26.1.2 第2课时 反比例函数的图象和性质的的综合运用

26.1.2反比例函数的图象和性质第2课时反比例函数的图象和性质的综合运用学习目标：1.理解反比例函数的系数k的几何意义，并将其灵活运用于坐标系中图形的面积计算中.(重点、难点)2.能够解决反比例函数与一次函数的综合性问题.(重点、难点)3.体会“数”与“形”的相互转化，学习数形结合的思想方法，进一步提高对反比例函数相关知识的综合运用能力.(重点、难点)自主学习自主学习一、知识链接1.反比例函数的图象是什么？2.反比例函数的性质与k有怎样的关系？合作探究合作探究要点探究探究点1：用待定系数法求反比例函数的解析式例1已知反比例函数的图象经过点A(2，6).(1)这个函数的图象位于哪些象限？y随x的增大如何变化？(2)点B(3，4)，C(，)，D(2，5)是否在这个函数的图象上？【针对训练】已知反比例函数的图象经过点A(2，3)．（1）求这个函数的表达式；（2）判断点B(－1，6)，C(3，2)是否在这个函数的图象上，并说明理由；（3）当－3<x<－1时，求y的取值范围．探究点2：反比例函数图象和性质的综合例2如图，是反比例函数图象的一支.根据图象，回答下列问题：(1)图象的另一支位于哪个象限？常数m的取值范围是什么？(2)在这个函数图象的某一支上任取点A(x1，y1)和点B(x2，y2).如果x1＞x2，那么y1和y2有怎样的大小关系？【针对训练】如图，是反比例函数的图象，则k的值可以是（）A．－1B．3C．1D．0探究点3：反比例函数解析式中k的几何意义操作1.在反比例函数的图象上分别取点P，Q向x轴、y轴作垂线，围成面积分别为S1，S2的矩形，填写下列表格：S1的值S2的值

S1与S2的关系猜想

S1，S2

与

k的关系P

(2，2)

，Q

(4，1)2.若在反比例函数中也用同样的方法分别取P，Q两点，填写表格：S1的值S2的值S1与S2的关系猜想

S1，S2

与

k的关系P

(－1，4)，Q

(－2，2)猜想由前面的探究过程，可以猜想：若点P是反比例函数图象上的任意一点，作PA垂直于x轴，作PB垂直于y轴，矩形AOBP的面积与k的关系是S矩形AOBP=|k|.证明我们就k<0的情况给出证明：【要点归纳】对于反比例函数，点Q是其图象上的任意一点，作QA垂直于y轴，作QB垂直于x轴，矩形AOBQ的面积与k的关系是S矩形AOBQ=|k|.推理：△QAO与△QBO的面积和k的关系是S△QAO=S△QBO=.【针对训练】如图，在函数(x＞0)的图象上有三点A，B，C，过这三点分别向x轴、y轴作垂线，过每一点所作的两条垂线与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为SA，SB，SC，则（）A.SA>SB>SCB.SA<SB<SCC.SA=SB=SCD.SA<SC<SB【典例精析】例3如图，点A在反比例函数的图象上，AC垂直x轴于点C，且△AOC的面积为2，求该反比例函数的表达式．【针对训练】1.如图，过反比例函数图象上的一点P，作PA⊥x轴于点A.若△POA的面积为6，则k=.2.若点P是反比例函数图象上的一点，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为点M，N，若四边形PMON的面积为3，则这个反比例函数的关系式是.例4如图，P，C是函数(x>0)图象上的任意两点，PA，CD垂直于x轴.设△POA的面积为S1，则(1)S1=；(2）梯形CEAD的面积为S2，则S1与S2的大小关系是S1S2；（3）△POE的面积S3和S2的大小关系是S2S3.（填“＞”，“＜”或者“＝”）【针对训练】如图，直线与双曲线交于A，B两点，P是AB上的点，△AOC的面积S1、△BOD的面积S2、△POE的面积S3的大小关系为.例5如图，点A是反比例函数(x＞0)的图象上任意一点，AB//x轴交反比例函数(x＜0)的图象于点B，以AB为边作平行四边形ABCD，其中点C，D在x轴上，则SABCD=___.【方法总结】解决反比例函数有关的面积问题，可以把原图形通过切割、平移等变换，转化为较容易求面积的图形.【针对训练】如图，函数y＝－x与函数的图象相交于A，B两点，过点A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，则四边形ACBD的面积为（）A.2B.4C.6D.8探究点4：反比例函数与一次函数的综合思考在同一坐标系中，函数和y=k2x+b的图象大致如下，则k1、k2、b各应满足什么条件？例6函数y=kx－k与（k≠0）的图象大致是（）【提示】由于两个函数解析式都含有相同的系数k，可对k的正负性进行分类讨论，得出符合题意的答案.【针对训练】在同一直角坐标系中，函数与y=ax+1(a≠0)的图象可能是（）例7如图是一次函数y1=kx+b和反比例函数的图象，观察图象，当y1﹥y2时，x的取值范围为.【针对训练】如图，一次函数y1=k1x+b(k1≠0)的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，观察图象，当y1＞y2时，x的取值范围是．例8已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点P(－3，4).试求出它们的解析式，并画出图象.想一想：这两个图象有何共同特点？你能求出另外一个交点的坐标吗？说说你发现了什么？【针对训练】反比例函数的图象与正比例函数y=3x的图象的交点坐标为．二、课堂小结当堂检测当堂检测1.如图，P是反比例函数的图象上一点，过点P作PB⊥x轴于点B，连接OP，且△OBP的面积为2，则k的值为（）A.4B.2C.－2D.不确定2.反比例函数的图象与一次函数y=2x+1的图象的一个交点是(1，k)，则反比例函数的解析式是_______．3.如图，直线y=k1x+b与反比例函数(x＞0)交于A，B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式k1x+b＞的解集是__________．4.已知反比例函数的图象经过点A(2，－4).（1）求k的值；（2）这个函数的图象分布在哪些象限？y随x的增大如何变化?（3）画出该函数的图象；（4）点B(1，－8)，C(－3，5)是否在该函数的图象上？5.如图，直线y=ax+b与双曲线交于A(1，2)，B(m，－4)两点，（1）求直线与双曲线的解析式；（2）求不等式ax+b＞的解集.6.如图，反比例函数与一次函数y=－x+2的图象交于A，B两点.（1）求A，B两点的坐标；（2）求△AOB的面积.参考答案自主学习一、知识链接1.解：反比例函数的图象是双曲线2.解：当k>0时，两条曲线分别位于第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，两条曲线分别位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大.合作探究一、要点探究探究点1：用待定系数法求反比例函数的解析式例1解：（1）因为点A(2，6)在第一象限，所以这个函数的图象位于第一、三象限；在每一个象限内，y随x的增大而减小.（2）设这个反比例函数的解析式为，因为点A(2，6)在其图象上，所以有，解得k=12.所以反比例函数的解析式为.因为点B，C的坐标都满足该解析式，而点D的坐标不满足，所以点B，C在这个函数的图象上，点D不在这个函数的图象上.【针对训练】解：（1）∵反比例函数的图象经过点A(2，3)，∴把点A的坐标代入表达式，得，解得k=6.∴这个函数的表达式为.（2）分别把点B，C的坐标代入反比例函数的解析式，因为点B的坐标不满足该解析式，点C的坐标满足该解析式，所以点B不在该函数的图象上，点C在该函数的图象上．（3）∵当x=－3时，y=－2；当x=－1时，y=－6，且k>0，∴当x<0时，y随x的增大而减小，∴当－3<x<－1时，－6<y<－2.探究点2：反比例函数图象和性质的综合例2解：（1）因为这个反比例函数图象的一支位于第一象限，所以另一支必位于第三象限.又因为这个函数图象位于第一、三象限，所以m－5＞0，解得m＞5.（2）因为m－5＞0，所以在这个函数图象的任一支上，y都随x的增大而减小，因此当x1＞x2时，y1＜y2.【针对训练】B探究点3：反比例函数解析式中k的几何意义证明解：设点P的坐标为(a，b)，∵点P(a，b)在函数的图象上，∴，即ab=k.若点P在第二象限，则a<0，b>0，∴S矩形AOBP=PB·PA=－a·b=－ab=－k；同理，∴S矩形AOBP=PB·PA=a·(－b)=－ab=－k.综上，S矩形AOBP=|k|.【针对训练】C【典例精析】例3解：设点A的坐标为(xA，yA)，∵点A在反比例函数的图象上，∴xA·yA＝k.又∵S△AOC＝xA·yA=·k＝2，∴k＝4.∴反比例函数的表达式为.【针对训练】1.-122.例4(1)2(2）>（3）=【针对训练】S1=S2<S3解析：由反比例函数面积的不变性易知S1=S2.PE与双曲线的一支交于点F，连接OF，易知，S△OFE=S1=S2，而S3＞S△OFE，所以S1，S2，S3的大小关系为S1=S2<S3例55【针对训练】D探究点4：反比例函数与一次函数的综合例6D【针对训练】B例7－2<x<0或x>3解析：y1﹥y2即一次函数图象处于反比例函数图象的上方时.观察右图，可知－2<x<0或x>3.【针对训练】-1<x<0或x>2例8解：设正比例函数、反比例函数的解析式分别为y=k1x和.由于这两个函数的图象交于点P(－3，4)，则点P(－3，4)是这两个函数图象上的点，即点P的坐标分别满足这两个函数解析式.所以4=-3k1，.解得，k2=-12则这两个函数的解析式分别为和，它们的图象如图所示.【针对训练】（2,6）或（-2,-6）当堂检测1.A2.3.1＜x＜54.解：（1）∵反比例函数的图象经过点A(2，－4)，∴把点A的坐标代入表达式，得，解得k=－8.（2）这个函数的图象位于第二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大.（3）如图所示：（4）该反比例函数的解析式为.因为点B的坐标满足该函数解析式，而点C的坐标不满足该函数解析式，所以点B在该函数的图象上，点C不在该函数的图象上.5.解：（1）把A(1，2)代入双曲线解析式中，得k=2，故双曲线的解析式为.当y=－