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学必求其心得,业必贵于专精学必求其心得,业必贵于专精学必求其心得,业必贵于专精预习导航1.理解等比数列的定义,并能利用定义判断或证明一个数列是否为等比数列.2.掌握等比数列的通项公式及性质,能够用它解决有关等比数列的问题.3.了解等比数列与指数函数的关系.1.等比数列的定义如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q(q≠0)表示.定义表达式为eq\f(an,an-1)=q(n≥2).知识拓展:(1)由于等比数列的每一项都可能作分母,故每一项均不为0,因此q也不能为0.(2)对于公比q,要注意它是每一项与它前一项的比,应防止把相邻两项的比的次序弄颠倒.(3)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”,同时注意如果一个数列不是从第2项起,而是从第3项或第4项起每一项与前一项的比都是同一个常数,此数列不是等比数列,这时可以说此数列从第2项起或第3项起是等比数列.(4)如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的比尽管是一个与n无关的常数,但却是不同的常数,这时此数列不是等比数列.【做一做1】下列数列中,等比数列的个数是________.①-1,-2,-4,-8;②1,-eq\r(3),3,-3eq\r(3);③1,1,1,1;④a,a,a,a.解析:若常数列的各项不为零,那么它也是等比数列,所以③是等比数列;①是首项为-1,公比为2的等比数列;②是首项为1,公比为-eq\r(3)的等比数列;④中a的值没确定,当a=0时,这四个数不能构成等比数列.答案:32.等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,则通项公式为.其中,a1,q均不为0.名师点拨:等比数列的通项公式an=a1qn-1的另外一种形式为an=am·qn-m.【做一做2】在等比数列{an}中,a1=8,a4=64,则公比q为()A.2B.3C.4D.8解析:由等比数列的通项公式,有a4=a1·q3,即64=8×q3,所以q=2.答案:A3.等比中项如果a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项,即G2=ab.等比数列中,除了首项与末项之外的任何一项是它的前一项与后一项的等比中项,即aeq\o\al(2,n)=an-1an+1,反过来,如果a,b同号,G=eq\r(ab)或-eq\r(ab),即G2=ab,那么G是a,b的等比中项.知识拓展:(1)x,G,y成等比数列等价于“G2=xy"(x,y均不为0),可以用它来判断或证明三数成等比数列,要注意“x,G,y成等比数列"与“G=eq\r(xy)”是不等价的,而应与“G=±eq\r(xy)”等价.(2)当x,y同号时,x,y的等比中项有两个,异号时没有等比中项.(3)在任意两个非零实数x和y之间,也可以插入n个数使之成为等比数列.但要注意:在实数范围内,当xy>0时,x,y之间可以插入任意个数;当xy〈0时,在x和y之间只能插入偶数个数使之成为等比数列.【做一做3】若2+eq\r(3),x,2-eq\r(3)成等比数列,则x的值是()A.1B.-1
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