初中数学必会模型精讲精练之代数式化简求值

初中数学必会模型精讲精练代数式化简求值方法一：先化简，再代入例1：1.化简求值：，其中，．【答案】，．【解析】【分析】原式去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．【详解】解：，当，时，原式．【点睛】本题考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．变：1－12.先化简，再求值：，其中，．【答案】xy2+y3，9．【解析】【分析】原式去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．【详解】解：2(xy2+3y3−x2y)−(−2x2y+y3+xy2)−4y3=2xy2+6y3-2x2y+2x2y-y3-xy2-4y3=xy2+y3，当x=2，y=-3时，原式=．【点睛】本题考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．变式1－23.先化简，再求值：，其中，.【答案】,26【解析】【分析】先对整式去括号、合并同类项，再将，代入求值即可．【详解】解：，当，时，原式【点睛】本题考查整式化简求值，解题关键是熟练运用整式的运算法则.变式1－34.先化简，再求值：，其中x=1+，y=1﹣．【答案】；.【解析】【分析】先将括号里的通分得，再将分母用完全平方式转化，再将除法转化成乘法，进行化简，化简之后将x，y的值代入求解即可.【详解】解：原式===；当x=1+，y=1﹣时，原式==.方法二：赋值求值法赋值求值法是指代数式中的字母的取值由答题者自己确定，然后求出所提供的代数式的值的一种方法．这是一种开放型题目，答案不唯一，在赋值时，要注意取值范围．例25.请将式子化简后，再从0，1，2三个数中选择一个你喜欢且使原式有意义的的值代入求值．【答案】；当时，原式值为2或当时，原式值为4【解析】【分析】先计算括号内的分式的加法运算，再计算乘法运算，结合分式有意义的条件确定的值，再代入计算即可.【详解】解：原式．依题意，只要就行，当时，原式=或当时，原式=．【点睛】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算是解题的关键.变式2－16.先化简，，然后请你自选一个理想的x值求出原式的值【答案】；x=2时，原式=2.【解析】【分析】本题可先把分式化简，再将x的值代入求解；为了使原分式有意义，x取1、-1和0以外的任何数．【详解】原式==x=2时，原式=2.【点睛】本题需注意的是：化简后代入的数不能使分母的值为0．变式2－27.先化简，再求值：，其中x是从1，2，3中选取的一个合适的数．【答案】；-2【解析】【分析】先计算括号内的异分母分式减法，再计算乘法，最后将可选取的x值代入计算即可．【详解】解：原式，当时，原式．【点睛】此题考查分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则及确定字母的可取数值是解题的关键．方法三：先变形，再整体代入从整体上认识问题和思考问题是一种重要的思想方法，在数学学习中有很广泛的应用，整体思想主要是将所考察的对象作对一个整体来对待，而这个整体是各要素按一定的思路组合成的有机统一体．不求字母的值，将所求代数式变形成与已知条件有关的式子．①变换条件后，整体代入求值例318.已知，求的值．【答案】【解析】【分析】由可得再利用整体代入的方法把原式降到是二次多项式，再整体代入求值即可.【详解】解：，【点睛】本题考查的是利用整体思想求解代数式的值，掌握降次的思想方法是解题的关键.变式3－1－19.已知，则的值为________．【答案】1【解析】【分析】由已知可知，则，代入即可求值．【详解】解：，，则，．故答案为1．【点睛】本题考查了求代数式的值，关键是由已知条件求出和，考查了整体代入的思想．变式3－1－210.，求的值．【答案】【解析】【分析】结合题意，根据分式加法的性质，得；再根据分式性质计算，即可得到答案．【详解】∵∴∴∴．【点睛】本题考查了分式、代数式的知识，解题的关键是熟练掌握分式、代数式的性质，从而完成求解．②变换结论后，整体代入求值例3.211.如果，那么代数式的值为（）A.-3 B.-1 C.1 D.3【答案】D【解析】【分析】原式化简后，约分得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值．【详解】解：原式=∴原式=3，故选D.【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．变式3－2－112.已知，，求整式的值．【答案】22【解析】【分析】先把整式化简，然后把，分别作为一个整体代入求出整式的值．【详解】．把，代入得，原式．【点睛】求整式的值，一般先化简后求值，但当题目中含未知数的部分可以看成一个整体时，要用整体代入法，即把“整体”当成一个新的字母，求关于这个新的字母的代数式的值，这样会使运算更简便．变式3－2－213.已知，则的值为（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】C【解析】【分析】根据完全平方公式得到，据此求解即可．【详解】解：∵，∴，即，∴，故选：C．【点睛】本题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特征是解决此题的关键．③变换条件和结论后，整体代入求值例3.314.若，则的值为______．【答案】5【解析】【详解】∵，∴，∴===5，故答案为5．【点睛】本题考查了分式化简求值，正确地对所给的式子进行变形是解决此题的关键.变式3－3－115.已知x2﹣3x+1＝0，求x2的值．【答案】7【解析】【分析】先将等式两边同时除以x，并整理可得x3，然后利用完全平方公式的变形即可求出结论．【详解】解：∵x2﹣3x+1＝0，∴x﹣30，∴x3，∴x2（x）2﹣2＝32﹣2＝7．【点睛】此题考查的是等式的变形和完全平方公式的变形，掌握完全平方公式的变形是解题关键．变式3－3－216.先化简，再求值（﹣）÷，其中a，b满足a+b﹣=0．【答案】原式==2【解析】【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．【详解】（﹣）÷==由a+b﹣=0，得到a+b=，则原式==2．【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．方法四：隐含条件求值法先通过隐含条件求出字母值，然后化简再求值．例417.若单项式与是同类项，求代数式的值．【答案】0【解析】【分析】先通过与是同类项这一条件，将、的值求出，然后再化简求值式后求值．【详解】∵与是同类项，∴，解得：∴．【点睛】本题考查了整式运算、代数式、二元一次方程组的知识；解题的关键是熟练掌握同类项、代数式的性质，从而完成求解．变式4－118.已知，求的值．【答案】34【解析】【分析】先通过已知式，求出、的值，因为绝对值式和平方式都具有非负性，如果两个非负数之和等于0，那么它们均为0，再去括号，合并同类项把原式化简，最后代入求值即可.【详解】解：∵，又∵，，∴，解得：．，∴．当，时，原式．【点睛】本题考查的是非负数的性质，整式的加减运算，化简求值，掌握去括号，合并同类项是解题的关键.变式4－219.若和互为相反数，则________．【答案】37【解析】【分析】直接利用非负数的性质进而得出1﹣3a＝0，8b﹣3＝0，求出a，b的值，再代入所求代数式中即可求出答案．【详解】解：由题意知，，∵，∴，，∴，，∴．故答案为37．【点睛】本题考查了非负数的性质，解题时利用了绝对值和二次根式的非负性，也利用了互为相反数的两个数的和为0这个结论．方法五：利用“无关”求值或说理方法总结要说明一个代数式值与某个字母的取值无关时需先对原式进行化简，则可得出该无关字母的系数为0；若给定字母写错得出正确答案，则该代数式的值与该字母无关．例520.有这样一道题：计算的值，其中，．甲同学把“”错抄成了“”，他的计算结果也是正确的，你知道这是怎么回事吗？【答案】见解析．【解析】【分析】原式去括号合并得到最简结果，即可作出判断．【详解】解：，结果与x的取值无关，故甲同学把“”错抄成了“”，但他计算的结果也是正确的．【点睛】本题考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．变式5－121.已知，．（1）若的值与的值无关，求的值．（2）若的值与的值无关，求的值．【答案】（1）x的值为；（2）y的值为1．【解析】【分析】（1）将A，B代入A-2B，再去括号，再由题意可得，求解即可；（2）将A，B代入A−mB−3x，再去括号，再由题意可得，，求解即可；【详解】解：（1）∵A，B=，∴A-2B=（）2（）=，∵A-2B的值与y的值无关，∴，∴；∴x的值为；（2）∵A，B=，∴A−mB−3x=（）m（）−3x=∵A−mB−3x的值与x的值无关，∴，，∴，；∴y的值为1．【点睛】本题考查了整式的加减，熟练掌握整式的加减的运算法则是解题的关键．变式5－222.已知多项式值与的取值无关，求的值．【答案】2.【解析】【分析】对多项式进行变形为，根据多项式的值与的取值无关，则令，，求出m、n的值，然后代入进行计算即可.【详解】解：原式因为与的取值无关所以：当，时原式【点睛】本题主要考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握整式加减的运算法则是解题的关键.方法六：配方法若已知条件含有完全平方式，则可通过配方，把条件转化成几个平方和的形式，再利用非负数的性质来确定字母的值，从而求得结果．例623.已知a2＋b2＋2a－4b＋5＝0，求2a2＋4b－3的值．【答案】7．【解析】【详解】试题分析：利用交换律凑出完全平方公式，求出a,b的值，再代入目标整式求值.试题解析：解：因为a2+b2+2a-4b+5=0，∴（a2+2a+1）+（b2-4b+4）=0,即（a+1）2+（b-2）2=0，∴a+1=0且b-2=0，∴a=-1且b=2，∴原式=2×（-1）2+4×2-3=7．变式6－224.已知，求的值．【答案】9【解析】【分析】利用配方法将变为，根据非负数的性质得到，最后求出答案．【详解】解：∵∴，∴∴，∴，∴．【点睛】本题考查了配方法的应用以及代数式求值，关键在于将已知方程的左侧进行正确的配方．方法七：平方法在直接求值比较困难时，有时也可先求出其平方，再求平方值的平方根（即以退为进的策略），但要注意最后结果的符号．例725.已知且，则当时，的值等于________．【答案】【解析】【分析】利用分式的加减运算法则与完全平方公式把原式化为：，再整体代入求值，再利用平方根的含义可得答案.【详解】解：因为，，所以，又因为，所以，所以，故答案为：．【点睛】本题考查的是由条件式求解分式的值，掌握变形的方法是解题的关键.变式7－126.已知，则的值是________．【答案】【解析】【分析】把已知等式两边平方，利用完全平方公式化简，整理求出的值，再利用完全平方公式即可求出所求式子的值．【详解】解：由，得到，即，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握完全平方公式的变形是解本题的关键．变式7－227.若，求的值【答案】42【解析】【分析】根据题意先将式子a＋b＋c＝12进行完全平方后展开可得式子结合求出ab＋ac＋bc的值．【详解】根据题意可得：，将代入式子可得，则故答案为42．【点睛】此题考查完全平方公式，解题关键在于结合实际运用完全平方公式．方法八：特殊值法有些试题，用常规方法直接求解比较困难，若根据答案中所提供的信息，选择某些特殊情况进行分析，或选择某些特殊值进行计算，把一般形式变为特殊形式进行判断，这时常常会使题目变得十分简单．例828.若，则的值为________．【答案】1【解析】【分析】把代入已知计算得到；把代入已知计算得到；再利用平方差公式即可求解．【详解】解：由，若令，则；若令，则，所以．故答案为：1．【点睛】本题考查了代数式求值，求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．变式8－129.已知实数，满足，那么的值为（）A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】把所求分式通分，再把已知条件代入求解．【详解】解：∵，∴，∴．故选：C．【点睛】本题考查了分式的化简求值，妥题的关键是利用a•b=1，把a•b=1代入通分的式子就可得到，分子分母相等的一个分式，所以可求出答案是1．方法九：设参法遇到比值的情况，可对比值整体设参数，把每个字母用参数表示，然后代入计算即可．例930.已知，求的值．【答案】【解析】【分析】先根据设出，得到，，，然后代入分式求值即可．【详解】解：设，则，，．∴．【点睛】本题考查的是分式的化简求值，在解答此类题目时要注意，当条件是连等式，因此可用设参数法，即设出参数k，得出x，y，z与k的关系，然后再代入待求的分式化简是解题的关键．变式9－131.若，求的值．【答案】0【解析】【分析】设，则，，，然后计算即可得到答案．【详解】解：∵，设，∴，，，∴==；【点睛】本题考查了比例的性质，求代数式的值，解题的关键是熟练掌握比例的性质进行解题．变式9－232.已知，求的值．【答案】5【解析】【分析】设已知等式等于k，表示出x，y，z，代入原式计算即可得到结果．【详解】解：设，则x=3k，y=4k，z=7k，∴．【点睛】本题考查了比例的性质，利用等式的性质得出x=3k，y=4k，z=7k是解题关键．方法十：利用根与系数的关系如果代数式可以看作某两个“字母”的轮换对称式，而这两个“字母”又可能看作某个一元二次方程的根，可以先用根与系数的关系求得其和、积式，再整体代入求值．直接用根与系数的关系求值例10.133.阅读材料：设一元二次方程的两根为，，则两根与方程系数之间有如下关系，根据该材料填空：已知，是方程的两实数根，则的值为_____【答案】10【解析】【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系得到，两根之和与两根之积，把代数式变形成与两根之和和两根之积有关的式子，代入两根之和与两根之积，求得代数式的值．【详解】解：由题意知，，所以.故答案为：10．变式10－1－134.已知、是一元二次方程的两个根，则的值是（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据、是一元二次方程的两个根得到，再将变形为，然后代入计算即可．【详解】解：∵、是一元二次方程的两个根，∴∵，∴，选D．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程的两根为、，则，熟记知识点与代数式变形是解题的关键．②构造一元二次方程，利用根与系数的关系求值．例10.235.已知，，求的值．【答案】-3【解析】【分析】由已知得，是方程的两个根，再根据一元二次方程根与系数的关系求解即可．【详解】解：∵，，即，，∴，是方程的两个根，∴，，∴．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练地掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．方程()的两根为，则有，．变式10－2－136.已知，，，求值．【答案】5或13或10【解析】【分析】通过求解一元二次方程，并结合题意，得到m和n的值，再代入计算即可得到答案．【详解】∵∴∴或∵∴∴或∵∴当时，；当时，或∴或13或10．【点睛】本题考查了一元二次方程、代数式的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质，从而完成求解．③根的含义和根与系数的关系结合使用求值例10.337.已知，是方程的两根，求的值．【答案】34【解析】【分析】由，是方程的两根，可得，，，再把原式降次为：，从而可得答案.【详解】解：∵，是方程的两根∴，，∴【点睛】本题考查的是一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，掌握降次的思想是解题的关键.变式10－3－238.已知、是方程的两个实根，求的值．【答案】【解析】【分析】由方程的解与根与系数的关系可得：再把降次为，再变形，整体代入计算即可得到答案.【详解】解：、是方程的两个实根，【点睛】本题考查的是一元二次方程的解的含义，一元二次方程根与系数的关系，掌握降次的思想是解题的关键.方法十一：利用分式的基本性质求值例1139.已知,求的值.【答案】【解析】【详解】试题分析：由可得：代入式子中化简即可.试题解析：∵,∴=3y.∴.例11－140.先化简，再求值：·(m－n)，其中＝2.【答案】原式==5.【解析】【详解】【试题分析】先将分母进行因式分解，再约分化简，最后代入即可.·(m－n)＝·(m－n)＝.因为＝2，所以m＝2n.所以原式＝＝5.【试题解析】·(m－n)＝·(m－n)＝.因为＝2，所以m＝2n.所以原式＝＝5.【方法点睛】本题目是一道分式的化简求值，方法是：先将每个式子进行因式分解，再约分，化简.方法十二：利用消元法求值若已知条件以比值的形式出现，则可利用比例的性质设比值为一个参数，或利用一个字母来表示另一个字母．例1241.如果，则=()A. B.1 C. D.2【答案】C【解析】【详解】由题意可知，，因此，故选C变式12－142.若，则的值是（）A. B. C.1 D.【答案】A【解析】【分析】由已知得到，再代入原式计算即可求解．【详解】解：∵，∴，∴，故选：A．【点睛】本题考查了比例的性质，由已知得到再代入计算是解题的关键．变式12－243.已知，求和值．【答案】，【解析】【分析】由可得，，再代入求值即可.【详解】解：∵，∴，．∴，．【点睛】本题考查的是比例的基本性质，掌握利用含有一个字母的代数式表示另外一个字母是解题的关键.变式12