系,再根据基本不等式求得的取值范围,即可确定双曲线焦距的最小值.【详解】根据题意,画出几何关系如下图所示:设四边形的内切圆半径为,双曲线半焦距为,则所以,四边形的内切圆面积为,则,解得,则,即故由基本不等式可得,即,当且仅当时等号成立.故焦距的最小值为.故选:D【点睛】本题考查了双曲线的定义及其性质的简单应用,圆锥曲线与基本不等式综合应用,属于中档题.7、C【解析】
命题为全称命题,它的否定为特称命题,将全称量词改为存在量词,并将结论否定,可知命题的否定为,故选C.8、B【解析】M=y|y=N==x|∴M∩N=(1,2).故选B.9、C【解析】
求出导函数,由有不等的两实根,即可得不等关系,然后由余弦定理可及余弦函数性质可得结论.【详解】,.若存在极值,则,又.又.故选:C.【点睛】本题考查导数与极值,考查余弦定理.掌握极值存在的条件是解题关键.10、A【解析】
利用两角和与差的余弦公式展开计算可得结果.【详解】,.故选:A.【点睛】本题考查三角求值,涉及两角和与差的余弦公式的应用,考查计算能力,属于基础题.11、A【解析】
先求出,由正弦定理求得,然后由面积公式计算.【详解】由题意,.由得,.故选:A.【点睛】本题考查求三角形面积,考查正弦定理,同角间的三角函数关系,两角和的正弦公式与诱导公式,解题时要根据已知求值要求确定解题思路,确定选用公式顺序,以便正确快速求解.12、A【解析】
列出每一步算法循环,可得出输出结果的值.【详解】满足,执行第一次循环,,;成立,执行第二次循环,,;成立,执行第三次循环,,;成立,执行第四次循环,,;成立,执行第五次循环,,;成立,执行第六次循环,,;成立,执行第七次循环,,;成立,执行第八次循环,,;不成立,跳出循环体,输出的值为,故选:A.【点睛】本题考查算法与程序框图的计算,解题时要根据算法框图计算出算法的每一步,考查分析问题和计算能力,属于中等题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
利用导数的运算法则求出导函数,再利用导数的几何意义即可求解.【详解】求导得,所以,所以切线方程为故答案为:【点睛】本题考查了基本初等函数的导数、导数的运算法则以及导数的几何意义,属于基础题.14、【解析】
利用集合的补集运算即可求解.【详解】由全集,,所以.故答案为:【点睛】本题考查了集合的补集运算,需理解补集的概念,属于基础题.15、C【解析】
假设获得一等奖的作品,判断四位同学说对的人数.【详解】分别获奖的说对人数如下表:获奖作品ABCD甲对错错错乙错错对错丙对错对错丁对错错对说对人数3021故获得一等奖的作品是C.【点睛】本题考查逻辑推理,常用方法有:1、直接推理结果,2、假设结果检验条件.16、【解析】
设点为,由抛物线定义知,,求出点P坐标代入双曲线方程得到的关系式,求出双曲线的渐近线方程,利用点到直线的距离公式求解即可.【详解】由题意得F(2,0),因为点P在抛物线y2=8x上,|FP|=5,设点为,由抛物线定义知,,解得,不妨取P(3,2),代入双曲线-=1,得-=1,又因为a2+b2=4,解得a=1,b=,因为双曲线的渐近线方程为,所以双曲线的渐近线为y=±x,由点到直线的距离公式可得,点F到双曲线的渐近线的距离.故答案为:【点睛】本题考查双曲线和抛物线方程及其几何性质;考查运算求解能力和知识迁移能力;灵活运用双曲线和抛物线的性质是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)证明见解析;(2)1【解析】
(1)由菱形的性质和线面垂直的性质,可得平面,再由面面垂直的判定定理,即可得证;(2)设,分别求得,和的长,运用三棱锥的体积公式,计算可得所求值.【详解】(1)四边形为菱形,,平面,,又,平面,又平面,平面平面;(2)设,在菱形中,由,可得,,,,在中,可得,由面,知,为直角三角形,可得,三棱锥的体积,,菱形的边长为1.【点睛】本题考查面面垂直的判定,注意运用线面垂直转化,考查三棱锥的体积的求法,考查化简运算能力和推理能力,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18、(1)证明见解析;(2)【解析】
(1)的中点,连接,,证明四边形是平行四边形可得,故而平面;(2)以为原点建立空间坐标系,求出平面的法向量,计算与的夹角的余弦值得出答案.【详解】(1)证明:取的中点,连接,,,分别是,的中点,,,又,,,,四边形是平行四边形,,又平面,平面,平面.(2)解:,,又,故,以为原点,以,,为坐标轴建立空间直角坐标系,则,0,,,0,,,2,,,0,,,2,,是的中点,是的三等分点,,1,,,,,,,,,0,,,2,,设平面的法向量为,,,则,即,令可得,,,,,直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查了线面平行的判定,空间向量与直线与平面所成角的计算,属于中档题.19、(1)证明见解析(2)【解析】
(1)先利用导数的四则运算法则和导数公式求出,再由函数的导数可知,函数在上单调递增,在上单调递减,而,,可知在区间上恒成立,即在区间上没有零点;(2)由题意可将转化为,构造函数,利用导数讨论研究其在上的单调性,由,即可求出的取值范围.【详解】(1)若,则,,设,则,,,故函数是奇函数.当时,,,这时,又函数是奇函数,所以当时,.综上,当时,函数单调递增;当时,函数单调递减.又,,故在区间上恒成立,所以在区间上没有零点.(2),由,所以恒成立,若,则,设,.故当时,,又,所以当时,,满足题意;当时,有,与条件矛盾,舍去;当时,令,则,又,故在区间上有无穷多个零点,设最小的零点为,则当时,,因此在上单调递增.,所以.于是,当时,,得,与条件矛盾.故的取值范围是.【点睛】本题主要考查导数的四则运算法则和导数公式的应用,以及利用导数研究函数的单调性和最值,涉及分类讨论思想和放缩法的应用,难度较大,意在考查学生的数学建模能力,数学运算能力和逻辑推理能力,属于较难题.20、(1);(2).【解析】
(1)由椭圆的离心率求出、的值,由此可求得椭圆的方程;(2)设点、,联立直线与椭圆的方程,列出韦达定理,由题意得出,可得出,【详解】(1)由题意得,,.又因为,,所以椭圆的方程为;(2)由,得.设、,所以,,依题意,,易知,四边形为平行四边形,所以.因为,,所以.即,将其整理为.因为,所以,.所以,即.【点睛】本题考查椭圆方程的求法和直线与椭圆位置关系的综合运用,解题时要认真审题,注意挖掘题设中的隐含条件,合理地进行等价转化,考查计算能力,属于中等题.21、(1)1;(2)【解析】
(1),在和中分别运用余弦定理可表示出,运用算两次的思想即可求得,进而求出;(2)在中,根据余弦定理和基本不等式,可求得,再由三角形的面积公式以及正弦函数的有界性,求出的面积的最大值.【详解】(1)由题设,则在和中由余弦定理得:,即解得,∴(2)在中由余弦定理得,即,∴所以面积的最大值为,此时.【点睛】本题主要考查余弦定理在解三角形中的应用,以及三角形面积公式的应用,意在考查学生的数学运算能力,属于中档题.22、(1)见解析;(2)【解析】
(1)设中点为,连接、,首先通过条件得出,加,可得,进而可得平面,再加上平面,可得平面平面,则平面;(2)设中点为,连接、,可得平面,加上平面,则可如图建立直角坐标系,求出平面的法向量和平面的法向量,利用向量法可得二面角的余弦值.【详解】(1)证明:设
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