数学学案：预习导航等比数列

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精预习导航1．理解等比数列的定义,并能利用定义判断或证明一个数列是否为等比数列．2．掌握等比数列的通项公式及性质，能够用它解决有关等比数列的问题．3．了解等比数列与指数函数的关系．1．等比数列的定义如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0）表示．定义表达式为eq\f(an,an－1)＝q（n≥2)．知识拓展：(1)由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q也不能为0．(2)对于公比q,要注意它是每一项与它前一项的比，应防止把相邻两项的比的次序弄颠倒．(3)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”，同时注意如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起每一项与前一项的比都是同一个常数，此数列不是等比数列,这时可以说此数列从第2项起或第3项起是等比数列．(4）如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的比尽管是一个与n无关的常数,但却是不同的常数，这时此数列不是等比数列．【做一做1】下列数列中,等比数列的个数是________．①－1,－2，－4，－8;②1，－eq\r（3)，3，－3eq\r（3)；③1,1，1，1；④a,a，a，a．解析：若常数列的各项不为零,那么它也是等比数列，所以③是等比数列;①是首项为－1，公比为2的等比数列;②是首项为1，公比为－eq\r（3）的等比数列；④中a的值没确定，当a＝0时,这四个数不能构成等比数列．答案：32．等比数列的通项公式设等比数列｛an}的首项为a1，公比为q，则通项公式为．其中，a1，q均不为0．名师点拨:等比数列的通项公式an＝a1qn－1的另外一种形式为an＝am·qn－m．【做一做2】在等比数列｛an}中，a1＝8，a4＝64，则公比q为（）A．2B．3C．4D．8解析：由等比数列的通项公式,有a4＝a1·q3，即64＝8×q3，所以q＝2．答案：A3．等比中项如果a与b中间插入一个数G，使a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，即G2＝ab．等比数列中，除了首项与末项之外的任何一项是它的前一项与后一项的等比中项，即aeq\o\al(2，n)＝an－1an＋1，反过来，如果a，b同号，G＝eq\r（ab)或－eq\r（ab），即G2＝ab，那么G是a，b的等比中项．知识拓展：（1）x，G，y成等比数列等价于“G2＝xy"（x，y均不为0)，可以用它来判断或证明三数成等比数列，要注意“x，G，y成等比数列"与“G＝eq\r（xy）”是不等价的,而应与“G＝±eq\r(xy）”等价．(2)当x，y同号时,x，y的等比中项有两个,异号时没有等比中项．（3)在任意两个非零实数x和y之间，也可以插入n个数使之成为等比数列．但要注意：在实数范围内,当xy>0时,x，y之间可以插入任意个数；当xy〈0时，在x和y之间只能插入偶数个数使之成为等比数列．【做一做3】若2＋eq\r（3),x，2－eq\r（3）成等比数列,则x的值是（)A．1B．－1