重庆市南开中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题（含答案）

1PAGE第12页重庆南开中学高2026级高二（上）期中考试数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题共58分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知为抛物线上一点，F为抛物线的焦点，则（）A.1 B.2 C.3 D.42.已知数列满足：，，则（）A.10 B.11 C.12 D.133.若椭圆的离心率为，上顶点到焦点的距离为4，则椭圆短轴长为（）A.2 B. C.4 D.4.已知圆，直线与圆C交于A，B两点，若为直角三角形，则的值为（）A.1 B.3 C.4 D.95.已知为双曲线上一动点，过原点的直线交双曲线于，两点，其中，则的最小值为（）A. B. C. D.6.已知正方体中，为平面上一动点，若到的距离与到的距离相等，则的轨迹为（）A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线7.已知双曲线的左顶点和右焦点分别为A，F，O为坐标原点，经过点A的直线l与双曲线的两条渐近线交于点M，N，设M，N的中点为P，满足，则直线l的斜率为（）A. B. C. D.8.已知F为椭圆的右焦点，A，B为圆上两个关于原点对称的点，若恒成立，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知数列满足：，则以下说法正确的是（）A.数列为单调递减数列 B.C. D.10.如图，，为双曲线的左右焦点，，为该双曲线的两条渐近线，到一条渐近线的距离为2，过的直线与双曲线左右两支分别交于点M，N，.则下列说法正确的是（）A. B.C.的内切圆半径是 D.11.如图所示，椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0，双曲线，双曲线.三条曲线有相同焦点，且，P，Q分别为椭圆E与双曲线，的交点.，三条曲线的离心率分别为e，，，则（）A. B.曲线E和在点Q处的切线互相垂直C. D.若，则第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知直线过点，并且与双曲线有且只有一个公共点，写出满足条件的的一个方程________________.13.已知椭圆，是椭圆C的右顶点，过椭圆的左焦点垂直于长轴的直线交椭圆于M，N两点，则的面积为________________.14.已知抛物线，准线为l，过直线交抛物线于A，B两点，AP垂直l于点P，点C满足，则的最小值为________________.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.等差数列前n项和为，若，，公差.（1）求的通项公式；（2）若，求n的值.16.已知椭圆的左右焦点分别为，，上顶点为A，，点在椭圆C上.（1）求椭圆C的方程；（2）直线l过点，与C交于D，E两点，若，求直线l的方程.17.如图，在四棱锥中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为平行四边形，其中∠ABC＝45°，，E为棱PC上一动点.（1）若E为PC中点，求证：AE⊥平面PBC；（2）若E是棱PC上靠近P的三等分点，求平面ABE和平面PBE夹角的余弦值.18.已知，动点P到点F的距离比到直线的距离小1.记动点P的轨迹为E.（1）求E的方程；（2）设，过点P作E的切线，与直线l交于点K，直线PT与l交于点M，与抛物线交于另一点Q.（i）证明：点K与点M纵坐标的乘积为定值；（ii）设，，求的最大值.19.已知双曲线，过右焦点的直线与双曲线交于A，B两点.当直线的斜率为时，线段AB的中点为.（1）求双曲线的方程；（2）直线上有两点P，Q满足：，，其中，.已知，点P在双曲线上.（i）证明：点Q也双曲线上；（ii）若，是否存在以PQ为直径的圆，与y轴相切.若存在，求出圆的方程；若不存在，说明理由.重庆南开中学高2026级高二（上）期中考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】C2.【答案】B3.【答案】D4.【答案】B5.【答案】B6.【答案】D7.【答案】A8.【答案】C二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.【答案】AD10.【答案】ABD11.【答案】BCD第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.【答案】（答案不唯一）13.【答案】14.【答案】四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.【解析】【分析】（1）由等差数列及其求和公式的基本量的计算即可得解；（2）直接由等差数列求和公式列方程即可求解.【小问1详解】设等差数列的首项为，则，解得，所以；【小问2详解】若，即，解得或（舍去）.16.【解析】【分析】（1）根据题设可得、，结合椭圆参数关系求椭圆方程；（2）由题设，可设，，联立椭圆并应用韦达定理、弦长公式列方程求参数m，即可得直线方程.【小问1详解】由，得，易知，又且，可得，所以椭圆方程为.【小问2详解】当直线斜率为0时，与椭圆没有交点，不合题意，可设，，联立抛物线，则，整理得，所以，即，则，，所以，整理得，可得（负值舍），即，所以，直线的方程为.17.【解析】【分析】（1）根据题设可得，由线面垂直的性质有，再根据线面垂直的判定、性质定理得，等腰三角形性质得，最后根据线面垂直的判定证结论；（2）构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求面面角的余弦值即可.【小问1详解】由题设，所以，由PA⊥平面ABCD，面，则，又均在面内，所以面，由面，则，因为，且E为PC中点，则，由均在面内，所以AE⊥平面PBC；【小问2详解】由（1），且四边形ABCD为平行四边形，则，又PA⊥平面ABCD，故可构建如图所示的空间直角坐标系，所以，由，则，所以，，，，设平面的法向量为，则，令，可得，设平面的法向量为，则，令，可得，若平面ABE和平面PBE夹角为，则.18.【解析】【分析】（1）根据题设并利用两点距离公式列方程求轨迹方程；（2）（i）由题意有，设直线，联立抛物线并结合相切关系求得，进而有，即可求K坐标，即可证；（ii）由题意得，联立与抛物线，应用韦达定理最值即可.【小问1详解】设，显然，由题设，所以，即为动点P的轨迹方程；【小问2详解】由题意，可设直线，则，（i）设直线，联立，得，因为与抛物线相切，所以，则，所以，令，得，而，所以，故点K与点M的纵坐标的乘积为定值；（ii）由题意，又，当且仅当时等号成立，联立，得，显然，所以，，则，，所以，综上，，即目标式最大值为，当且仅当时成立.19.【解析】【分析】（1）先根据题设求得，再应用点差法得到，结合双曲线参数关系求出参数，即可得方程；（2）（i）由题意，，先将代入双曲线得到，再把代入双曲线左侧表达式化简判断否等于1，即可证；（ii）设、，结合在上，得到、中横纵坐标关系，并化简得直线的方程为，联立双曲线应用韦达定理，结合等于2倍的圆心横坐标绝对值列方程求得、，进而写出圆的方程，即可判断存在性.【小问1详解】令直线，若，有，设，则，作差并整理得，代入斜率和中点得，又，可得，故双曲线方程为.【小问2详解】（i）由题意，，由在双曲线上，则，整理得，所以，将代入双曲线左侧得，所以点Q也在双曲线