数学学案：预习导航圆柱、圆锥、圆台和球

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精预习导航课程目标学习脉络1．理解圆柱、圆锥、圆台和球的有关概念,并能从运动的观点来认识这四种几何体的形成过程．2．掌握圆柱、圆锥、圆台和球的轴截面的结构特征．3．能运用圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征来描述现实生活中简单物体的结构．1．圆柱、圆锥、圆台圆柱圆锥圆台定义以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆台图形表示圆柱O1O圆锥SO圆台O1O结构特征底面两底面平行且半径相等的圆面圆面两底面是平行且半径不相等的圆面母线平行且相等相交于顶点延长线交于一点平行于底面的截面与两底面平行且半径相等的圆面平行于底面且半径不相等的圆面与两底面平行且半径不相等的圆面轴截面矩形等腰三角形等腰梯形思考1将圆柱、圆锥和圆台的侧面沿它们的一条母线剪开，在平面上展开得到它们的侧面展开图分别是什么图形？请画出来．提示：将圆柱、圆锥和圆台的侧面沿它们的一条母线剪开，然后放在平面上展开,它们分别是矩形、扇形和扇环，如图所示．思考2教材中的“探索与研究"对圆柱、圆锥、圆台:(1）平行于底面的截面是什么样的图形？(2)过轴的截面(简称轴截面）分别是什么样的图形？（3)研究圆柱、圆台和圆锥之间的关系．提示：（1)平行于底面的截面都是圆．（2)过轴的截面,对于圆柱是矩形,对于圆锥是等腰三角形，对于圆台是等腰梯形．(3)圆柱的上底面变小，就变为圆台，当上底面变为一个点时，它就变成了圆锥．圆台是由圆锥截得的，“还台为锥”是解决圆台问题的常用办法．2．球(1）概念：一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫做球面，球面围成的几何体叫做球．形成球的半圆的圆心叫球心;连接球面上一点和球心的线段叫球的半径；连接球面上两点且通过球心的线段叫球的直径．（2)表示：用表示球心的字母表示球．（3)球面也可以看作空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合．球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆．（4)在球面上，两点之间的最短距离就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度,我们把这个弧长叫做两点的球面距离．思考3球与球面有何区别？提示：球与球面是两个不同的概念，球是几何体，球面是曲面．但两者也有联系,即球面是球的表面．思考4实际生活中，飞机、轮船为什么尽可能以大圆弧为航线航行？提示：因为球面上两点间的最短距离是球面距离,这样走可使行程最短．特别提醒类比平面上直线与圆的位置关系,平面与球有以下几种位置关系：相离、相切、相交,其中相离是平面与球无公共点，相切是平面与球有且只有一个公共点，相交则是平面与球有无数多个公共点．3．组合体由柱、锥、台、球等基本几何体组合而成的几何体叫做组合体．思考5将矩形、直角三角形、直角梯形按如图所示的方式旋转，得到的图形仍是圆柱、圆锥、圆台吗？提示：不是．图①旋转后得到的是组合体，大圆柱中间挖掉一个小圆柱,图②旋转后得到2个对底的圆锥，图③得到的几何体是一个圆锥和一个圆柱的组合体．知识链接（1）经线与经度经线是地球表面上从北极到南极的半个大圆，在同一条经线上的点的经度都相等，如图所示，圆O是赤道面，圆O′是纬线圈,P点的经度与A点的经度相等，如果经过点B的经线是本初子午线（即0°经线),则P点的经度等于∠AOB，也等于∠PO′C．（2）纬线与纬度赤道是一个大圆，它是0°纬线,其他的纬线都是小圆，它们是由与赤道面平行的平面截球