2024年高考数学终极押题密卷2（新高考Ⅱ）含答案

2024年高考数学终极押题密卷2（新高考H）

一,选择题（共8小题）

1.已知集合A=｛小B=｛x|y=x『｝，贝1JAA8=（）

A.[0,41B.（0,1]C.（0,41D.[0,1]

2.已知复数z满足z2=-1,则|J+2z|=（）

A.1B.V3C.V5D.3

3.已知a,0是两个平面，/n,丁是两条直线,且a_L0,mua,〃u0,则“相_L〃”是“加_L0”的（

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

4.2023年12月初，某校开展宪法宣传FI活动，邀请了法制专家杨教授为广大师生做《大力弘扬宪法精神,

建设社会主义法制文化》的法制报告，报告后杨教授与四名男生、两名女生站成一排合影留念，要求杨

教授必须站中间，他的两侧均为两男1女，则总的站排方法共有（）

A.300B.432C.600D.864

5.“-1W6V1”是“方程匹x+b有唯一实根”的（）

A.充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充要条件D.非充分非必要条件

6.权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正

数a,b,x,y,满足li』£〉（a+b）2,当且仅当包上时，等号成立.则函数

xyx+yxy

皿）《一（0<,《）的最小值为（）

A.16B.25C.36D.49

7.设Zl,Z2为复数，则下列命题正确的是（）

A.若zi+z2>0,则zC,

z2L1

B.若Z1Z2=O,则zi=0且Z2=0

C.若0|=|z2|,则滔=z£

k乙

D.若|Z-Z||=|Z-Z2|，且Zl关72，则Z在复平面对应的点在一条直线上

8.已知Q为圆A：(x-1)2+y2=l上动点，直线/1：nix-ny+3fn+2n=0和直线/2：nx+my-6in+n=0("i,

nGR,m2+n2^O)的交点为尸，则尸Q的最大值是()

A.6+^/5B.4—C.5+V^D.1+V^

二.多选题(共3小题)

(多选)9.已知函数f(x)=sin(a)x+(p)(co>(),0<(p<n),若)=】,且

66

VxC(—,—)»都有了(X)<1，贝I()

66

A.y=f(x)在(0,且二)单调递减

X2

B.y=f(x)的图像关于(W，0)对称

X2

C.直线y二-Fx」■是一条切线

2

D.y=f(x)的图像向右平移工个单位长度后得到函数g(x)是偶函数

3

(多选)10.已知函数/(4)是定义域为R的可导函数，若/(x+y)=/(x)+f(y)+3xy(工+.y),且/

(0)=・3,则()

A./(x)是奇函数

B./(x)是减函数

C.f(V3)=0

D..v=1是/(.x)的极小值点

(多选)11.已知，〃，〃为两条不同的直线，a,0两个不同的平面，且/〃JLa,〃〃仇则()

A.若/〃〃〃，则a_L0B.若〃?〃B，则〃?_L〃

C.若机_L0,则，〃_L〃D.若m〃〃,则〃?〃B

三.填空题(共3小题)

12,“函数/(幻=a?-sinx是奇函数”的充要条件是实数。=.

13,在边长为4的正方形4/3c。中，如图1所示，E,F,M分别为“C,C。，/3£的中点，分别沿A£,AF

及石尸所在直线把△AEB,△力F。和折起，使氏C,。三点重合于点P,得到三棱锥P-AEr，

如图2所示，则三棱锥P-AE尸外接球的表面积是；过点M的平面截三棱锥尸-AE尸外接

球所得截面的面积的取值范围是.

图2

14.己知实数a>0,〃>0,且劭(a+8〃)=4,则”+4〃的最小值为.

四.解答题(共5小题)

15.已知函数/(x)=/-al-3x.

(1)若/(%)在尤［1,+8)上是增函数，求实数a的取值范围；

(2)若％=3是/(x)的极值点，求/(x)在工日1,a］上的最小值和最大值.

16.一只蚂蚁位于数轴％=0处，这只蚂蚊每隔一秒钟向左或向右移动一个单位长度，设它向右移动的概

率为2,向左移动的概率为2.

33

(1)己知蚂蚁2秒后所在位置对应的实数为非负数，求2秒后这只蚂蚊在x=0处的概率；

(2)记蚂蚁4秒后所在位置对应的实数为X,求X的分布列与期望.

17.如图，在梯形ABC。中，AB//CD,NBAO=9()°,CD=2AD=2fAB=3,石为线段AB上靠近点A

的三等分点，将△AOE沿着。七折叠，得到四棱锥A-8CDE,使平面AQEJ■平面8CQE,P为线段CE

上的点.

(2)是否存在点P,使得直线AP与平面A3E所成角的正弦值为匹？若存在，求出线段EP的长；若

6

不存在，请说明理由.

18.在平面直角坐标系xO)，中，点。为坐标原点，已知两点A(-1,2),8(-1,-2),点M满足mA+而|

=0M-(0A+0E)+2,记点M的轨迹为G.

(I)求曲线G的方程：

(H)若P,C,D为曲线G上的三个动点，ZCPD的平分线交x轴于点Q(小0)(a<-1),点。

到直线PC的距离为1.

2024年菁优高考数学终极押题密卷2(新高考II)

参考答案与试题解析

一.选择题(共8小题)

1.已知集合A={小2・3x-4W0},B={x|y=x4'则AG"()

A.[0,4]B.(0,i]C.(0,4]D.[0,1]

【考点】一元二次不等式及其应用；交集及其运算.

【专题】集合思想；综合法；集合；数学运算.

【答案】A

【分析】先求出集合4,B,再利用集合的交集运算求解.

2

【解答】解：集合4={.#-3尸4五0)=3-々后4},B=(x|y=/]={Aiv^0},

••・AnB=30WxW4}.

故选：A.

【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法，考查了集合的基本运算，属于基础题.

2.已知复数z满足2=-1,则|J+2z|=()

A.1B.V3C.V5D.3

【考点】复数的模.

【专•题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算.

【答案】C

【分析】根据已知条件，结合复数模公式，即可求解.

【解答】解：复数z满足z?=-1,

则z=±八

当z=i时，?+2z=-1+2/,

故|-l+2i|=V(-1)2+22=V5»

当2=・i时,z2-2z=-1-2i,

故22

I-I-2/1=7(-I)+(-2):联,

综上所述，|z2+2z|=遥.

故选：C.

【点评】本题主要考查复数模公式，属于基础题.

3.已知a,0是两个平面,/〃，八是两条直线，且a_L0,mua,〃u0,则“加_L〃”是“机_L0’的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【考点】直线与平面垂直；平面与平面垂直；充分条件与必要条件.

【专题】转化思想；综合法；立体几何；数学运算.

【答案】B

【分析】由直线与平面垂直可得线面的垂直，判断出“〃?_!_/'是的必要条件，再由两个平面

的垂直不一定推出两条直线的垂直，判断出所给命题的真假.

【解答】解：因为/〃_LB，a_LB，〃?ua,〃uB，所以

此时“小J_〃”是的必要条件；

设aCB=a,〃?ua,ncf,若a,〃_La,所以加_L〃，显然此时

此时“机_L〃”是“机_L（T的不充分条件；

综上所述：“机是“小_L『的必要不充分条件.

故选：B.

【点评】本题考变平面垂直的性质的应用及充分条件必要条件的判断方法，属于基础题.

4.2023年12月初，某校开展宪法宣传日活动，邀请了法制专家杨教授为广大师生做《大力弘扬宪法精神,

建设社会主义法制文化》的法制报告，报告后杨教授与四名男生、两名女生站成一排合影留念，要求杨

教授必须站中间，他的两侧均为两男1女，则总的站排方法共有（）

A.300B.432C.600D.864

【考点】排列、组合及简单计数问题.

【专题】计算题；转化思想；综合法；排列组合；数学运算.

【答案】B

【分析】根据特殊原元素先排列，4名男生、两名女生平均分组再排序的原则得出结果.

【解答】解：杨教授站中间，只有1种方法；

C2c2

四名男生分成两组放在两边方法数一^人余

A2

两名女生放在两边方法数

2

每一边两名男生与一名女生再排序，得出总的方法数为NT2A，A^AmAm=432・

2

故选：B.

【点评】本题主要考查排列、组合及简单的计数问题，考查运算求解能力，属于基础题.

5.“-1WX1”是“方程J-J=x+b有唯一实根”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.非充分非必要条件

【考点】直线与圆的位置关系；充分条件与必要条件.

【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算.

【答案】4

【分析】由题意可得直线），=.叶力与.上半圆有且仅有•个交点，数形结合可得方的取值范围,

进而可得结论.

【解答】解：方程d=x+b有唯一解，即直线了=X+力与上半圆y巾］有且仅有一个交点，

当直线与半圆相切时，可得；_L^L=i,解得b=&（舍负）,

V2

所以人的取值范围为［-1,DU{V2},

・•・-力V】是方程由二）=x+b有唯一解的允分不必要条件•

故选:A.

【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属中档题.

6.权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正

y,满足式工〉（a+b）2,当且仅当

数a>b,x生上时，等号成立.则函数

yx+yy

」「316

f(x)--rr—（0<x<!）的最小值为（）

xl-3x3

A.16B.25C.36D.49

【考点】基本不等式及其应用.

【专题】整体思想；综合法；不等式；数学运算.

【答案】D

【分析】根据权方和不等式，直接计算即可.

【解答】解：因为正数a,b,x,满足或上l）（a+b）2,

xyx+y

又即I-3Q0,于是得f（x）不q->忐*=49，

33xl-3x3x+（l-3x）

当且仅当」-一^,即x△时取“=”，

xl-3x7

所以函数的f（式）%〈工）最小值为49.

xl-3x3

故选：。.

【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题.

7.设zi,Z2为复数，则下列命题正确的是（）

A.若Zl+Z2>0，则ZcG,

z2，1

B.若ziz2=（）,则zi=O且Z2=O

c.若|zi|=|Z2|，则z；=z：

D.若|z-zi|=|z-Z2|,且ZIKZ2,则z在复平面对应的点在一条直线上

【考点】复数的运算；复数的模.

【专题】对应思想；定义法；数系的扩充和复数；逻辑推理；数学运算.

【答案】D

【分析】利用特殊值法可判断选项A、C；

设zi=a+历，Z2=c+di,根据模长运算和复数乘法运算可判断选项3；

设z=〃+〃i,zi=m+〃ii,z2=G2+b2iCatb,m,h\,“2,历WR）,根据模长运算和复数乘法运算可判断

选项。.

【解答】解：对于A,令zi=l+i,Z2=・i,贝I]Z|+Z2=1>0，此时Zo#]，选项从错误：

4X

时于B,设zi=a+〃i,z2=c+di(a,b,c,t/GR),则ziz2=(ac-bd)+(ad+bc)i=0,

所以，卜c-bd=0,Bpfac=bd,则_£d；

ad+bc=0Iad=-bc

若C=d=(),则42cd="*cd成立，此时Z2=O：

若c=0,4#0,由知b=0；由ad=7N知：a=0,此时zi=0；

同理可知：当c#0,d=0时,zi=0；

若cWO,dWO,由Jcd=-/?%(/得：cr=-Z?2,贝【Ja=》=O,此时zi=0；

综上知，若ZIZ2=0，则Z1=O或Z2=0，选项6错误；

对于C,令zi=l,Z2=i,则m=忆2|=1,此时J卉z会选项C错误；

对于。，设z=a+Z?i,z\=a\+b\i,Z2=a2+b2i(a,b,a\.bi.。2,历£R),

则z-zi=(a-ai)+(b-bi)i,z-Z2=(a-。2)+(b-历)i,

22

由|z-ziI=|z-z2|,可得J(a-ai)2+(b-b])2=-J(a-a2)+(b-b2)'

2222

bo

+一

所以2a(a122-a121一

又m・。2、b\-bi不全为零，

22

a

所以2(a1-a9)a+2(bi-bn)b+ao1+b2=0表示一条直线,

即z在复平面对应的点在一条直线上，选项。正确.

故选：。.

【点评】本题考查了复数的定义、模长运算、复数乘法运算法则等基础知识，也考查数学运算核心素养,

是基础题.

8.已知Q为圆A：（x-1）?+y2=1上动点，直线A：-理+3m+2〃=0和直线/2：心+四，-6〃?+〃=0（〃?,

吒R,苏+“2^0）的交点为尸，则PQ的最大值是（）

A.6+^/5B.4—VBC.5+^/5D.1+>/5

【考点】直线与圆的位置关系.

【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算.

【答案】4

【分析】先根据两条直线的方程，判断出直线人过定点M（-3,2）,直线/2过定点N（-l,6）,并

且两条直线互相垂直，得出点P的轨迹是以MN为直径的圆，然后根据点。在圆A上运动，利用点与

圆的位置关系求出IPQI的最大值.

【解答】解：直线/i：加+2〃=0,即加（x+3）+〃（・y+2）=0,可知直线/1过定点M（・3,

2),

直线/2：nx+my-6w+/z=0,&Jn(A+1)+m(y-6)=0,可知直线，2过定点N(-1,6).

因为直线/i的方向向量％=(n,m>直线，2的方向向量三=皿-n>且m・n=0，

所以11：，可知直线/i与直线/2互相垂直，

因此，直线/I与直线12的交点P的轨迹是以线段MN为宜径的圆，

该圆的圆心为MN的中点C(-2,4),半径r=|CM|=V(-2+3)2+(4-2)2=V5,

因为Q为圆人：(x-1)2+/=|上动点，圆人的圆心为人(1,()),半径门=1,

所以CQ长度的最大值为IACI+门(1+2)2+(o+4)2+1=6,

因此，|PQ|的最大值等于八。|+川+/=6+返.

故选：A.

【点评】本题主要考查直线的方程及其性质、圆的方程、点与圆的位置关系等知识，属于中档题.

二.多选题(共3小题)

(多选)9.已知函数/(x)=sin(a)A+(p)(a)>0,OVcpVn),若f(_、)=f)二］,且

66

Vx6(―,—y都有/(x)VI，则()

66

A.y=f(x)在(0,且二)单调递减

12

B.y=f(x)的图像关于(上三，0)对称

X2

C.直线y=-FX总是一条切线

D.y=f(x)的图像向右平移工个单位长度后得到函数g(x)是偶函数

3

【考点】函数y=Asin(u)x+(p)的图象变换.

【专题】函数思想；综合法；三角函数的图象与性质；数学运算.

【答案】BC

【分析】依题意，可求得了(冷的解析式，进而对四个选项逐一分析可得答案.

【解答】解：设函数/(x)=sin(3K+(p)(3>0)的周期为。由题意，得7=等=哈・(・毛)

=7T,

:•3=2；

A2X(--)+<p=2E+工(AWZ),

62

・・・(p=2E+^L(蛇Z),又OV(p<TT,

•••m<p―--5--"--，

6

.*./(x)=sin(2x+5无)=cos(2A-+-2L).

63

当在且时，()在5兀

(o,L)2X+2L6(2L,22L),y=fx(o,)上不单调，A错误;

12336~12

=CS

,­V°口吟+学…等=。,

/.y=/(x)的图像关于(3L,0)对称，笈正确；

X2

\V(O)=co^2L=A,且，(0)=-2sin(2X0+—)=・孤，

323

(x)在点(0,1)处的切线方程为)=・«x+l,C正确；

22

'(x)=f(x-=cosf2(x-2L)+?L]=cos(Zv-不是偶函数，D错误.

3333

故选：BC.

【点评】本题考查函数y=Asin(COA+(P)的解析式的求法，考查余弦函数的图像与性质的应用，属于中

档题.

(多选)10.己知函数f(x)是定义域为R的可导函数，若f(x+y)=f(x)+f(y)+3xy(x+y),且/

(0)=-3,则()

A./(.t)是奇函数

B.f(x)是减函数

C.f(V3)=0

D.x=l是f(x)的极小值点

【考点】利用导数研究函数的单调性.

【专题】函数思想；转化法；导数的综合应用；逻辑推理.

【答案】ACD

【分析】对于A：令x=y=0,得/(0)=0,令y=-x,得0=/(x)+f(-x),由奇函数的定义，即

可判断A是否正确；

对于B：f(x+y)=f(x)+f(y)+3xy(x+y)=f(x)+f(y)+(x+y)3-x3-y3,则f(x+y)-(x+y)

3=f(x)-x^+f(y)-_y3,设/(k)，则，(x)=3/+A,由，(0)=-3,解得匕分析/

'(x)的符号，/(x)的单诡性，即可判断8是否正确；

对于C：由上可知=1・3口计算函数值/(旧)，即可判断C1是否正确：

对于。：由/(x)的单调性，可得极值点，即可判断。是否正确.

【解答】解：对于A：令％=y=0,得/(0)=0,

令了=-x,得0=/(x)4/(-x),

所以/(x)是奇函数，故A正确；

对于B：f(x+y)=f(x)+f(y)+3xy(x+y)=/(x)+f(y)+(x+y)3-x3-y3,

得/(x+y)-(x+)，)3=/(x)-A/(y)

设/(x)-/=履，则/(x)=3/+&,

因为/(0)=-3,

所以k=-3,

所以f(x)=/-3x,f(x)=3/-3,

令/(x)=0,得4=±1,

所以在(-8,-1)±,/Cr)>0,/(外单调递增，

在(-1,1)上，/(%)<0,/(%)单调递减，

在(1,+8)上，［(x)>0,/(x)单调递增，故8错误：

对于C：由上可知/(x)=?-3x,

所以/(«)=(V3)3・3禽=3如-3«=0,故C正确；

对于6由/(冷的单调性，可得x=l是/(x)的极小值点，故。正确.

故选：ACD.

【点评】本题考查抽象函数，解题中注意转化思想的应用，属于中档题.

(多选)11.已知/〃，〃为两条不同的直线，a,0两个不同的平面，且〃?_La,〃〃印贝I()

A.若用〃〃，则a_L0B.若〃?〃侨则机_L〃

C.若机_1_0,则机_L〃D.若加〃〃，则阳〃0

【考点】空间中直线与平面之诃的位置关系；平面与平面之间的位置关系：空间中直线与直线之间的位

置关系.

【专题】对应思想；定义法；空间位置关系与距离；逻辑推理.

【答案】AC

【分析】A由面面垂直的判定定理即可判断，BCD由线面之间的关系即可判断.

【解答】解：对于A,由面面垂直的判定定理即可判断a_L0,故A正确；

对于8,若〃?_La,〃〃由小〃0可得直线机与直线〃可能平行、相交、异面，故8错误：

对于c,若〃…0,又〃〃B则加_1_〃，故c正确；

对于。，若机〃〃，〃〃由则加〃0或机u0,故。错误.

故选：AC.

【点评】本题考查空间线面的位置关系的判断，属「中档题.

三.填空题(共3小题)

12.“函数/(X)=一・siiu•是奇函数”的充要条件是实数〃=_&_.

【考点】函数奇偶性的性质与判断；充分条件与必要条件.

【专题】整体思想：综合法；函数的性质及应用；数学运算.

【答案】0.

【分析】由已知结合奇函数的定义即可求解.

【解答】解：若/(x)-sinx是奇函数，

则/(・x)=-f(x)恒成立，即ax1-sin(-A)=-al+sinx恒成立，

所以2公2=。恒成立，即〃=().

故答案为：0.

【点评】本题主要考查了奇函数定义的应用，属于基础题.

13.在边长为4的正方形4BCD中，如图1所示，E,F,M分别为8C,CD,8E的中点，分别沿AE,AF

及EF所在直线把△AE8,和△EFC折起，使B,C,。三点重合于点P,得到三棱锥P-AER

如图2所示，则三极锥P-AEF外接球的表面积是球n；过点M的平面截三棱锥。外接球

所得截面的面积的取值范围是Im6H一

图I图2

【考点】球的体积和表面枳.

【专题】转化思想；分割补形法；立体几何；直观想象.

【答案】2411,m，6TT].

【分析】将三棱锥补形为边长为2,2,4长方体，三棱锥P-AE尸外接球即为补形后长方体的外接球,

即可求解.

【解答】解：由题意，将三棱锥补形为边长为2,2,4长方体，如图所示：

三棱锥P-AEF外接球即为补形后长方体的外接球，

所以外接球的直径（2R）2=22+22+42=24,

所以三棱锥P-AEF外接球的表面积为S=4TTR2=24TT,

过点M的平面截三棱锥P-AEF的外接球所得截面为圆，

其中最大截面为过球心0的大圆，

此时截面圆的面枳为冗R2=兀（，^）2=6几，

最小截面为过点M垂直于球心。与M连线的圆，

此时截面圆半径r=VR2_op2二正其=1，

截面圆的面积为口尸=冗，

所以过点M的平面截三棱锥P-AEF的外接球所得截面的面积的取值范围为[IT,6n].

故答案为：24n,[TT,6n].

【点评】本题考查空间几何体的外接球问题，属于中档题.

14.已知实数q>0,。>0,且曲（«+8/?）=4,则出4。的最小值为

四.解答题（共5小题）

15.已知函数f（X）=/-67X2-3x.

（1）若/（外在人日1,+8）上是增函数，求实数。的取值范围；

（2）若x=3是的极值点，求f（x）在戈日1,上的最小值和最大值.

【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究函数的单调性.

【专题】计算题.

【答案】见试题解答内容

【分析】利用导数求闭区间上函数的极值、最值和对函数单调性的判定.

【解答】解：（1）/'（x）=3』・23・320在[1,+8）恒成立.

2x

当时，令g(x)=3(A-1)是增函数，g(x)加”=旦(1-1)=0.

2x2

(2)・・"=3是/(x)的极值点

/./(3)=0,即27・6。・3=0,・・・。=4.

(x)=9-4x2-3x有极大值点x=-―,极小值点x=3.

3

此时,(x)在工日・1,3］上时减函数，在入日3,+8)上是增函数.

3

/./(x)在.隹［1,上的最小值是：/(3)=-18,最大值是：/(1)=-6,(因/(〃)=/(4)=-12).

【点评】利用导数求函数的单调性和最值问题，先根据极值确定参数。的值，再求闭区间上的最值.

16.一只蚂蚁位于数轴x=0处，这只蚂蚁每隔一秒钟向左或向右移动一个单位长度，设它向右移动的概

率为2,向左移动的概率为工■.

33

(I)已知蚂蚁2秒后所在位置对应的实数为北负数，求2杪后这只蚂蚁在x=0处的概率；

(2)记蚂蚁4秒后所在位置对应的实数为X,求X的分布列与期望.

【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列.

【专题】对应思想；定义法；概率与统计；数学运算.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)记蚂蚁2秒后所在位置对应的实数为非负数为事件A,记2秒后这只蚂蚁在x=0处的概

率为事件从则由题意可知事件A包括2秒内一直向可移动和一次向右移动与一次向左移动，事件B

为2秒内一次向右移动与一次向左移动，然后利用独立事件的概率公式求出。(A),P(AB),再利用

条件概率公式可求得结果；

(2)由题意知X可能的取值为-4,-2,0,2,4,然后求出相应的概率，从而可求出X的分布列与

期望.

【解答】解：(1)记蚂蚁2秒后所在位置对应的实数为非负数为事件4,记2秒后这只蚂叹在x=0处

的概率为事件B,

则p(A)=4x4+ciX、X4於

、/332339

P(AB)=P(B)=1cix1-79Xf4^

_4

故所求的概率为P(B|A)¥凿)W

V

（2）由题意知X可能的取值为-4,-2,0,2,4,

则P的-4)4XiXiP(X=-2)©x|xfx|X段哈,

P(x=o)=c2x|x|x|x|=^,P(x=2)=c^x|x|x|x|=-||.

P(X=4)=4X,X,X,小,

333381

则X的分布列为：

X-4-2024

P1883216

"81"81~27~81"81

E(X)=-4X奈2X《+0X-+2X落4X需

ol01ZIo1o1o

【点评】本题考查条件概率，考查离散型随机变量的分布列和期望，是中档题.

17.如图，在梯形48C。中，AB//CD,NBAQ=90°,CD=2AD=2,AB=3,E为线段48上靠近点4

的三等分点，将AAOE沿着Qf折叠，得到四棱锥4-8CDE,使平面平面8CDE,。为线段CE

上的点.

（2）是否存在点P,使得直线八夕与平面A8上所成角的正弦值为渔？若存在，求出线段EP的长；若

6

不存在，请说明理由.

【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直.

【专题】转化思想；综合法；空间角；数学运算.

【答案】（1）证明见解析；（2）存在，EP=\.

【分析】（1）计算CE=«，根据勾股定理得到。E_LCE,确定CEJ•平面AOE,证明AO_L平面ACE,

得到答案.

（2）建立空间直角坐标系，确定各点坐标，计算平面ABE的法向量为（1,1,-1）,设

薪=（平，t,-喙），根据向量的夹角公式计算得到答案.

【解答】解：（1）4O=AE=1,/84。=90°,故为等腰直角三角形，

DE=V2,ZADE=45°,故/COE=45°.

在△COE中，CE2=DE2+DC2-2DE*DCCOS^-=2+4-4=2*CE=&，

故€：片+口炉=（：小,DEICE,

平面AQE_L平面4。。£,ADEC\BCDE=DE,CEc^fflBCDE,

故CE_L平面AOE,AOu平面AO£,

故CE.LAD,

XAD14E,CEQAE=E,CE,4Eu平面ACE,

故ADJ_平面ACE,

又APu平面ACE,

故AO_LAP.

（2）存在，EP=1,理由如下：

如图，以点E为坐标原点，以ED，所在的直线分别为x轴、y轴，

以过点石垂直于平面8CQE的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

（W2，后，o>

则EA=（^~，0,^~），EB=（-V2»亚，0）-

设EP=r,0<t<V2»则P（0,f,0）,AP=t,-喙）

设平面A8E的法向晟为y,z）,

m*EB=-V2xW2y=0

令x=i,则,，=i,z=・l,彘（1,i,一i）,

设直线AP与平面ABE所成的角为。,

|瓦・\].娓

则sin8=|cosAP»m|11I

IAP|•|m|V1+t2-V3

解得，=1,，=・1(舍),

故存在点夕使得直线4P与平面/WE所成角的正弦值为则EP=\.

6

【点评】本题考查空间线线垂直的判定，线面角的求法，属于中档题.

18.在平面直角坐标系中，点。为坐标原点，已知两点A(-I,2),8(-1,-2),点M满足|证+而|

=0M・(OA+0B)+2,记点M的轨迹为G.

(I)求曲线G的方程；

(II)若P,C,D为曲线G上的三个动点，ZCPD的平分线交x轴于点Q(小0)(a<・1),点Q

到直线PC的距离为1.

(i)若点。为△PCO重心，用a表示点P的坐标；

(ii)若PQLCD,求。的取值范围.

【考点】直线与圆锥曲线的综合；轨迹方程.

【专•题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线中的最值与范围问题；数学运算.

【答案】(I)『=-4*

(H)(i)p土(打)a<-

44

【分析】(I)对|MA+MB|=就•(赢+而)+2向量坐标化，整理得曲线轨迹方程；

(II)(i)由条件得PQ1.CD,结合斜率和重心坐标公式得P坐标，由角平分线意义得

Ia-x■hnYnI«6

—,°n°-=b平方化简得〃,，〃是方程(l-yQt2+2(XL)yot-(Xo-a)2=O的两根，直线

V1+m

2(xn-a)yn

与曲线联立，结合韦达定理求出P坐标，即可求解;(ii)由(，)知m+n=——--------乙结合kpQ・kcD=T，

y0-1

2

可得#=16a+4a-82(),再解不等式即可.

y0-4a-9

【解答】解；(I)设点/W(A,y),VA(I,2),B(L2),

,*•MA=(-1-X,2-y)»=-2-y>

0I=(x,y>0A=(-l,2)，0B=(-l,-2>

upMA+MB=(-2-2x,-2y)»0A+0B=(-2,0>

AIMA+MB|H(-2-2x)2+(-2y)2H4x2+4y2+8x+4.

OM-(OA+OB)+2=(x,y)•(-2,0)+2=-2x+2»

V|MA+MB|=OM*(OA+OB)+2,

•*,v4x2+4y2+8x+4=-2x+2，

化简得曲线G的方程：)2=-4x；

(II)(/)设C(xi,y\),D(r,/)，P(xo,>'O),

••,点。到直线P。、PC的距离相等，・・・PQ为△PC。的角平分线.

又YQ为△K:£)重心，

・・・PQ为△PC。的中线，可得PQ_LCQ,

..丫2一丫1-4及-70

•krn=-----------=------;-----，2，

CDx2-X1yi+y2y0

■T-a

•••Q为△尸C。重心，

，yo+yi+y2=O,

7kMQ-kCD=-r

/.P(a-4,±2^4^)@,

设直线PC方程为：x-xi)=rn(y-yo),

直线PD方程为：x-.vo=〃()：-yo),

,:PQ是NCPD的平分线，点Q到直线PC的距离为1,

・••点Q到直线PD的距离为1.

22>

可得(l-yo)m+2(xo-a)yom-(xo-a)=O

同理(1一《)小+2(x°-a)y°n-(x°-a)2=S

即〃?，〃是方程(1川江2+2(、-)丫心-(乂户)2=0的两根，

2(x0-a)y0

,消去.V整理/+4/”，+4必-痴烈=0,

y=-4x

，y)+yi=-4"i,

Ayi=-4m-yo,同理y2=-4n-ju,

yi+)2=-4(m+n)-2yo,

,・,点Q为△PC。重心,

2(x0-a)y。

••・yo+yi+y2=。，BP-4(m+n)-y0=-4(------«--------)-yo=O»

y。-1

义•:二-4x/

8a+l

xo=^n

故点P的坐标为(*a+L,±V-8a-l)②，

4

联立①②可得a二工，即P(旦，±733

44

(ii)由⑺知m+n=2(x,a)y。,

.」2~1-4-4________22__________2(冷1)

丫丫

••CDx2-x11+2-4(m+n)-2yo2(x0-a)yQ(-4a-l)yQ

-2-------2--------兀

丫0二

y。・・

k

PQ"x0-a'.kpQ，kcD=-l'

2_16aJ+4a-8

Y0=-4a-9一，

；16a2^4a-8

-4a-9

*：a<-1,

；16a24-4a-8

>0等价于-4a-9>0,

-4a-9

・•・a时满足题意.

4

【点评】本题考查了直线与抛物线的位置关系、一元二次方程的根与系数的关系、向量坐标运算性质,

考查了推理能力与计算能力，属于难题.

19.对于数列A：m,42,43(4WN,i=l,2,3),定义“T变换”：r将数列A变换成数列B：bi,历，

历，其中bi=\ai+\-ai\(f=l,2),且加=3-a\\.这种"7变换”记作B=T(A),继续对数列8进行

“7变换”，得到数列CCl,C2,C3,依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束.

（I）写出数列A：3,6,5经过5次“7变换”后得到的数列；

（II）若n，S，43不全相等，判断数列A：碓，43经过不断的“丁变换”是否会结束.并说明理

由；

（III）设数列A：2020,2,2024经过8次“7变换”得到的数列各项之和最小，求2的最小值.

【考点】数列的应用.

【专题】整体思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；数学运算.

【答案】（I）0,1,1；

（II）不会结束，理由见解析二

（III）%的最小值为507.

【分析】（I）根据数列的新定义写出经过5次“7*变换”后得到的数列即可；

（2）先假设数列A经过不断的“7变换”结束，不妨设最后的数列。：由，d2,小，E：e\,«2,63,F：

0,0,0,由尸数列往前推，则非零数量可能通过“7变换”结束，或者数列E为常数列，进而得到。

可能出现的情况，推出矛盾，故假设不成立，即可证明；

（3）先往后推几项，发现规律，假设1次“7变换”后得到的通项，多写几项推出规律，往后继续进

行，推到使数字接近1时，再继续推，往后会发现A次“丁变换”得到的数列是循环的，得到最小值，

进而推出次数即可.

【解答】解：（I）由题知，5次变换得到的数列依次为3,1,2：2,I,1：I,0,I：1,1,0：0,1,

1;

所以数列43,6,5经过5次“7变换”后得到的数列为0,1,1；

（II）数列A经过不断的“7变换”不会结束，

设数列。：di,di,d3,Etei,ei,e3,F：0,0,0,

且E=T（£»,F=T（E）,

由题可知：|e2-ei|=O,|<?3-e2|=0|e3-ei|=O,

*.e\=ei=e3,

即非零常数列才能经过“T变涣”结束；

设ei=e2=e3=e（e为非零常数列），

则为变换得到数列E的前两项，数列。只有四种可能：

D：d\,d]+e,di+2e；D：di,d\+e,dwD：d,d-e,d\-2e；D：d