2024高考数学二轮复习重难点专题《导数解答题之指对函数五大题型》题型突破及解析

重难点专题12导数解答题之指对函数五大题型汇总

题型1指数找基友.....................................................1

题型2对数单身狗.....................................................2

题型3指对互化.......................................................3

题型4指对分离与不分离...............................................4

题型5凹凸翻转.......................................................5

在指数加减x整式或者对数乘除x整式或者在指数和对数同时出现的情形卜，我们处理时往

往本着对数单身狗，指数或基友的思想方法，本质就是通过这样的转换可以让求导变少，避

开长篇分类讨论

题型1指数找基友

指数找基友：在处理不等式和零点问题时，如果指数部分+x整式有可能连续求导，甚至要

用到隐零点，比较复杂，此时，我们只需把所有x的式子和5变换到一起，一般可以同除

整式，或者同除ex部分，构造一个新函数，例如ex_ax>o我们可以化成ex>ax,进一步化成a=e*/x,

构造函数f(x)=e'/x;再例如当x>0时求证：(2-x)e'4x+2,我们可以化作e*(2-x)/(x+2)«l,.然后

构造函数f(x)=ex(2-x)/(2+x),证明其41即可，通过观察，不难发现，心和所有含有x的式子变

换到一起了，我们形象地称之为，指数找基友

【例题1】(2022秋•山东滨州•高三校联考期中)已知f(x)=asinx(aeR),。(劝二日

(1)粒(£在1二0处的切线方程；

(2)若0=1,证明G⑴=〃x)+lm在91上单调递增;

(3)设卜。)=丝等("0)对任公40,共汽幻2匕成立求实数卜的取值范围.

【变式1-111.(2023春•安徽•高三合肥市第八日学校联考开学考试)已知函数

/，(x)=ax2-exH.

(1)当。二:时，证明："的在N上为减函数.

(2)当xw[0.；]时，/(x)^acosx,求实数a的取值范围.

【变式1-1]2.(2021•黑龙江哈尔滨・哈九中校考三模)已知函数外幻=Tx3-5inX.

(1)证明：函数/*(X)有三个零点；

(2)若对不等式b+acosxzax：恒成立，求实数a的取值范围.

【变式(2022・全国•高三专题练习)已知函数｝・=是定义在R上的奇函数，当X=0

时，,⑴二丁，曲线)•二”X：在点("(D)的切线与天轴平行，f(幻是/(W的导函数.

⑴求A的值及当0时，函数“X：的单调区间；

⑵设0(X)=(/+x)•r⑴对于任意x>0,证明0(x)<1+e-2.

【变式1-114.(2021秋•吉林四平•高三四平市第一高级中学校考阶段练习)已知函数

+】(其中a1为实数)的图象在点(0.汽0))处的切线方程为

y=x+l.

(1)求实数。上的值：

(2)求函数g(D=f(Y)-31的最小值：

(3)若对任意的red,不等式+工亘成立，求实人数的取值范围、

题型2对数单身狗

对数单身狗：如果对数式乘以或者除以一个关于x的整式，把整式提出，然后分别对局部分

析即可,例如y=(2+x)ln(x+l)・2x,如果要证明x>0时y>0,我们便可把2+x提出来，使之变成

2K2K

y=(2+x)(ln(x+l)--分别分析2+x和ln(x+l)-不就可以了,这个过程使ln(x+l)系数不含x整

式，我们形象地称之为对数单身狗，再求导就容易多了

【例题2】(2022秋•宁夏银川•高三校考开学考试)已知函数f(X)=2e*T+g

(1)讨论〃幻的单调性；

(2)对任意1>0,求证：f(x)>x(lnx+a]

【变式2-1]1.(2022秋•黑龙江哈尔滨•高三哈师大附中校考期末)已知函数

rtx)=(x+l)tax-a(x-ll

(1)当a=2时，求函数“幻的单调区间；

(2)当X>1时，/(》)>%成立，求实数a的取值范用.

【变式2-1】2.(2022・全国•高三专题练习)已知函数八外二咛.

(1)当m=1时,求〃幻的最大值：

(2)讨论关于％的方程=m-hu的实根的个数.

【变式2-113.(2022・四川泸州・四川省叙永第一中学校校考模拟预测)已知函数

/(X)=Inx-ar+(2-a)x,a>0.

(1)讨论的单调性；

(2)设a€N\若关于x的不等式〃幻4T在(0，+8止恒成立，求a的最小值.

【变式2-1]4.(2021秋浙江杭州•高三校联考期中)1知f(X)=T,直线I为曲线F=〃幻

在(1/«))处的切线，直线I与曲线y=f⑶相交于点Sfls))且s<f.

⑴求珀勺取值范围；

(2)⑴证明Jn=l+：・a-e)-苴・Or-e)、占(x-勇

(ii)证明：S>管-3HM.

题型3指对互化

指对互化与同构：

1.所谓指对互化，如下：X二二力=二，=丁学2/6〃+7,

指对互化是指对同构的基础，

2.常见类型：

①乘积，如碇，<b/",构造方法如卜•：

构造方法构造的函数

与左侧一致：aea<lnb^

r（x）=4

与右侧一致:e^lne6<blnt

f(x)=xlfU

对数化：Q+Inb-Inf/nfif(x)=x+liu

J•

②商，如丁<三构造方法如下：

构造方法构造的函数

■门

与左侧一致：丁、Kf（x）=7

与右侧一致：三<之，制=3

对数化：a-lna<Inb-\n(lnb,

f(x)=x-lru

③和差，如d土a<b±l版

构造方法构造的函数

与左侧一致：^±a<i^±lnl

c

与右侧一致：e±lr^<b±lnlf

【例题3】（2022秋•黑龙江•高三升学考试）已知函数外外=E（l+”）-M（a>°）.

（1）若工二1是函财（幻的一个极值点，求U的值；

（2）若f（x）之I上恒成立，求U的取值范围；

-2020]

S《；（W为自然对数的底数）.

【变式3-111.（2021秋,广东深圳•高三深圳市龙岗区龙城高级中学校考阶段练习）已知函

数ra）=/n（ip-±,其中。门（，11.

（1）讨论函数〃X）在区间1Q11±的单调性；

（2）求证：（黑产2"々＜（瑞产网.

【变式3-1】2.（2022.全国•高三专题练习）已知函数〃劝=皿""）.提

⑴若函数在T=1处的切线与X轴平行，求。的值；

⑵若fC）＞0在[0+8）上恒成立，求。的取值范围；

（3）证明：（黑◎是自然对数的底数〉.

【变式3-1]3.（2022・全国•高三专题练习）已知函数/（x）=m（l+x）一言（《〉°）.（注

:pn（l+x）】=左）

⑴若X=1是函数f（x）的一个极值点，求a的值；

⑵若〃幻2眺2+8）上恒成立，求a的取值范围；

⑶证明：（察严Y

【变式3-1】4.（2022•全国•高三专题练习）已知函数。（劝=号（’是自然对

数的底），

⑴若函数0（灯是（1+8）上的增函数，求必勺取值范围.

⑵若对任意的、＞0,都有求满足条件的最大整数火的值.

题型4指对分离与不分离

既含有指数函数同时乂含有对数函数题目，也就是所谓的”指对混合型”。我们一般通过适当

变形，•分为二，指对分离，以其转化为两个可掌控的特殊函数进处理。适当变形，化归转

化，可以掌控，是解决问题的关键。

【例题4】（2022春•四川遂宁•高三射洪中学校考阶段练习）已知函数〃X）="

（1）讨论函数。（T）=f"x）T-。的单调性；

（2）证明：+

【变式4-1]1.（2021秋•浙江杭州•高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）已知

f（X）="T-y+1

（1）a=1时，求f（x）的单调区间和最值；

（2）①若时于任意的xw（0.+oo）,不等式外门之亭恒成立，求。的取值范围；②求证:

广,-2〃-Inx+,20

【变式4-1】2.(2022年高三压轴解)已知函数〃力二=一(”为常数，e=2.71828“是自

然对数的底数)，曲线在点】处的切线与%轴平行.

⑴求女的值；

⑵求f(£的单调区间；

(3)设。(x)=(/+其中为〃£的导函数.证明：对任意x>0,ufxXl+e_2.

【变式4-1]3.(2022♦全国•高三专题练习)已知函数1,

0(")=。/+：+。*-2<1-1其中a€R

⑴若a=l,其函数0(工在口,31的值域；

⑵若对任意的*€(0,+8]，0(力2一丁恒成立，求正实数。的取值范围.

【变式4-1】4.(2022・全国•高三专题练习)已知函数〃幼=丫一/

⑴令g(x)=〃T)-aT+XN-吟若X20时，°(幻2(恒成立，求实数a的取值范围；

(2)当*>0时.证明：f(x)-exxlnx-x2-x+l

题型5凹凸翻转

证明不等式问题中有一类不等式形式复杂，由即首先知道两个函数(其中一个常常是对数函

数与多项式函数的组合，另•个则是指数函数与多项式函数的组合)组合而成，我们往往指

对分离，然后研究函数的图像，两个函数图像凹凸性刚好相反，称凹凸反转，这个名词非常

形象的阐述了这类题目的解题思想。

问题1：若F(x)>0对xWD恒成立(其中F(x)=f(x)-g(x))

情况①：转化为f(x)>g(x),通过分别求出两个函数的最值，若f(x)min>g(x)max,则问题得

证。

情况②:转化为f(x)>g(x)，通过分别求出两个函数的最直,??f(x)min=f(xi)>g(x)max=g(x2),

则问题得证。

问题2：若F(x)20对:<GD恒成立(其中F(x)=f(x)-g(x))转化为f(x)^g(x),通过分

别求出两个函数的最值，Xiffx)min^g(x)max,且f(x)min=f(x0)=g(x)max=g(x°)则问题得证。

凹凸反转的局限性：解法局限性一:不涉及“单调构造”

通过下文介绍的方法步骤，一定可以排除整体单调的函数组合。但是单调函数的组合有时也

可以通过"最大值小「最小值〃的方式说明问题，而且单调函数的组合，如果真构造成功了(如

下图)，严格来说也属于“凹凸反转”，

解法局限性二:构造后可能出现h(X)min<g(X)max

如下图，导致问题得不到解决，

y

X

【例题5】(2021秋•河南南阳•高三期中)已知函数〃外=皿,0(x)=x+mtmeRl

⑴若〃外M0仁恒成立，求实数m的取值范围；

(2)求证：当、＞0时，----；----2庇+1

【变式5-1】1.(2019・天津红桥•统考一模)已知函数f(x)=ln(e”+k)(k为常数)是实数

集R上的奇函数，其中e为自然对数的底数.

(1)求k的值；

Ins2)

(2)讨论关于x的方程如而="的根的个数.

【变式5-1]2.(2022・全国•高三专题练习)已知函数〃x)=xe'-hw,ln2与0.693,

v'e书1.6#均为不足近似值.

(1)当X21时，判断函数的单调性;

⑵证明：当x＞0时，不等式八外)青亘成立.

【变式5-1]3.(2022•河北衡水•河北衡水中学校考一模)设函数fa)=lnx-e】T,

^(x)=a(x2-l)-；

⑴判断函数f(x】零点的个数，并说明理由；

⑵记入(幻=9(幻-〃%)+),讨论h(劝的单调性；

⑶若八灯＜0(外在(1.+8)恒成立，求实数。的取值范围.

【变式5-114.(2022春高三课时练习)已知函数〃X)=RL8-]n(x+a).

(1)当°二羿T，求〃工的单调区间与极值;

⑵当时，证明：

1.(2022・四川•四川师范大学附属中学校考二模)已知函数“外=¥一。黑其中€为自然对

数的底数，日为常数.

⑴若对函数“X：存在极小值，且极小值为0,求。的值；

⑵若对任意"6〔吟】，不等式/（外之"1一输小恒成立，求a的取值范围.

2.（2021•广东湛江・统考二模）已知函数f（X）=/+。85x一Cx-2,/（幻为汽幻的导函

数.

（1）讨论/1（X）在区间（°g）内极值点的个数；

（2）鼾HTd时,〃X）士om成立，求实数c的取值范围.

3.（2020・海南•校联考一模）设函数f（D=e*8sx,g（x）-e：l-2a1

（1）当唱时，求〃幻的值域;

（2）当XWI6+8：时，不等式g（x）2拶恒成立（r（x）是〃刀）的导函数），求实数a的取值

范围.

4.（2022•广西桂林・统考模拟预测）设函数"X）=a*-d（x>0,a>11

（1）证明：vxe+都有lru<力；

（2）若函数有且只有一个零点，求〃幻的极值.

5.（2020•浙江宁波・镇海中学校考三模）已知实数awC,设函数r（%）=：-m4

（1）当aw（o”XW9+8）时，证明：fW2a-

（2）若“外有两个极值点<。】，证明：'-e2（M+M）+2e>0

6.（2021・陕西•校联考三模）已知函数八乃二会.。""。）且/

（1）求函数的单调区间;

（2）证明：Ex〉3一；.

参考答案与试题解析

重难点专题12导数解答题之指对函数五大题型汇总

题型1指数找基友.....................................................9

题型2对数单身狗....................................................16

题型3指对互化......................................................24

题型4指对分离与不分离..............................................30

题型5凹凸翻转......................................................36

在指数加减x整式或者对数乘除x整式或者在指数和对数同时出现的情形下，我们处理时往

往本着对数单身狗，指数我基友的思想方法，本质就是通过这样的转换可以让求导变少，避

开长篇分类讨论

题型1指数找基友

数找基友：在处理不等式和零点问题时，如果指数部分+X整式有可能连续求导，甚至要用

到隐零点，比较复杂，此时，我们只需把所有X的式子和ex变换到一起，一般可以同除整

式，或者同除ex部分，构造一个新函数，例如ex-ax>0我们可以化成ex>ax,进一步化成a=ex/x,

构造函数f(X)=ex/x;再例如当x>0时求证：(2-x)ex4x+2,我们可以化作e*(2-x)/(x+2)4L然后

构造函数f(x)=ex(2-x)/(2+x),证明其W1即可，通过观察，不难发现，ex和所有含有x的式子变

换到一起了，我们形象地称之为，指数找基友

【例题1](2022秋•山东滨州•高三校联考期中)已知〃外=asinx(a6即，Q(x)=

(1)求o(r在x=o处的切线方程；

(2)若0=1,证明G(r)=/(x)+Iru在(0.1上单调递增；

(3)婷乃=出普(°工°)对任意*亡I咽，匕成立求实数k的取值范围.

【答案】(1)x-y+l=o；(2)详见解析；(3)kwl.

【分析】(1)求出0(x1的导数，求得切线斜率及切点，由点斜式即可得切线方程；

(2)求出G(x)=f(x)+hu的导数，将证明G(x)=f(x)+hu在(0,：上单调递增转化为

G(x)>0在(0.1上恒成立即可；

(3)先化简求出汽工)二^^!《,FCdNfafg成立即成立,对ME

求导，对“进行讨论，研究的最小值不小于零即可.

【详解】解：(1)0(x)="，。(0)=1,0(0)=1,

所以。CE在x=0处的切线方程为K-l-x,即x-y+1=0

(2)G(v)=sinr>lnx,

则6(X)=：+8SI

由于xE(0,l：,故「1,

ycosre[-1,1],故851Si,

W+8SX>0,即。(外>。在(0,1：上恒成立，

故G”在91递增；

(3)F(r)=eIsim,

由对任意”e—F(X)N匕恒成立，

设h(x)="sinr-kx,

则h(x)=e^sinx+dcosx-Jk,

再设m(x)=dsinx+e*cosx-k,

贝i」m(x)=dsiiu+^cosx+dcosx-bsin*=2e*cosx.

.”e［叫，.mCdwC

因此E在上.递增，

故Ex)2用0)=1-k,

①当kM1时,”r)2C即h(x)CC,

Mx在1°，斗递增，故Mx)之h(0)=0,

即k«1适合题意，

②当k>l时，m(0)=l-k<0,m仔)=A-k,

若瑟・k<0,则取X。=sxe(OxoMhm(x)<0,

若A-k2Q则在(°胃二m(x)存在唯一零点，记为X,

当xw(0xo)时，m(x)<€,

总之，存在1。E(叫伊€(0旬时”X)<0,

gphfxXO,故Mx递减/⑴<h(0)=0,

故k>l时，存在(Oxo)使Mx)<0,不合题意，

综上，kMl.

【点睛】本题主要考查了利用导数求切线的方程和函数的最值，以及利用导数研究函数的单

调性及最值等知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力，是一道难度较大的

题目.

【变式1-111.(2023春・安徽•高三合肥市第八亡学校联考开学考试)已知函数

/,(x)=ax2-eJ-1.

(1)当a=4时,证明："x】在N上为减函数.

(2)当xw【°=)时，〃外vacosi求实数a的取值范围.

1

【答案】(1)证明见解析：(2)[~7—1.

【分析】(1)利用二阶导数研究/(£的单调性，结合其零点确定「(£的区间符号，即可证

结论；

(2)原不等式等价于yT2a(?-cosx】对■于xe[°』】恒成立，构造h(x)=/-cosi,利

用导数研究单调性，结合其零点判断Mx的区间符号，当h(x)<0时只需(二二二)2,

当h(x)>0时只需《*(^ZZ7)«,构造双“)二不二根据导数研究最值即可求。的范围.

【详解】⑴当a=；时，〃k=标一-'，则「⑶二刀一六、

令0(x)=X-尸】，则0(x)=1-尸】，

当xe(-8.1)时，g(T)>0,g(x：单调递增，

当xe(L+8)时，。〃)<0,。(工单调递减，

..0(x)M0(i)=o,当x=i时r⑴=Q当XHI时r(x)<o,

.•・〃£是人上以X=1为拐点的减函数.•

(2)由题意，3a(x?-C8X)对/w[0』场成立.

设40=/-85即则ffx)=2x+dnx,易知h'(£在【051上为增函数，

..h(x)2h(0)=0,故h(x在卜为增函数，又h(0)=-l<0,h(7)=T>0,

「•存在唯一的R6(吟)，使得h(*n)=0：当x€IO及用，Mx)=/-cosx<0,此时，

由e"72a(?-COST)得0之

令可")=涓=，则@(幻-----令FW<0,

.・”(X〕在【Oxolh为减函数，则可1—=夕(°)=一：，故a“：.

当x=打时，八(右)=以-cosxo=0,对于vaeR,ex-l2afx2-COST】恒成立.

(/T

1

当xe(总弓]时，h(x)=(-00sx>o,由e-1之哦炉-cost嘱°

由上知3(乃=-EL,

令-cosx-2x-siju,则m(x)=2x+sinr-2-cos儿易知m(x版(4，白上为

增函数，

---m(xn)=2Xn+sinxn-2-COSXn,而入(%)=京-85Xo=0,ME(0,2

m(xo)=2XQ+siiuo-2-x；=T+sinx。・(R-1)2O1+sinxo<0,又

m(y)=ir-1>0

/.存在唯一“Ie(“2使得m61)=0：当x6(3。时，m(x)<0,m(x)递减；当

时，m(x)>0,m(x燧增；

.«R)=x；-oasxo-2xo-sinxo=-2XQ-sinx©<0,”彳)=:一病T<。，

/.m(x)<0,即9(x)<0,

.•.9(X)在(与1】为减函数，次Dan=9(3)=3",故04?-.

143*1

综上可知，实数。的取值范围为[-：・=】.

【点睛】关键点点睛：第二问，？72。(炉-851)对于、€[0，勺恒成立，利用导数研究

<*■*<

h(x)=x2-cos*的M间符号，当h(x)<0时有。之(/_…)—,当h(x)>0时有

r1-i

0-(7Z^7)nun,求参数范围

【变式1-1】2.(2021•黑龙江哈尔滨・哈九中校考三模)已知函数外幻二：/-5^].

(1)证明：函数f(X)有三个零点；

(2)若对不等式^+。85刀2小恒成立，求实数a的取值范围.

【答案】(1)证明见解析；(2)0*闱

【分析】(1)由“X：为奇函数，得0是一个零点，转化为证明f(x)在(0,+8)上有且只有一个

零点,求出r(£,再对f'(r两次求导，确定「(豹的单调区间，再结合零点存在性定理，即

可证明结论；

(2)不等式r+acosxwax，化为一之”12—cosx),再由(。中的结论讨论N-cosx零、

正、负，分离参数Q,构造新函数，转化为a与新函数的最值关系，通过求导求出新函数的

最值,即可求出结论.

【详解】解：(1)证明：

因为f(x)为奇函数，且〃0)=0,

只需证f(幻在(0・+8止有旦只有一个零点即可.

当x€(0,+oo),记g(x)=/(x)=x2-cosx,

MI(X)=0(X)=2X+siru,0;(X)=2+cosx>0,

••・。(外在(0，+8]上递增，

又・・・，(幻>。(0)=0,”(加(0+8：上递增,

x7/}(o)=-i<o,g(9=5>°,

所以存在唯一实数即«°埒，使得。(小)=0,

当xe(Ox/时，g(x)<0,当xw(xo,+8)时，»(x)>0,

所以函数fci在(OxJ上单调递减，在(w，+81上单调递增.

V7(0)=0,AAzo)<0,Xf(1T)>0,

所以函数〃划在（而用）上有且只有一个零点，

所以函数〃为有三个零点.

（2）由d+acosxzax：,可彳旷2。（十一。05匕

由（1）知：

①当x=R时，”>0,9"。）=¥一《«/=0,

此时，对于任意aW凡72a（f-cos*）恒成立.

②当'《（与1时，oM>0,

由e"2aix2-cost）,得°<7^；,

令Mx)=n=,下面研究必幻的最小值，

令«x)=x2-cost-2x-sinx,

t(x)=2x4-sinx-2-cosx,令h(x)=t[x),

tttx)=2+cosr+sinx>Ox^xe1°曰成立，

二函数t(x)在(％』上为增函数，

rfat(Xft)=2xn4-sinx0-2-cos%

=-x?+2xo+siiUb-2<-l+sinxo<0(0<x0<D,

又r◎=一1)0

:存在唯一实数mW(。,3，使得f(m)=0,

当xw(、ni)时，f(m)<0；当xt(m)>0.

二函数r(幻在(xam)上递减，在(6才递增，

•••t(x0)=xj-cosx0-2xo-sinz0=-2x0"sinx0<0,

，G)=：-"-1<0,・♦函・数h(x)在(xo「l上递减，

•­Mx)a=hG)=­'asg

③当x€[0%>)时，u(x)=x2-cosx<0,

由kN。(必一cosx),得。之三工，

入(幻=女力卫『吗!<0

由②可知(*jmx),

所以函数*x)==在10』力上为减函数，

当xw[0词时，h(x)i=h(O)=-l,

«QW|-1,

・・・。2-1,综上，3广.

【点睛】本题考查函数导数的综合应用，涉及到函数的单调性、极值最值、零点，以及不等

式恒成立问题，分离参数是解题的关键，构造函数多次求导是解这种类型题的重要手段，考

查逻辑推理、数学计算能力，属于较难题.

【变式1-1】3.(2022・全国•高三专题练习)已知函数力=〃父是定义在R上的奇函数，当X>0

时ja)=h,曲线y=f(x：在点(L/U))的切线与瑜平行，耐⑶时㈤的导函数.

⑴求人的值及当x<0时，函数〃的单调区间；

⑵设。⑴=(/+X)•f⑴对于任意x>0,证明0(x)<1+「

【答案】⑴k=1,f(x)的增区间为(0.1,减区间为(1，+8)

⑵证明见解析

【分析】小问1：由r⑴=。求出入的值，根据导函数的正负性即可分析单调性；

小问2：记h(x)=l-xlnx-x(x>0),通过导数分析其单调性求出最大值，同样求出

0=字<1,。>0),即可证明结论.

(1)

解：由/a)=r-,得八幻=-ns—=r-,

.・.ra)=?=o,即k=i.

..1

〃X)二—,

•・・g(x)==TuT为减函数,即⑴=0,

・••当x€(o.i)时，。(x”o,ra)>o.

当xW(L+8)时，j®(x)<0,f(x)<0.

・•・的增区间为(o.i;减区间为a，+8)；

(2)

证明：g(X)=(x2+X)f(X)=3(lT3T).

iEh(r)=l-xlnx-x(x>0),

h(x)=-lnx-2,令h[x)=O,得x=e-,

当xw(0£-2)时，\(x)>0,h(x：单调递增；

当xw(e-2,+8)时，hCc)<0,h(x单调递减.

・•・Mx—=h(e-2)=l+e-2,

A1-xlru-xs1+e-2.

令«》)=?(刀>。)，〃外=-/<°,

•••Mx：在(0,+8：上单调递减，

・・・g(x)=9,(1-xlnx-l)<l+e-：【变式I；]4⑵21秋.吉林四平.高三四平市第一

高级中学校考阶段练习)己知函数fa)=ae*+bBST+：/+l(其中①七为实数)的图象

在点(0/0))处的切线方程为厂x+1.

(1)求实数a匕的值；

(2)求函数。(外=f(x)-31的最小值；

(3)若对任意的XEA,不等式寸(幻之J/+2M2+苞亘成立，求实为数的取值范|韦|、

【答案】⑴]=-1；(2)最小值为】；(3)(-004).

【分析】(1)求导得到「(Dna/-bsinx+x,根据题意得到If'(O)=a=l,解得

答案。

(2)计算得到0(幻=，+寸!吠一21，求导得至叩・(幼="+85%-2,令h(x)=0'a),则

/!("="-sim,讨论★<0和x*C的情况，得至3(外在(一立0〕上单调递减和在10.+W上

单调递增，得到函数的最小值。

(3)当x=0时，不等式恒成立，当x>0时，等价于Y-XZ-ZXX-COSXN0,令

GM=e*-x2-2Xx-cosx,G'(x)=^(x)-2),考虑“和入结合(2)结论根据函

数的单调性得到最值，同理x<0时类似，计算得到答案。

【详解】解：(1)因为8fx+卜'+1,所"(x)="-b5inx+x,

|/(0)=a+b+l=1,a=i

由题意得Ino)=a=l解得鼠=_1.

(2)由(i)知f(x)=/一。。"+：/+1・6幼=d+siBx-2x,

所以0'a)=d+cosx-2,令则ha)=y-sim

①当x<0时，由^-2<-l.-lScosxSi,^'(x)=e*fcosx-2<0,

所以0(幻在(-8,0止单调递减，无最小值.

②当x*C时，由721,-14-sinx«l,得人a)二d一曲《>0,所以。'(乃在10,+8)上

单调递增，

故"(X)2。'(0)=0,所以。(为在［0,+8)上单调递增，所以03)曰=。(0)=1.

综上，。(编的最小值为1.

(3)对x分情况讨论如下:

①当X=O时，对任意的入E凡不等式“八幻之3^+2乂二+X恒成立.

②当x>0时,不等式N")2#+23+售价于d-cosx+*+1N/+2衣+1,

即e1c-x2-2Xx-cosr20

令G(x)=e*-x2-2Ax-cosi,则G〈x)=e1-2x+sinx-2A=j7(x)-2\

当入时，由(2)知G(x)=o(x)-2)>0(0)-2入=1-2入2Q,

所以G(劝单调递增,从而G(x)>G(0)=0,满足题意.

当人>:时.由(2)知G(x)=©(x)-2入=小-2x+sinx-2入=0。)-22在(0.+8)上单调递

增，

易证e1Wei,ifcG(x)=e*-2x+sinx-2A>(e-2)x-l-2),

从而，(詈)>(e-2)x?-l-2X=0.

又G(0)=1-2入<0,所以存在唯一实数RE(。片),使得G’(。)=0,

.”(3)时,G'(x)gO.GU)单调递减，所以当xw(0x11时，G(x)<G(0)=0不满足

题意.

③当x<0时，不等式xf(x)N'/+23+*等价于-2M-cost£0,

同上，令G(x)=产-生2-2乂-85即则G(x)nd-Zx+sinx-Z入-cosx50.

当入时，由(2)可知Ga)>0,所以G(x)单调递增，故G(x)<G(0)=0,满足题意

综上，可得入的取值范围是(・8』1

题型2对数单身狗

对数单身狗：如果对数式乘以或者除以一个关于x的整式，把整式提出，然后分别对局部分

析即可,例如y=(2+x)ln(x+l)-2x,如果要证明x>0时y>0,我们便可把2+x提出来,使之变成

2K2*

y=(2+x)(ln(x+l)-277分别分析2+x和ln(x+l)-4就可以了，这个过程使ln(x+l)系数不含x整

式，我们形象地称之为对数单身狗，再求导就容易多了

【例题2】(2022秋•宁夏银川•高三校考开学考试)已知函数八幻=2"々+也

(1)讨论f(X)的单调性；

(2)对任意X>0,求证：xen+a)

【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.

【分析】(1)首先求函数的导数，&)=2^-2+凡再讨论0之。和时，函数的单调性;

(2)首先将不等式变形，转化为证明；r=构造函数g(x)=5.二-hu,然后利用

二次导数求函数的最小值大于0,即可证明.

【详解】(1)函数的定义域是人

f(x)=2e*7+a当aNC时，f〃)>0恒成立，故函数〃%))在R上单调递增

当a<0时，令f'(x)>0,得\>2+.(—?令、我)<0,得x<2+ln(T)

故函数”外在+m—切上递减，在(2+m-4+84增

(2)要证f(x)>x(lnx+a),即证Ze^+aCxOnx+a)

印证2寸-2>刀加凡又x>0,所以二丁>1世，即证：r：-Mx>°

”(X)=；;Tnx则9(x)="L'T,

令rCOuZCr-ne1-/1，Mr1(x)=2xez-e2

容易得“x]在(0.+8燧增，且r(l)=2e-e2<0/(2]=3e:>0

所以存在唯一的实数次€(1.2),使得r'(4)=0

所以广(入粒(0右胧减，在(。「8)递增

因为r(0)=-2<0,r(2)=0

所以当3)>。时1>2,当r(x)<0^0<r<2

所以在(0.2)上递减，在(2,+8)上递增

所以0(x)20(2)=1-ln2>0

2rl

综上k丁一底>°,即f⑶>x(lnx+a).

【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如卜：

(1)直接构造函数法：证明不等式〃G>Q(0(或〃6<。(R)转化为证明"x)-a(x)>0

(或〃x)-。(x)<0),法而构造辅助函数h(丫)=f(n(理

(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；

(3)构造"形似"函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函

数.

【变式2-1]1.(2022秋•黑龙江哈尔滨•高三哈师大附中校考期末)己知函数

fM=(x+l)lnx-G(r-l).

(1)当a=2时，求函数fCr)的单调区间：

(2)当x>l时，〃外>厢成立，求实数a的取值范围.

【答案】(1)在区间(0，+8)上单调递增，无单调递减区间；(2)(-8,21

【分析】(1)把2代入，然后对函数求导，结合导数可求函数单调区间；

(2)由不等式的恒成立，结合导数与单调性及函数的性质对。进行分类讨论，进行求解即

可.

【详解】解：(1)当a=2时，f(x)=(x+l)kix-2(x-l),+

裂(x)=lnx+：-】，则，⑴审,

当X6(0.l)时,。(外单调递减,

当xe(l,+8)时，Q(x)>0,0(x1单调递增,

所以0(x)E”=0(1)=0,所以f'(x)N0.

故f(x)在区间(0,+81上单调递增，无单调递减区间.

⑵r(x)=lnx+：+l-a

设h(x)=k)T+；+l-a,x>l,则hU)=；-3=m>°,

所以族区间ll.+8让单调递增，即r(x)在区间(L+8)上单调递增，且r⑴=2-a,

(^)当。£2时，厂(乃>0,/。)在区间(1,+8)上单调递增，所以f(x)>/(1)=瞬足条件;

②当a>2时，r⑴=2-a<0,八产)=1+尸>0,

所以弘n€(l，L使得f'(Xo)=0,所以当X6(1X1)时，/(X)<0,“X)单调递减，

即当时，fa)</a)=o,不满足题意.

综上所述,实数a的取值范围为(-8,21.

【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：①分离参数a恒成立(aMflkn

即可)或成立82"XJ即可)；②数形结合“二〃制图象在y=0(幻上方

即可)；③讨论最值f*焉I2。或“立34。恒成立；④讨论参数.

【变式2-1】2.(2022・全国•高三专题练习)已知函数/a)=咛.

(1)当m=l时，求f(x)的最大值；

(2)讨论关于X的方程八。二m-hn的丈根的个数.

【答案】(1)1(2)答案见解析.

【解析】(1)首先求函数的导数，再分析函数的单调性，再求函数的最值；(2)方程的实数

E(XJ)

根的个数转化为函数g(”)=1政-在(0.+8)的零点个数，且0(1)=Q再讨论E的取

值范围讨论函数在(L+s：的零点个数，再根据关系式得到函数的零点互为倒数，从而确定

(x^ljhu、(jr'l)hu

函数零点的个数；方法二，当二上】时，方程等价于m二一二一，构造函数八(")二-73-

(X>O,XXl),利用导数分析函数的图象，从而讨论m,得到图象的交点个数.

、taur+l、2iiur+l

【详解】(])当m=1时，/3)=丁，・・・ra)=-r-,

令「⑴=0,得x=eT,,・.0<x<二时,f(x)>0,〃幻单调递增，x>eV时，/⑴<0,

“X惮调递减，A/Wmax=/(e-I)={

(2)由〃x)二m-lu得芸==0,令g(x)=lnx一普，

所以方程八D二m-1m的实根的个数即为函数0(外在(0,+8)上的零点的个数，

••,61)=。・"=1是函数0(幻的一个零点,

7g(2)=InL-=-Inx♦=-g(x)

又I""，・,・0(外在(0」)〃1.+8)上的零点互为

倒数，下面先研究。(X)在(1,+8)上的零点的个数：

♦・O(x)=1-『二

•S⑴一，廿川--M；r)・(X>1),

J)

(i)若mvQ则x>l时，。(乃=1政一=大一;>°,・・・0(划在(1.+8)上的没有零点；

_(『41尸Two2_“Kx2--“J

(ii)若m>0,则g"-"T"T(x>1),

令h(x)=r-2vmx+l(x>1),

®A=4m-40,即0<mW1时，h(x)2d,.•・a'(x)20,0(*)在(L+8)上递增，

。([)>0(1)=0,1献外在(1.+8]上的没有零点;

@A=4m-4>0,即m>1时，八(幻=0有两个不等实根石，x2,且

二大根M+\'m-1>1,小根0<ri<1,

・・・xe3击hkM<0,oM<0,0(x)单调递减，re(4+8)时，h(x)>0,aM>0,

M单调递增，・・。(0)<0⑴=0,

又g(L)=m-=KG>0(x)在(In力上恒小于o,在(x九+8)上存在唯一

xoe(不唐力使得QC%)=0,・•・。(幻在(L+8)上仅有一个零点区,

因为0(幻在(0.1)U(L+8)上的零点互为倒数，且0⑴=0,所以FW41时,0(x)仅有一个

零点；m>l时，g(x)有三个零点.

综上：mw1时，方程〃x)=m-Im仅有一个实根；

m>1时，方程f(x)=m-Inx有三个实根.

参考解法二：由f(x)=m-hu得由一些口=°,x=l显然是该方程的一个根;

=-帚（4小小+可

4>M)

令仪幻=41nx-X2+4则。(x)=*-2x-^=-%"<0

・•.T>0时，s(x)单调递减，

.,.o<x<lirf,w(x)>ai)=O,h(x)<o,h(x)单调递减，x>l时，帆幻〈次1)=0,

h(x)>0,M0单调递增,

由XT+OC时，h(x)-H-oo,XT*,h(x)-H-a,x-1时，h(x)1,

可画出h(x)的大致图像如图所示：

（注：此处用到了高中教材中没有涉及到的函数极限知设，可酌情扣2—3分）

结合图像得：m>l时，方程m二八（灯有两个实根；mg1时，方程m=h（灯没有实根；

综合得：mw1时，方程f（x）=m-hu仅有一个实根；

m>1时，方程f（x）=m-hu有三个实根.

【点睛】方法点睛：本题考查根据方程实数根的个数求参数的取值范围，一般可采用1.直接

法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参

数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合：先对解析式变形，在同一平面直

角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解，此时需要根据零点个数合理寻找“临界”情况,

特别注意边界值的取舍.

【变式2-1]3.（2022•四川泸州•四川省叙永第一中学校校考模拟预测）己知函数

/（X）=lnx-ar+（2-a）x.a>0.

（1）讨论〃£的单调性；

（2）设aWN',若关于X的不等式〃X）4-1在（0,+8]上恒成立，求a的最小值.

【答案】（1）“X：在（02）上单调递增，在G48）上单调递减；（2）2.

【分析】（1）求出导函数f（X）二>°）,利用导数与函数单调性之间的关系即

可求解.

（2）由（1）可知“』+只需=V-1，令t=；,

构造函数。（t）=lm+t,利用导数得出存在唯一的“w（$•】），使得g（to）=0,根据函数的

单调性可得°<;从而可求解.

【详解】（1）由题意得，r（x）=7-2ax-a+2=M^（x>0]

va>0,由得。・•,函财（外在（°，J上单调递增；

由ra）<o,得

•••函数”X）在（I+8）上单调递减，

・•・函数/IX）在（S3上单调递增，在（3+8）上单调递减

（2）由⑴可知，函数f（£在（°力上单调递增，U+8）上单调递减，

・•・fOOnux=fG）=ln"

又在（0.+8）上恒成立.•••/（工）3=14+；-1M-1,

即）

令，=；,则t>0.

械⑴=lnt+t,则。⑴§0.

・；g（t）=；+l=F>0,故函数©（C在（0,+8让单调递增，

且。（？=ln1•+0,p（l）=1>0

・•・存在唯一的“e（：」），使得0心）=0.

1当t£（0川时，0⑴<0；当te（tn.+8）时，0⑴>0,

・・・0<，也解得aNqE（iZ.

••・aE.V'ia的最小值为2.

【点睛】关键点点晴：本题考查了导数与函数单调性之间的关系，利用导数研究不等式恒成

立问题，解题的关键是将问题转化为八'%皿=历:+；-1S-1,并且构造函数

a（t）=lnt+t,考杳了数学运算以及转化为能力.

【变式2-1】4.（2021秋,浙江杭州•高三校联考期中）己知外口=三直线1为曲线y=f3

在处的切线，直线1与曲线F=〃工相交于点（5出5））且5<上

⑴求珀勺取值范围；

（2）⑴证明：lnxM】+：・a-e）-9（x-e）2+3,（Le）:

(ii)证明:N・

【答案】⑴(四+8)

(2)(i)证明见解析：(ii)证明见解析

1,2tai

【分析】(1)先求得y二〃x)在处的切线方程丫=二二"一；+，，再令

lari-iw12tnt

5W=+用导数法由0W有零点求解；

(2)(i)令人(幻=1政一|1+：,("-©)一9《-©)2+廿。-例，用导数法证明

h(x)u=O即可；(ii)先证加―27)-9(57)2+点・(1)3令

r(x)=Int+；•(r-1)-(x-02+(x-1)3-liu,用导数法证明；再根据是

huITic-la

I上的点，得到丁=h(s・t)+：两者结