专题4.19三角形全等-几何模型2(倍长中线)(知识讲解)七年级数学下册基础知识专项讲练(北师大版)

专题4.19三角形全等-几何模型2（倍长中线）（知识讲解）图一图二图三【典型例题】1、（2020·江西南昌市·）如图所示，在中，为中线，，求的度数．【答案】45°【分析】延长AD至E，使，连结，则，根据全等三角形的性质得EC=AB，，由AB=2AD可得EC=AE，可得△AEC是等腰直角三角形，即可得∠DAC的度数．解：延长AD至E，使，连结，∵BD=CD，∠ADB=∠EDC∴，∴EC=AB，，∵AB=2AD，∴AB=AE=EC∴△AEC是等腰直角三角形，∴∠DAC=45°.故答案为45°.【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形的性质，解题的关键是作辅助线构建全等三角形和等腰直角三角形.举一反三：【变式】（2020·全国九年级专题练习）如图所示，为的角平分线，分别在上，，若．求证：．【答案】详见解析【分析】延长FD至G，使，连结CG，可证，则EF=CG，利用全等三角形和角平分线以及平行线的性质可得，根据等角对等边得AC=CG，即可得出结论.证明：延长FD至G，使，连结CG，∵DC=DE，∠EDF=∠CDG，∴，，，，又，，，.【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，关键是证△EDF与△CDG全等．2、（2020·宜春市宜阳学校八年级月考）阅读理解：（1）如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点，使得，再连接，把，，集中在中，利用三角形三边关系即可判断中线的取值范围是______．（2）解决问题：如图2，在中，是边上的中点，，交于点，交于点，连接，求证：．（3）问题拓展：如图3，在中，是边上的中点，延长至，使得，求证：．【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析．【分析】（1）如图1延长到点，使得，再连接，由AD为中线，推出BD=CD，可证△ACD≌△EBD（SAS）得AC=EB，在中，由三边关系即可，（2）如图2延长FD到G，使DG=FD，连结BG，EG由D为BC中点，BD=CD可证△FCD≌△GBD（SAS）得FC=GB，由，DF=DG得EF=EG，在△BEG中由三边关系，（3）如图3，延长AD到G使DG=AD，连结BG，由是边上的中点，得BD=CD，可证△ACD≌△GBD（SAS）得AC=GB，∠DAC=∠G，利用BE=BG即可推得答案，解答：（1）如图1延长到点，使得，再连接，∵AD为中线，∴BD=CD，在△ADC和△EDB中，∵CD=BD，∠ADC=∠EDB，AD=ED，∴△ACD≌△EBD（SAS），∴AC=EB=6，，∵，∴，∴，（2）如图2延长FD到G，使DG=FD，连结BG，EG，由D为BC中点，BD=CD，在△FDC和△GDB中，∵CD=BD，∠FDC=∠GDB，FD=GD，∴△FCD≌△GBD（SAS），∴FC=GB，∵，DF=DG，∴EF=EG，在△BEG中EG<EB+BG，即，（3）如图3，延长AD到G使DG=AD，连结BG，由是边上的中点，∴BD=CD，在△ADC和△GDB中，∵CD=BD，∠ADC=∠GDB，AD=GD，∴△ACD≌△GBD（SAS），∴AC=GB，∠DAC=∠G，∵BE=AC，∴BE=BG，∴∠BED=∠G=∠CAD．【点拨】本题考查中线加倍，三角形全等，三边关系，垂直平分线，等腰三角形，掌握中线加倍构造三角形，用三角形全等转化等量关系，用三边关系求取值范围，用垂直平分线转化线段，用等腰三角形证角是解题关键，举一反三：【变式】（2021·北京房山区·八年级期末）如图，在ABC中，AC=2AB，AD平分∠BAC，延长CB到点E，使BE=BD，连接AE．（1）依题意补全图形；（2）试判断AE与CD的数量关系，并进行证明．【答案】（1）见解析；（2），见解析【分析】（1）直接延长CB到点E，使BE=BD即可；（2）延长至点，使得，连接，可证得，则，再通过证明，可得到，从而得到即可．【详解】（1）如图所示：（2）如图，判断：证明如下：延长至点，使得，连接在和中，∵∴∴∵∴∵∴∵AD平分∠BAC∴在和中，∵∴∴又∵∴【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，主要涉及倍长中线的模型，熟记基本模型是解题关键．3、（2020·呼和浩特市启东中学八年级月考）如图，已知，点是的中点，且，求证：．【答案】证明见解析【分析】延长AE、BC交于点M，利用AAS证出△ADE≌△MCE，从而得出AD=MC，AE=ME，结合已知条件即可证出BM=AB，再利用SSS即可证出△BAE≌△BME，从而得出∠BEA=∠BEM，根据垂直定义即可证出结论．证明：延长AE、BC交于点M，如下图所示∵点是的中点，∴DE=CE，∵∴∠1=∠M在△ADE和△MCE中∴△ADE≌△MCE∴AD=MC，AE=ME∵∴MC＋BC=AB∴BM=AB在△BAE和△BME中∴△BAE≌△BME∴∠BEA=∠BEM∵∠BEA＋∠BEM=180°∴∠BEA=∠BEM=90°∴【点拨】此题考的是全等三角形的判定及性质、平行线的性质和垂直的定义，掌握全等三角形的判定及性质、平行线的性质和垂直的定义是解题关键．举一反三：【变式1】（2020·河北邢台市·金华中学八年级期中）某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入．（探究与发现）（1）如图1，AD是的中线，延长AD至点E，使，连接BE，证明：．（理解与应用）（2）如图2，EP是的中线，若，，设，则x的取值范围是________．（3）如图3，AD是的中线，E、F分别在AB、AC上，且，求证：．【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析【分析】（1）根据全等三角形的判定即可得到结论；（2）延长至点，使，连接，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的三边关系即可得到结论；（3）延长FD至G，使得，连接BG，EG，结合前面的做题思路，利用三角形三边关系判断即可．（1）证明：，，，，（2）；如图，延长至点，使，连接，在与中，，，，在中，，即，的取值范围是；故答案为：；（3）延长FD至G，使得，连接BG，EG，在和中，，，，，，在和中，，，，，，在中，两边之和大于第三边，，又，，【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中线的定义，三角形的三边关系，正确的作出图形是解题的关键．举一反三：【变式2】（2020·绵竹市孝德中学八年级期中）如图，AB=AE，AB⊥AE，AD=AC，DE=2AM，点M为BC的中点，连接AM．求证：AD⊥AC【答案】见解析【分析】延长AM至N，使MN=AM，证△AMC≌△NMB，推出AC=BN=AD，ED=AN，证△EAD≌△ABN，得到∠EAD+∠BAC=180°，即可证明AD⊥AC．证明：延长AM至N，使MN=AM，连接BN，

∵点M为BC的中点，

∴CM=BM，

在△AMC和△NMB中，，∴△AMC≌△NMB（SAS），

∴AC=BN，∠C=∠NBM，∠CAM=∠N，∵DE=2AM，AD=AC，∴DE=AN，AD=BN，在△EAD和△ABN中，，∴△EAD≌△ABN（SSS），∴∠EAD=∠ABN，∴∠EAD+∠BAC=∠EAD+∠BAN+∠CAM=∠ABN