初中数学必会几何模型精讲精练之动点与函数图象

初中数学必会几何模型精讲精练动点与函数图象类型一动点与函数图象判断的解题策略方法一：趋势判断法根据几何图形的构造特点，对动点运动进行分段，并判断每段对应函数图象的增减变化趋势；例1.11.如图，正方形的边长为2，动点从点出发，在正方形的边上沿的方向运动到点停止，设点的运动路程为，在下列图象中，能表示的面积关于的函数关系的图象是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分、两种情况，分别求出函数表达式，即可求解．【详解】解：当时，如图，则，为常数；当时，如下图，则，为一次函数；故选：D．【点睛】本题考查了动点函数图象问题，在图象中应注意自变量的取值范围，注意分类讨论．变式1.1－12.如图，把一个小球垂直向上抛出，则下列描述该小球的运动速度（单位：）与运动时间（单位）关系的函数图像中，正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】一个小球垂直向上抛出，小球的运动速度v越来越小，到达最高点是为0，小球下落时速度逐渐增加，据此选择即可．【详解】根据分析知，运动速度v先减小后增大．

故选：C．【点晴】考查了动点问题的函数图象．解题关键分析小球的运动过程：一个小球垂直向上抛出，小球的运动速度v越来越小，到达最高点是为0，小球下落时速度逐渐增大．变式1.1－23.如图，正方形的边长为4，点从点出发，沿正方形的边，，移动，运动路线为．设点经过的路程为，的面积为．则下列图象能大致反映与的函数关系的是（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据动点从点A出发，首先向点B运动，此时y不随x的增加而增大，当点P在DC上运动时，y随着x的增大而增大，当点P在CB上运动时，y不变，据此作出选择即可．【详解】解：当点P由点A向点B运动时，y随着x的增大而增大，最大值为8；当点P在BC上运动时，y=AB•AD，y不变，y=8；当点P在CD上运动时，y随x的增大而减小，最小值为0．故选：B．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解决动点问题的函数图象关键是发现y随x的变化而变化的趋势．变式1.1－34.如图，在矩形中，，，动点沿折线从点开始运动到点．设运动的路程为，的面积为，那么与之间的函数关系的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由题中点P的运动轨迹和三角形面积的表示方法即可求得．【详解】解：点从运动到的过程中，的底边长不变，高逐渐增加，面积逐渐增加，当点P和点C重合时，由勾股定理得，此时的面积达到最大值，∴．从运动到的过程中，的底边长不变，高逐渐减小，面积逐渐减小，综上所述，与之间的函数关系的图象大致为，故选：B．【点睛】此题考查了矩形中动点三角形面积图像问题，解题的关键是由题意分析出三角形面积的变化情况．变式1.1－45.如图，点是菱形边上的动点，它从点出发沿路径匀速运动到点，设的面积为，点的运动时间为，则关于的函数图象大致为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设菱形的高为h，即是一个定值，再分点P在BC上，在CD上和在DA上三种情况，利用三角形的面积公式列式求出相应的函数关系式，然后选择答案即可．【详解】解：设菱形的高为h，分三种情况：①当P在BC边上时，y＝BP•h，∵BP随x的增大而增大，h不变，∴y随x的增大而增大，且为一次函数关系，故选项A和D不正确；②当P在边DC上时，y＝AB•h，AB和h都不变，∴在这个过程中，y不变，故选项B不正确；③当P在边AD上时，y＝AP•h，∵PA随x的增大而减小，h不变，∴y随x的增大而减小，且为一次函数，故选：C；【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，菱形的性质，根据点P的位置的不同，分三段求出△PAB的面积的表达式是解题的关键．方法二：解析式计算法根据题意求出每段的函数解析式，结合解析式对应的函数图象进行判断；例1.26.如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA运动，到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发，以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达A点停止运动．设P点运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】试题分析：由题意可得BQ=x．①0≤x≤1时，P点在BC边上，BP=3x，则△BPQ的面积=BP•BQ，解y=•3x•x=；故A选项错误；②1＜x≤2时，P点在CD边上，则△BPQ的面积=BQ•BC，解y=•x•3=；故B选项错误；③2＜x≤3时，P点在AD边上，AP=9﹣3x，则△BPQ的面积=AP•BQ，解y=•（9﹣3x）•x=；故D选项错误．故选C．考点：动点问题的函数图象．变式1.2－17.如图，在正方形ABCD中，边长CD为3cm．动点P从点A出B发，以cm/s的速度沿AC方向运动到点C停止．动点Q同时从点A出发，以1cm/s的速度沿折线AB→BC方向运动到点C停止．设△APQ的面积为y(cm2)，运动时间为x(s)，则下列图象能反映y与x之间关系的是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分点Q在AB、BC上运动这两种情况，利用三角形面积公式得出函数解析式即可判断．【详解】解：当点P在AC上，点Q在AB上时，y=AQ·AP=·x··x=x2，此时图像为一段开口朝上的抛物线；由题意知，AC=，当点Q运动至B点，P点运动至C点停止，当Q在BC上，P点在C点时，y=CQ·AB=×（6-x）×3=，此时图像为一段下降的线段，故选：D．【点睛】本题主要考查动点问题的函数图象以及二次函数和一次函数的图像性质，解题的关键是根据题意弄清两点的运动路线，据此分类讨论并得出函数解析式．变式1.2－28.如图，在矩形ABCD中，AD＝8cm，AB＝6cm．动点E从点C开始沿边CB向终点B以2cm/s的速度运动，同时动点F从点C出发沿边CD向点D以1cm/s的速度运动至点D停止．如图可得到矩形CFHE，设运动时间为x（单位：s），此时矩形ABCD去掉矩形CFHE后剩余部分的面积为y（单位：cm2），则y与x之间的函数关系用图象表示大致是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意写出函数解析式，分情况讨论即可．【详解】解：此题在读懂题意的基础上，分两种情况讨论：

当x≤4时，y＝6×8−（x•2x）＝−2x2＋48，此时函数的图象为抛物线的一部分，它的最上点抛物线的顶点（0，48），最下点为（4，16）；

当4＜x≤6时，点E停留在B点处，故y＝48−8x＝−8x＋48，此时函数的图象为直线y＝−8x＋48的一部分，它的最上点可以为（4，16），它的最下点为（6，0）．

结合四个选项的图象知选A项．

故选：A．【点睛】本题考查了二次函数及其图象，一次函数及其图象的知识，根据题意写出其解析式是解题的关键．变式12－39.如图，菱形的边长是，，动点P从点A出发，以的速度沿运动至点C，动点Q从点A出发，以的速度沿运动至点C．若P，Q同时出发，设运动时间为，的面积为（当B，P，Q三点共线时，不妨设），则下面图象中能表示S与t之间的函数关系的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分别求出分段的函数的解析式，即可求解．【详解】解：当0≤t≤2时，BQ=4﹣2t，AP=t,点P到AB的距离为t，S＝（4﹣2t）×t＝﹣（t﹣1）2+，∴该函数图象开口向下，当2＜t≤4时，BQ=4﹣2t，点P在AD上，到BC的距离为×4，S＝×（2t﹣4）××4＝2t﹣4，∴该函数图象是线段，且y随x的增大而增大，当4＜t≤8时，S＝×4××（8﹣t）＝8﹣t，∴该函数图象是线段，且y随x的增大而减小．故选：B．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，菱形的性质，求出分段函数解析式是本题的关键．方法三：定点求值法结合几何图形特点，在点运动的拐点、垂直点、特殊点处求出函数值，对选项进行排除；例1.310.如图，平面直角坐标系中，A点坐标为，点在直线上运动，设的值为，则下面能够大致反映w与m的函数关系的图象是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】结合函数图像的性质和勾股定理以及三角形两边之差小于第三边采用排除法作答．【详解】解：∵点P（m，n）在直线上运动，∴当m=0时，n=5，则P（0，5），A此时PO=5，PA=∴，故选项B不符合题意；当m=1时，n=2，则P（1，2），A此时PO=，PA=∴，故选项C不符合题意；由三角形两边之差小于第三边可知，而OA=w恒小于5，故选项D不符合题意故选：A【点睛】此题主要考查了动点问题的函数图象，准确识图，根据题意得出临界点时的函数值是解题关键．变式1.1－111.如图，，点B在射线上，．点P在射线上运动（点P不与点A重合），连接，以点B为圆心，为半径作弧交射线于点Q，连接．若，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先根据题意推测出而BP长度变化过程为由大变小，再变大，得到A、B选项错误，当AB⊥BP时，求出PQ≈4.47，进而推测D选项不合题意，问题得解．【详解】解：∵点P从A向M运动，且不与A重合，∴AP不断变大，而BP长度为由大变小，再变大，即：随x的增大，y的值先减小再增大，故选项A、B错误；如图，当AB⊥BP时，∵∠A=60°，∴∠APB=30°，∴AP=2AB=4，BP=，∴，即，观察C、D两个选项，可得D选项不合题意，故C选项符合题意．故选：C【点睛】本题为几何与函数综合题，考查了根据题意确定函数图象，勾股定理，含30°角的直角三角形性质等知识，解决此类题目一般求出函数解析式求解，如果解析式不易求出可以结合特殊情况进行排除求解．方法四：范围排除法根据动点的运动过程，求出两个变量的变化范围，对选项进行排除．例1－412.汽车开始行驶时，油箱内有油40升，如果每小时耗油5升，则油箱内的余油量（升）与行驶时间（小时）之间的函数关系的图象是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据油箱内余油量=原有的油量-t小时消耗的油量，可列出函数关系式，得出图象．【详解】解：由题意得，油箱内余油量Q（升）与行驶时间t（小时）的关系式为：Q=40-5t（0≤t≤8），

结合解析式可得出图象：

故选B．【点睛】此题主要考查了函数图象中由解析式画函数图象，特别注意自变量的取值范围决定图象的画法．变式1.4－113.若等腰三角形的周长是100cm，则能反映这个等腰三角形的腰长y（cm）与底边长x（cm）之间的函数关系式的图象是A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】试题分析：根据题意，x+2y=100，∴y=﹣x+50．根据三角形的三边关系，①x＞y﹣y=0；②x＜y+y=2y，即x+x＜100，解得x＜50．∴y与x的函数关系式为y=﹣x+50（0＜x＜50）．观察各选项，只有C选项符合．故选C．类型二动点与函数图象计算的解题策略一般步骤：一看图：注意函数图象横纵坐标分别表示的量与取值范围，以及图象的拐点、最值点等；二看形：观察题目所给几何图形的特点，运用几何性质分析动点整体运动情况；三结合：几何动点与函数图象相结合，求出图形中相关线段长度或图形面积的值；四计算：结合已知，列出等式，计算未知量，常用勾股定理、面积相等和相似等方法进行计算求解．例214.如图1，在矩形ABCD的边AD上取一点E，连接BE．点M，N同时以1cm/s的速度从点B出发，分别沿折线B-E-D-C和线段BC向点C匀速运动．连接MN，DN，设点M运动的时间为ts，△BMN的面积为Scm2，两点运动过程中，S与t的函数关系如图2所示，则当点M在线段ED上，且ND平分∠MNC时，t的值等于（）A.2+2 B.4+2 C.14﹣2 D.12﹣2【答案】D【解析】【分析】分析图像得出BE和BC，求出AB，作EH⊥BC于H，作EF∥MN，M1N2∥EF，作DG⊥M1N2于点G，求出EF和M1N2，在△DM1N2中，利用面积法列出方程，求出t值即可．【详解】解：由题意可得：点M与点E重合时，t=5，则BE=5，当t=10时，点N与点C重合，则BC=10，∵当t=5时，S=10，∴，解得：AB=4，作EH⊥BC于H，作EF∥MN，M1N2∥EF，作DG⊥M1N2于点G，则EH=AB=4，BE=BF=5，∵∠EHB=90°，∴BH==3，∴HF=2，∴EF=，∴M1N2=，设当点M运动到M1时，N2D平分∠M1N2C，则DG=DC=4，M1D=10-AE-EM1=10-3-（t-5）=12-t，在△DM1N2中，，即，解得：，故选D．【点睛】本题考查了动点问题的函数图像，矩形的性质，勾股定理，面积法，解题的关键是读懂图象，了解图象中每个点的实际含义．变式2.1－115.如图①，在矩形中，H为边上的一点，点M从点A出发沿折线运动到点B停止，点N从点A出发沿运动到点B停止，它们的运动速度都是，若点M、N同时开始运动，设运动时间为，的面积为，已知S与t之间函数图象如图②所示，则下列结论正确的是（）①当时，是等边三角形．②在运动过程中，使得为等腰三角形的点M一共有3个．③当时，．④当时，．⑤当时，．A.①③④ B.①③⑤ C.①②④ D.③④⑤【答案】A【解析】【分析】由图②可知：当0＜t≤6时，点M、N两点经过6秒时，S最大，此时点M在点H处，点N在点B处并停止不动；由点M、N两点的运动速度为1cm/s，所以可得AH=AB=6cm，利用四边形ABCD是矩形可知CD=AB=6cm；当6≤t≤9时，S=且保持不变，说明点N在B处不动，点M在线段HC上运动，运动时间为（9-6）秒，可得HC=3cm，即点H为CD的中点；利用以上的信息对每个结论进行分析判断后得出结论．【详解】解：由图②可知：点M、N两点经过6秒时，S最大，此时点M在点H处，点N在点B处并停止不动，如图，①∵点M、N两点的运动速度为1cm/s，∴AH=AB=6cm，∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=6cm．∵当t=6s时，S=cm2，∴×AB×BC=．∴BC=．∵当6≤t≤9时，S=且保持不变，∴点N在B处不动，点M在线段HC上运动，运动时间为（9-6）秒，∴HC=3cm，即点H为CD的中点．∴BH=．∴AB=AH=BH=6，∴△ABM为等边三角形．∴∠HAB=60°．∵点M、N同时开始运动，速度均为1cm/s，∴AM=AN，∴当0＜t≤6时，△AMN为等边三角形．故①正确；②如图，当点M在AD的垂直平分线上时，△ADM为等腰三角形：

此时有两个符合条件的点；当AD=AM时，△ADM为等腰三角形，如图：当DA=DM时，△ADM为等腰三角形，如图：综上所述，在运动过程中，使得△ADM为等腰三角形的点M一共有4个．∴②不正确；③过点M作ME⊥AB于点E，如图，由题意：AM=AN=t，由①知：∠HAB=60°．在Rt△AME中，∵sin∠MAE=，∴ME=AM•sin60°=t，∴S=AN×ME=．∴③正确；④当t=9+时，CM=，如图，由①知：BC=，∴MB=BC-CM=．∵AB=6，∴tan∠MAB=，∴∠MAB=30°．∵∠HAB=60°，∴∠DAH=90°-60°=30°．∴∠DAH=∠BAM．∵∠D=∠B=90°，∴△ADH∽△ABM．∴④正确；⑤当9＜t＜9+时，此时点M在边BC上，如图，此时MB=9+-t，∴S=．∴⑤不正确；综上，结论正确的有：①③④．故选：A．【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，主要涉及函数图象上点的坐标的实际意义，三角形的面积，等腰三角形的判定，等边三角形的判定，相似三角形的判定，特殊角的三角函数值．对于动点问题，依据已知条件画出符合题意的图形并求得相应线段的长度是解题的关键．变式2.2－216.如图①，在矩形ABCD中，AB<AD，对角线AC、BD相交于点O，动点P从点A出发，沿A→B→C→D向点D运动．设点P的运动路程为x，ΔAOP的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则下列结论错误的是（）A.四边形ABCD的面积为12 B.AD边的长为4C.当x=2.5时，△AOP是等边三角形 D.ΔAOP的面积为3时，x的值为3或10【答案】C【解析】【分析】过点P作PE⊥AC