第二十八章 锐角三角函数（6类题型突破）

第二十八章锐角三角函数（题型突破）题型一正弦的定义及应用【例1】（2023上·江苏淮安·九年级校考期中）如图，点A，B，C都是正方形网格的格点，连接，，则的正弦值为（

）

A． B． C． D．2巩固训练：1．（2023上·江苏无锡·九年级校联考期中）在中，，若的三边都扩大5倍，则的值（）A．放大5倍 B．缩小5倍 C．不能确定 D．不变2．（2023下·浙江杭州·九年级统考期中）在中，，、、所对的边分别是a、b、c．则下列各式中，正确的是（

）A． B． C． D．3．（2023·安徽合肥·一模）一个钢球沿坡角的斜坡向上滚动了5米，此时钢球距地面的高度是（单位：米）（

）A． B． C． D．4．（2023上·陕西西安·九年级西安市铁一中学校考期中）如图，在中，，，，则的值是（

）A． B． C． D．5．（2022上·福建漳州·九年级统考期末）在中，，那么的值是（

）A．2 B． C． D．6．（2023上·陕西西安·九年级校联考期中）如图，每个小正方形的边长均为1，若点，，都在格点上，则的值为（

）

A． B． C． D．7．（2023·全国·九年级专题练习）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形面积为25，小正方形面积为1，则sinθ=（

）A． B． C．4 D．8．（2023上·黑龙江大庆·九年级统考期中）在中，，，则，则（

）A．24 B．20 C．16 D．159．（2023·山东淄博·山东省淄博第六中学校联考一模）如图，线段是的直径，C，D为上两点，如果，那么的度数是（

）A． B． C． D．10．（2022上·黑龙江大庆·九年级校考开学考试）在中，，斜边上的中线，，则（

）A．18 B． C． D．没有正确答案11．（2023上·山东济南·九年级统考期中）在中，，，则．12．（2023上·山西临汾·九年级统考期中）如图，在边长为1的小正方形网格中，点、、、都在格点上，、相交于点，则为．

13．（2023上·福建泉州·九年级校联考期中）如图，的顶点都在边长相等的小正方形的顶点上，则等于．14．（2021上·河北邢台·八年级统考期中）如图所示，在中，，，且，求：

(1)的值；(2)的周长及面积．15．（2023上·江苏苏州·九年级统考期中）如图，在中，，，垂足为点，，.(1)求的值；(2)点在上，且，过作，垂足为点，求的长.16．（2022下·九年级单元测试）如图，在中，，，分别是角，，的的对边，探索与的关系：∵，，∴．

(1)根据以上三角函数知识的探索，在图锐角三角形中，探索，，之间的关系，并写出探索过程；(2)钝角三角形形中，上面结论是否仍然成立？简单说明17．（2023·河南洛阳·统考一模）水车是我国古老的农业灌溉工具，是古人们在征服世界的过程中创造出来的高超劳动技艺，是珍贵的历史文化遗产，水车是由立式水轮、竹筒、支撑架和水槽等部件组成．小明受此启发设计了一个“水车玩具”，设计图如图2，若水轮在动力的作用下将水运送到点A处，水沿水槽流到水池中，与水面交于点B，D，且点D，O，B，C在同一直线上，与相切于点A，连接．

请仅就图2解答下列问题．(1)求证：．(2)若点B到点C的距离为32cm，．请求出水槽的长度．题型二余弦的定义即应用【例2】（1）（2023上·山西临汾·九年级统考期中）在中，，，则的值是（）A． B． C． D．（2）（2023上·黑龙江大庆·九年级校联考期中）如图，在中，，则（

）

A． B． C． D．巩固训练1．（2023上·河北邢台·九年级统考期中）把各边的长度都扩大倍得到，其中与是对应顶点，则锐角的余弦值比锐角的余弦值（

）A．扩大4倍 B．保持不变 C．缩小4倍 D．扩大2倍2．（2023上·浙江杭州·九年级校考期中）如图，在中，若，则（

）A． B． C． D．3．（2023上·山东泰安·九年级校考阶段练习）如图，在中，，于点，则下列结论不正确的是（

）

A． B． C． D．4．（2022上·黑龙江哈尔滨·九年级校考专题练习）在直角三角形中，各边的长度都扩大到原来的3倍，则锐角A的三角函数值（

）A．都扩大到原来的3倍 B．都缩小为原来的3倍C．都保持原来的数值不变 D．有的变大，有的缩小5．（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考三模）如图，是的直径，延长至切于点，过点作交于点，连接．若，则．的长为(

)

A．3 B． C． D．6．（2023·福建泉州·统考一模）在中，，，则的值是（

）A． B． C． D．7．（2023上·山东烟台·九年级统考期中）如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则的值是（

）

A． B． C． D．8．（2023上·山东济南·九年级统考期中）在中，，是边上的中线，，，则（）A． B． C． D．9．（2023上·上海宝山·九年级统考期中）已知平面直角坐标系中，第一象限内射线与x轴正半轴的夹角为，点P在射线上，如果且，那么点P的坐标是（

）A． B． C． D．10．（2023上·河北石家庄·九年级校联考阶段练习）如图，在直角坐标平面内，点与原点的距离，线段与轴正半轴的夹角为，且，则点的坐标是（）

A． B． C． D．11．（2023上·河北石家庄·九年级统考期中）如图是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长度的小正方形顶点，钉点A，B的连线与钉点C，D的连线交于点，则（1）与是否垂直？（填“是”或“否”）．（2）．（3）．

12．（2022下·九年级单元测试）比较大小：

（1）；（2）．13．（2023上·江苏淮安·九年级校考期中）中，，，，则的长为．14．（2023上·上海崇明·九年级校联考期中）在中，，，，那么．15．（2023上·山东济南·九年级统考期中）如图，在中，，，．

(1)求的长；(2)求的值．16．（2023上·上海宝山·九年级统考期中）如图，中，，，D是边的中点，连结．

(1)已知，求的长；(2)求的值．题型三正切的定义及应用【例3】（2023上·福建泉州·九年级统考期中）如图，在中，，是的中点，，．(1)求的长；(2)求与的值．巩固训练1．（2023下·北京西城·九年级北师大实验中学校考阶段练习）如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为，叙述正确的是（）

A．的值越大，梯子越陡B．的值越大，梯子越陡C．的值越小，梯子越陡D．陡缓程度与的函数值无关2．（2022上·上海浦东新·九年级校考阶段练习）在中，，，那么等于（

）A． B． C． D．3．（2023上·河北石家庄·九年级统考期中）如图，在中，，，则（

）

A． B．3 C． D．4．（2023上·河南周口·九年级统考期中）如图，的顶点位于正方形网格的格点上，若，则满足条件的是（）A． B．C． D．5．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第十七中学校校考开学考试）已知为锐角，，则的值为．6．（2023上·陕西西安·九年级西安市铁一中学校考期中）抛物线的图象与x轴交于点A、点B，顶点为C，则的值是（

）A．3 B． C．1 D．7．（2021下·福建龙岩·九年级龙岩初级中学校考阶段练习）如图，点A是双曲线第三象限分支上的一动点，连接并延长交另一支于点，以为边作等边，点在第二象限内，则过点的反比例函数解析式为．

8．（2023上·湖南岳阳·九年级岳阳市弘毅新华中学校考阶段练习）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，且．线段交反比例函数的图象于另一点C，连接，若点C为的中点，则的值为（

）A．1 B． C． D．9．（2023·浙江温州·校联考三模）如图，在的方格纸中，线段的端点均是格点，请按要求画图．

(1)在图1中，找一个格点，使得为直角三角形，且．(2)在图2中，找一个格点，使得为非直角三角形，且．10．（2023上·山东潍坊·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，点，点分别在轴上，连接并延长至点，连接，若满足，求所在直线的函数表达式．

11．（2023上·上海崇明·九年级校联考期中）如图，在中，，，．

(1)求的长．(2)若点D在边上，且，求的值．题型四特殊角三角函数值的应用【例4】（2023上·山东潍坊·九年级统考期中）计算：(1)(2)巩固训练1．（2023上·山东潍坊·九年级统考期中）若是锐角，，则的值是（

）A． B． C． D．12．（2020·广东深圳·统考二模）在中，若，则的度数是（

）A． B． C． D．3．（2023上·福建泉州·九年级统考期中）在中，若，则的形状是（

）A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形4．（2023上·湖北武汉·九年级统考期中）如图，是的弦，半径，，则的面积为.

5．（2023上·湖南衡阳·九年级校联考期中）在中，若，则．6．（2022上·山东泰安·九年级校考阶段练习）在中，若，则是三角形．7．（2023上·浙江金华·九年级校联考期中）计算：．8．（2023上·山东济南·九年级统考期中）计算：．9．（2023上·湖南永州·九年级校考阶段练习）计算：(1)．(2)（2023上·江西宜春·九年级江西省丰城中学校考期中）已知α是锐角，且，计算的值．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨工业大学附属中学校校考期中）先化简，再求代数式的值，其中．题型五解直角三角形【例5】（2023上·湖南衡阳·九年级校联考期中）如图，在中，，，，，，交．求：(1)的长；(2)的值．巩固训练1．（2023上·浙江金华·九年级校联考期中）已知为锐角，，则的值为（

）A． B． C． D．2．（2023上·广东深圳·九年级校考期中）如图，在矩形中，，点在直线上，若矩形的周长为，点到直线的距离的长为6，则点到直线的距离的长为（

）

A． B． C． D．3．（2023上·福建福州·九年级校联考期中）如图，平面直角坐标系中，点在第一象限，，，将绕点逆时针旋转，点B的对应点的坐标是()A． B． C． D．4．（2023上·河北廊坊·九年级校联考期中）如图，边长为3的正六边形内接于，则的内接正三角形的边长为（

）

A． B． C． D．656．（2023上·江苏常州·九年级校考期中）如图，中，，．能够将完全覆盖的最小圆形纸片的半径为（

）

A． B． C． D．6．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级校联考期中）在中，，则______________7．（2023上·山东烟台·九年级统考期中）在中，，，，则的度数为．8．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）如图，在四边形中，，，，，则．

9．（2023上·江苏扬州·九年级校考期中）如图，中，，，D为边延长线上一点，，求的值．

10．（2023上·山东菏泽·九年级统考期中）中，，，点在上，，，求的长．

11．（2023上·山东菏泽·九年级统考期中）中，．(1)如果，，求的长；(2)如果，，求的长．12．（2023上·上海黄浦·九年级上海市格致初级中学校考期中）已知：如图，在中，，，，，垂足为点D，E是的中点，连结并延长，交边于点F．

(1)求的正切值；(2)求的值．13．（2023上·山东淄博·九年级统考期中）如图，在中，，，．

(1)求的长；(2)利用此图形求的值．（精确到，参考数据：，，）14．（2023上·山东烟台·九年级统考期中）中，，，解这个直角三角形．15．（2023上·江苏常州·九年级校考期中）已知直线经过上的点，且，

(1)求证：直线是的切线(2)已知的半径是1，．①求边的长；②求图中阴影部分的面积（结果保留）16．（2023·全国·九年级专题练习）如图，AB是☉O的直径，AC是一条弦，D是弧AC的中点，DE⊥AB于点E，交AC于点F，交☉O于点H，DB交AC于点G．(1)求证；AF=DF；(2)若AF=，sin∠B=，求☉O的半径．题型六解直角三角形的应用【例6】（2023上·山西临汾·九年级统考期中）如图，图①②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图，已知踏板长为1.7米，与地面的夹角为，支架长为，为，手柄与地面平行．求跑步机手柄的一端距离地面的高度．（精确到）（参考数据：，，，，，）

巩固训练1．（2023上·山东济宁·九年级校考阶段练习）如图所示，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为，看这栋楼底部C处的俯角为，热气球A处与楼的水平距离为120m，则这栋楼的高度为（

）

A． B．C． D．2．（2023上·山东潍坊·九年级统考期中）一艘游轮从小岛正南方向的点处向西航行海里到达点处，然后沿北偏西方向航行海里到达点处，此时观测到小岛在北偏东方向，则小岛与出发点之间的距离为（

）

A． B．C． D．3．（2023下·九年级课时练习）王英同学从地沿北偏西方向走到地，再从地向正南方向走到地，此时王英同学离地（

）．A． B． C． D．4．（2023上·江苏淮安·九年级校考期中）如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取的垂线上的一点C，测得米，，则小河宽等于（

）A．米 B．米 C．米 D．米5．（2023上·山东济南·九年级统考期中）电线杆直立在水平的地面上，是电线杆的一根拉线，测得，，则拉线的长为（

）A． B． C． D．6．（2022·湖北武汉·统考模拟预测）如图，一飞机到达A点时，测得观礼台C在飞机前下方，俯角为，此时飞行路线改为沿仰角为方向的直线飞行，飞机飞行了6千米到B处时，居民区D恰好在飞机的正下方，现在的飞行高度为5千米，则观礼台C和居民区D的距离是千米．（，，，，结果精确到0.1）7．（2022·湖北武汉·校联考模拟预测）如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B处的仰角为、底部C处的俯角为，此时航拍无人机A处与该建筑物的水平距离为80米．该建筑物的高度（精确到1米）．[参考数据：，，]

8．（2023上·山东潍坊·九年级统考期中）如图，数学兴趣小组用无人机测量一幢楼的高度．小亮站立在距离楼底部米的点处，操控无人机从地面点，竖直起飞到正上方米点处时，测得楼的顶端的俯角为，小亮的眼睛点看无人机的仰角为（点三点在同一直线上）．求楼的高度．（参考数据：小亮的眼睛距离地面米，）9．（2023上·江苏泰州·九年级统考期中）某数学兴趣小组要测量实验大楼部分楼体的高度（如图1所示，部分），在起点处测得大楼部分楼体的顶端点的仰角为，底端点的仰角为，在同一平面内沿水平地面向前走米到达处，测得顶端的仰角为（如图2所示），结合以上信息，从①，②，③这三个条件中选择一个作为补充条件，求大楼部分楼体的高度约为多少米？（精确到1米）你选择的条件是_________．（只填序号）10．（2023上·江苏常州·九年级校考期中）如图，、为两个建筑物，建筑物的高度为，从建筑物的顶部点测得建筑物的顶部点的俯角为，测得建筑物的底部点的俯角为．

(1)求两建筑物两底部之间的水平距离的长度：(2)求建筑物的高度（结果保留根号）11．（2023上·福建泉州·九年级统考期中）小明利用所学三角函数知识对小区楼房的高度进行测量．他们在地面的点处用测角仪测得楼房顶端点的仰角为，向楼房前行在点处测得楼房顶端点的仰角为，已知测角仪的高度是（点，，在同一条直线上），根据以上数据求楼房的高度．（，结果保留一位小数）

12．（2023上·山东烟台·九年级统考期中）某校为了迎接祖国华诞74周年，丰富学生社会实践活动，决定组织九年级学生到红色文化基地A和人工智能科技馆C参观学习．如图，A位于学校的东北方向，C位于学校南偏东方向，C在A的南偏西方向处．如果将九年级学生分成两组分别参观学习，两组学生同时从学校出发，速度是：第二组学生乘坐公交车前往C地，速度是．请问：哪组学生先到达目的地？并通过计算说明理由．（参考数据：，，）

13．（2023上·山东济南·九年级统考期中）某地修建了一座以“讲好家乡故事，厚植种子情怀”为主题的半径为的圆形纪念园．如图，纪念园中心位于村西南方向和村南偏东方向上．村在村的正东方向且两村相距．有关部门计划在，两村之间修一条笔直的公路来连接两村．问该公路是否穿越纪念园？试通过计算加以说明．（参考数据：，，，）

14．（2023上·上海闵行·九年级统考期中）如图，海中有一小岛P，在以P为圆心，半径为海里的圆形海域内有暗礁．一轮船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东方向上，且A，P之间的距离为32海里．

(1)若轮船继续向正东方向航行，轮船有无触礁危险？(2)如果轮船继续向正东方向航行有危险，轮船自A处开始改变航行方向，沿南偏东度方向航行确保安全通过这一海域，求的取值范围．15．（2023下·九年级课时练习）如图，一艘缉私艇位于小岛北偏东的方向8海里的处，一艘走私船从小岛出发，沿北偏东方向匀速驶离小岛，同时缉私艇从处出发，恰好在处截到走私船，若走私船与缉私艇的速度比为，求缉私艇行驶的路程．16．（2023上·重庆九龙坡·九年级重庆实验外国语学校校考期中）校庆期间，小南同学从天津到北关中学瞻仰张伯苓校长的雕塑，聆听学校的办校故事．他从沙坪坝火车站出站后，导航给出两条线路，如图：①A﹣E﹣D﹣M；②A﹣B﹣C﹣M．经勘测，点E在点A的北偏西方向米处，点D在点E的正北方向200米处，点M在点D的正东方向250米处，点B在点E的正东方向，且在点A的北偏东方向，点C在点D的正东方向，且在点B的北偏西方向．

(1)求EB的长度；（结果保留根号）(2)由于时间原因，小南决定选择一条较短路线到达张伯苓校长的雕塑前，请计算说明他应该选择线路①还是线路②？（参考数据，，，，）17．（2023上·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习）如图，在一笔直的海岸线l上有A，B两个观测站，A在B的正东方向．有一艘渔船在点P处，从A处测得渔船在北偏西的方向，从B处测得渔船在其东北方向，且测得B，P两点之间的距离为30海里．

(1)求观测站A，B之间的距离（结果保留根号）；(2)渔船从点P处沿射线的方向航行一段时间后，到点C处等待补给，此时，从B测得渔船在北偏西的方向．在渔船到达C处的同时，一艘补给船从点B出发，以每小时25海里的速度前往C处，请问补给船能否在100分钟之内到达C处？（参考数据：）18．（2023上·河北石家庄·九年级统考期中）超速行驶被称为“马路第一杀手”．为了让驾驶员自觉遵守交通规则，公路检测中心在一事故多发地段安装了一个测速仪器，如图所示．已知检测点设在距离公路20m的A处，测得一辆汽车从B处行驶到C处所用时间为．已知，．

(1)求B，C之间的距离（结果保留根号）．(2)如果此地限速为，那么这辆汽车是否超速？请说明理由．（参考数据：，）19．（2023上·吉林长春·九年级校考期中）桑梯是我国古代发明的一种采桑工具．图①是明朝科学家徐光启在《农政企书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图②所示，己知米，点在的延长线上，米，与的张角为，为固定张角大小的绳索，若时，求桑梯顶端到地面的距离．(参考数据：，结果精确到米)20．（2023上·浙江杭州·九年级校考期中）为倡导健康出行，某市道路运输管理局向市民提供一种公共自行车作为代步工具，如图（1）所示是一辆自行车的实物图．车架档与的长分别为，，且它们互相垂直，，，如图（2）．（结果精确到．参考数据：，，，，）

(1)求车架档的长；(2)求车链横档的长．21．（2023上·海南海口·九年级海南华侨中学校考期中）如图，在一个坡角位的斜坡上有一棵树，树高米．当太阳光与水平线成角时，该树在斜坡上的树影恰好为线段．

(1)______，______；(2)求树影的长．（结果保留一位小数）（参考数据：，，，，，，）22．（2022·浙江·一模）桑梯一登以採桑，它是我国古代劳动人民发明的一种采桑工具．图1是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图2所示，已知米，米，设，为保证安全，a的调整范围是．（参考数据：，精确到0.1米）(1)当时，若人站在的中点E处，求此人离地面（）的高度．(2)在安全使用范围下，求桑梯顶端D到地面的距离范围．

第二十八章锐角三角函数题型一正弦的定义及应用【例1】（2023上·江苏淮安·九年级校考期中）如图，点A，B，C都是正方形网格的格点，连接，，则的正弦值为（

）

A． B． C． D．2【答案】B【分析】本题考查网格中求三角函数值，三角函数定义，勾股定理及其逆定理，连接，设小正方形边长为，求出，，，即可证明是直角三角形，问题随之得解．【详解】解：连接，如图所示：

设小正方形边长为，，，，，∴是直角三角形，在中，，故选：B．巩固训练：1．（2023上·江苏无锡·九年级校联考期中）在中，，若的三边都扩大5倍，则的值（）A．放大5倍 B．缩小5倍 C．不能确定 D．不变【答案】D【分析】直接利用锐角的正弦的定义——“锐角A的对边a与斜边c的比叫做的正弦，记作”求解．【详解】解：∵，∴的对边与斜边的比，∵的三边都扩大5倍，∴的对边与斜边的比不变，∴的值不变．故选：D．2．（2023下·浙江杭州·九年级统考期中）在中，，、、所对的边分别是a、b、c．则下列各式中，正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据在直角三角形中，锐角的正弦等于对边比斜边求解即可．【详解】解：如图，∴故选C．【点睛】本题考查了锐角三角函数的概念：在直角三角形中，锐角的正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；锐角的正切等于对边比邻边．3．（2023·安徽合肥·一模）一个钢球沿坡角的斜坡向上滚动了5米，此时钢球距地面的高度是（单位：米）（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】铁球上滚的距离，铁球距地面的高度，可看作直角三角形的斜边与已知角的对边，可利用正弦函数求解．【详解】铁球上滚的距离铁球距地面的高度，铁球距地面的高度．故选：B．【点睛】本题考查了一个角的正弦等于这个角的对边比斜边，熟知三角形的正弦函数是解题的关键．4．（2023上·陕西西安·九年级西安市铁一中学校考期中）如图，在中，，，，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了直角三角形的判定，三角函数的定义．先证明是直角三角形，再利用正弦函数的定义即可求解．【详解】解：∵，，，∴，∴是直角三角形，且，∴，故选：C．5．（2022上·福建漳州·九年级统考期末）在中，，那么的值是（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】直接利用锐角三角函数关系得出的值即可．【详解】解：∵，∴，∴．故选：D．

【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，正确记忆正弦值与各边之间的关系是解题关键．6．（2023上·陕西西安·九年级校联考期中）如图，每个小正方形的边长均为1，若点，，都在格点上，则的值为（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】连接，得到，再利用勾股定理求出，的长，即可求出最后结果．【详解】解：如图，连接，

则，，，故选：A．【点睛】本题考查了锐角三角形函数，勾股定理，利用勾股定理求出边长是解答本题的关键．7．（2023·全国·九年级专题练习）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形面积为25，小正方形面积为1，则sinθ=（

）A． B． C．4 D．【答案】A【详解】设大正方形的边长为c，直角三角形的短直角边为a，长直角边为b，由题意，得c2=25，b-a==1，a2+b2=c2，解得a=3，b=4，c=5，∴sinθ=．8．（2023上·黑龙江大庆·九年级统考期中）在中，，，则，则（

）A．24 B．20 C．16 D．15【答案】D【分析】本题主要考查了正弦的性质，利用正弦的性质求值即可．理解正弦的性质是解题的关键．【详解】在中，，即，解得：．故选：D．9．（2023·山东淄博·山东省淄博第六中学校联考一模）如图，线段是的直径，C，D为上两点，如果，那么的度数是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】连接，构造直角三角形，利用已知边的长度结合锐角三角函数的定义求得的度数，最后利用圆周角定理确定的度数即可．【详解】解：如图，连接，∵是直径，∴，∵，∴，∴，∴，故选：B．【点睛】考查了圆周角定理的知识，解题的关键是能够作出半径构造直角三角形．10．（2022上·黑龙江大庆·九年级校考开学考试）在中，，斜边上的中线，，则（

）A．18 B． C． D．没有正确答案【答案】C【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出，再根据三角形正弦的定义求出，根据勾股定理求出，最后根据三角形的面积公式进行计算即可得到答案．【详解】解：在中，，斜边上的中线，，，，，，故选：C．【点睛】本题考查了直角三角形的性质、锐角三角函数的概念、勾股定理，熟练掌握以上知识点是解此题的关键．11．（2023上·山东济南·九年级统考期中）在中，，，则．【答案】/【分析】本题主要考查余弦的计算方法，掌握三角函数值的计算是解题的关键．根据，，可求出，的关系，再根据三角函数值的计算方法即可求解．【详解】解：如图所示，，∴，则，∴，∴，∴，∴，故答案为：．12．（2023上·山西临汾·九年级统考期中）如图，在边长为1的小正方形网格中，点、、、都在格点上，、相交于点，则为．

【答案】【分析】设右下角顶点为点F，取的中点E，连接，由点B为CF的中点、点E为的中点可得出，进而可得出，在中，由可得出，再利用正弦的定义即可求出的值，此题得解．【详解】解：设右下角顶点为点F，取的中点E，连接，如图所示．∵点B为CF的中点，点E为的中点，∴，∴在中，，∵，∴，∴∴故答案为．

【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理逆定理、正弦的定义、以及平行线的性质，构造出含有一个锐角等于的直角三角形是解题的关键．13．（2023上·福建泉州·九年级校联考期中）如图，的顶点都在边长相等的小正方形的顶点上，则等于．【答案】/【分析】本题考查了解直角三角形．设小正方形的边长为1，过C作于D，求出的面积，根据勾股定理求出和，根据三角形的面积求出高长，再求出答案即可．【详解】解：设小正方形的边长为1，过C作于D，，由勾股定理得：，，∴，解得：CD，∴，故答案为：．14．（2021上·河北邢台·八年级统考期中）如图所示，在中，，，且，求：

(1)的值；(2)的周长及面积．【答案】(1)(2)；【分析】（1）根据锐角三角形函数的定义求得，根据勾股定理求得，根据锐角三角形函数的定义即可求解；（2）结合（1）中结论即可求解．【详解】（1）解：∵，，∴，∴，∴，∴．（2）解：的周长，．【点睛】本题考查了锐角三角形函数，勾股定理，三角形的面积公式等，熟练掌握以上知识是解题的关键．15．（2023上·江苏苏州·九年级统考期中）如图，在中，，，垂足为点，，.(1)求的值；(2)点在上，且，过作，垂足为点，求的长.【答案】(1)(2)5【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出，再由勾股定理确定，利用正弦函数的定义求解即可；（2）根据题意及相似三角形的判定得出，再由其性质得出，继续利用勾股定理求解即可【详解】（1）解：∵，，∴，∵，∴，∴．（2）∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．【点睛】题目主要考查等腰三角形的性质，勾股定理解三角形，相似三角形的判定和性质，正弦函数的定义等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．16．（2022下·九年级单元测试）如图，在中，，，分别是角，，的的对边，探索与的关系：∵，，∴．

(1)根据以上三角函数知识的探索，在图锐角三角形中，探索，，之间的关系，并写出探索过程；(2)钝角三角形形中，上面结论是否仍然成立？简单说明【答案】(1)，理由见解析(2)==，理由见解析【分析】（1）过作，，在直角三角形中，利用锐角三角函数定义表示出，在直角三角形中，利用锐角三角函数定义表示出，两者相等即可得证．（2），过作交的延长线于点，过点作于点，同（1）的方法分别表示出，即可求解．【详解】（1），理由如下，如图，过作，，在中，，即，在中，，即，∴=，即=，同理可得=，则==．

（2）==．解：如图所示，过作交的延长线于点，过点作于点，

∵，∴∵即，∴∴==．【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．17．（2023·河南洛阳·统考一模）水车是我国古老的农业灌溉工具，是古人们在征服世界的过程中创造出来的高超劳动技艺，是珍贵的历史文化遗产，水车是由立式水轮、竹筒、支撑架和水槽等部件组成．小明受此启发设计了一个“水车玩具”，设计图如图2，若水轮在动力的作用下将水运送到点A处，水沿水槽流到水池中，与水面交于点B，D，且点D，O，B，C在同一直线上，与相切于点A，连接．

请仅就图2解答下列问题．(1)求证：．(2)若点B到点C的距离为32cm，．请求出水槽的长度．【答案】(1)见解析(2)48cm【分析】（1）根据与相切于点A，可得，可得，在根据三角形内角和，即可解答；（2）设的半径为x，根据题意列出方程，即可解答．【详解】（1）证明：与相切于点A，，，，，．（2）解：设的半径为xcm，cm，，解得，经检验，是方程的解，cm．【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，正弦的概念，熟知正弦的概念是解题的关键．题型二余弦的定义即应用【例2】（1）（2023上·山西临汾·九年级统考期中）在中，，，则的值是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了同角三角函数的关系，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．根据已知先设，然后利用勾股定理求出，再利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．【详解】∵，∴，∴设，∴，∴，故选：B．（2）（2023上·黑龙江大庆·九年级校联考期中）如图，在中，，则（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】此题主要考查了锐角三角函数的定义，正确把握边角之间的关系是解题关键．直接利用勾股定理得出的值，再利用锐角三角函数关系得出答案．【详解】解：在中，，，，，．故选：C．巩固训练1．（2023上·河北邢台·九年级统考期中）把各边的长度都扩大倍得到，其中与是对应顶点，则锐角的余弦值比锐角的余弦值（

）A．扩大4倍 B．保持不变 C．缩小4倍 D．扩大2倍【答案】B【分析】本题考查锐角三角函数．根据题意可知大小不变，即得出锐角A的余弦值保持不变．【详解】解：∵在中，各边的长度都扩大4倍，∴各角的大小不变，即大小不变．∵一个角的锐角三角函数值只与角的大小有关，∴锐角A的余弦值保持不变．故选B．2．（2023上·浙江杭州·九年级校考期中）如图，在中，若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】考查锐角三角函数的定义，熟练掌握正弦，余弦的定义是解题的关键．【详解】解：，，故选A．3．（2023上·山东泰安·九年级校考阶段练习）如图，在中，，于点，则下列结论不正确的是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】利用余弦的定义即可判断A、B，根据同角的余角相等可得，再根据余弦的定义即可判断C、D，即可得到答案．【详解】解：，，在中，，故A正确，不符合题意；，在中，，故B正确，不符合题意；，，，在中，，故D正确，不符合题意，C错误，符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了余弦的定义、同角的余角相等，熟练掌握以上知识点是解此题的关键．4．（2022上·黑龙江哈尔滨·九年级校考专题练习）在直角三角形中，各边的长度都扩大到原来的3倍，则锐角A的三角函数值（

）A．都扩大到原来的3倍 B．都缩小为原来的3倍C．都保持原来的数值不变 D．有的变大，有的缩小【答案】C【分析】理解锐角三角函数的概念：锐角三角函数值即为直角三角形中边的比值．【详解】解：根据锐角三角函数的概念，可知在直角三角形中，各边的长度都扩大3倍，锐角的三角函数值不变．故选：C．【点睛】本题考查了三角函数，要能理解锐角三角函数的概念，明白三角函数值与边的长度无关．5．（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考三模）如图，是的直径，延长至切于点，过点作交于点，连接．若，则．的长为(

)

A．3 B． C． D．【答案】D【分析】连接，利用平行线的性质和圆周角定理得到，利用切线的性质定理得到，在中，利用直角三角形的边角关系定理求得，则．【详解】解：连接，如图，

，，．切于点，．，是的直径，，在中，，故选：D．【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．6．（2023·福建泉州·统考一模）在中，，，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据三角函数的定义得到，设，，利用勾股定理得到，即可求出的值．【详解】解：如图，中，，，，设，，由勾股定理得：，，故选：C．【点睛】本题考查了锐角三角函数，勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键．7．（2023上·山东烟台·九年级统考期中）如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则的值是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】在直角三角形中，根据正切的意义可求解．【详解】解：如图，

在中，，故选：D．【点睛】本题考查锐角三角函数的定义．将角转化到直角三角形中是解答的关键．8．（2023上·山东济南·九年级统考期中）在中，，是边上的中线，，，则（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了解直角三角形，直角三角形斜边上中线的性质，熟练掌握直角三角形斜边上中线的性质和锐角三角函数的定义是解题的关键．根据直角三角形斜边上中线的性质得，所以，根据勾股定理得，根据锐角三角函数的定义即可求出答案．【详解】如图，

∵是边上的中线，，∴，∴，∵，∴，∴．故选：D．9．（2023上·上海宝山·九年级统考期中）已知平面直角坐标系中，第一象限内射线与x轴正半轴的夹角为，点P在射线上，如果且，那么点P的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了锐角三角函数；过点P作轴于点H，根据“锐角的邻边与斜边的比叫做该锐角的余弦”可得，再由勾股定理求出，即可．【详解】解：如图，过点P作轴于点H，∵且，∴，解得：，∴，∴点P的坐标是．故选：B10．（2023上·河北石家庄·九年级校联考阶段练习）如图，在直角坐标平面内，点与原点的距离，线段与轴正半轴的夹角为，且，则点的坐标是（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】作轴于点B，如图，先根据余弦的定义求出，再利用勾股定理求出，进而得解.【详解】解：作轴于点B，如图，∵，，∴，∴，∴点的坐标是；故选：D.

【点睛】本题考查了余弦的定义和勾股定理，熟知余弦的定义是解题的关键.11．（2023上·河北石家庄·九年级统考期中）如图是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长度的小正方形顶点，钉点A，B的连线与钉点C，D的连线交于点，则（1）与是否垂直？（填“是”或“否”）．（2）．（3）．

【答案】是//【分析】（1）如图，作于，的延长线于，由题意知，，，由，，证明，则，则，进而结论得证；（2）由勾股定理得，，由，可得；（3）由题意知，，即，解得，，由勾股定理得，，计算求解即可．【详解】（1）解：如图，作于，的延长线于，

由题意知，，，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故答案为：是；（2）解：由勾股定理得，，∵，∴，故答案为：；（3）解：由题意知，，即，解得，，由勾股定理得，，故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，余弦，三角形内角和定理等知识．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．12．（2022下·九年级单元测试）比较大小：

（1）；（2）．【答案】【分析】（1）如图所示，在中，，证明越大，的值越小即可得到答案；（2）先证明，再根据（1）的结论求解即可．【详解】解：（1）如图所示，在中，设，∴，当减小时，的值减小，而此时的度数在增大，∴可知越大，的值越小，∵，∴，故答案为：；

（2）如图所示，在中，设，∴，，∴，又∵，∴，∴，由（1）可得，∴，故答案为：．

【点睛】本题主要考查了锐角三角函数，熟知余弦和正弦的定义是解题的关键．13．（2023上·江苏淮安·九年级校考期中）中，，，，则的长为．【答案】【分析】本题主要考查了解直角三角形，先利用三角函数值求出，再利用勾股定理求出．【详解】解：在中，，∵，，∴．∴．故答案为：．14．（2023上·上海崇明·九年级校联考期中）在中，，，，那么．【答案】4【分析】本题考查了余弦．熟练掌握：是解题的关键．根据，计算求解即可．【详解】解：如图，

∵，，，∴，即，解得，，故答案为：4．15．（2023上·山东济南·九年级统考期中）如图，在中，，，．

(1)求的长；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）本题考查了解直角三角形，根据，即可求出，再根据勾股定理“直角三角形两直角边平方和等于斜边平方”即可求解；（2）本题考查了解直角三角形，根据，即可解答．【详解】（1）解：在中，，，，∴，∵，∴，解得：，∴根据勾股定理可得，（2）解：在中，，∴．16．（2023上·上海宝山·九年级统考期中）如图，中，，，D是边的中点，连结．

(1)已知，求的长；(2)求的值．【答案】(1)；(2)．【分析】本题考查了解直角三角形，掌握三角函数的定义是解题的关键．（1）根据题意设，则，利用勾股定理列式计算求得，据此求解即可；（2）作于，求得，利用余弦函数求得，再利用勾股定理和余切函数的定义求解即可．【详解】（1）解：∵，，∴设，则，∵，即，解得，∴；（2）解：作于，

由（1）得，∵D是边的中点，∴，∵，∴，∴，∴，，∴．题型三正切的定义及应用【例3】（2023上·福建泉州·九年级统考期中）如图，在中，，是的中点，，．(1)求的长；(2)求与的值．【答案】(1)的长为(2)，【分析】本题考查了直角三角形中，斜边的上的中线等于斜边的一半，勾股定理，求角的余弦和正切等知识点．熟记相关几何结论是解题关键．（1）由“斜边的上的中线等于斜边的一半”可得，根据勾股定理即可求解；（2）由“斜边的上的中线等于斜边的一半”可得，可推出，结合三角函数的定义即可求解．【详解】（1）解：，是的中点，，.，，（2）解：由（1）得，，，.巩固训练1．（2023下·北京西城·九年级北师大实验中学校考阶段练习）如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为，叙述正确的是（）

A．的值越大，梯子越陡B．的值越大，梯子越陡C．的值越小，梯子越陡D．陡缓程度与的函数值无关【答案】A【分析】根据锐角三角函数值的变化规律，正弦值和正切值随着角的增大而增大，余弦值随着角增大而减小，逐一判断即可．【详解】解：根据锐角三角函数的变化规律，知的值越大，梯子越陡，故A符合题意；的值越小，梯子越陡，故B不符合题意；的值越大，梯子越陡，故C不符合题意；陡缓程度与的函数值有关，故D不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数值的变化规律是解题的关键．2．（2022上·上海浦东新·九年级校考阶段练习）在中，，，那么等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】画出图形，根据锐角三角函数的定义求出即可．【详解】解：如图，

，在中，，，，，故选：B．【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握锐角三角函数的定义是关键．3．（2023上·河北石家庄·九年级统考期中）如图，在中，，，则（

）

A． B．3 C． D．【答案】A【分析】本题考查正切的计算，熟知直角三角形中正切的表示是解题的关键．根据正切的定义计算，得到答案．【详解】解：在中，，，故选：A．4．（2023上·河南周口·九年级统考期中）如图，的顶点位于正方形网格的格点上，若，则满足条件的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题主要考查角的正切，因此此题可结合网格特点，利用正切的定义逐项判断即可得．【详解】解：A、，则此项符合题意；B、，则此项不符合题意；C、，则此项不符合题意；D、，则此项不符合题意；故选：A5．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第十七中学校校考开学考试）已知为锐角，，则的值为．【答案】/【分析】先确定锐角的对边与邻边的比，再根据勾股定理求出斜边，即可求出的值．【详解】由，则设锐角的对边为，邻边为，由勾股定理得：斜边为，∴，故答案为：．【点睛】此题考查了锐角三角函数，解题的关键是正确理解三角函数的概念．6．（2023上·陕西西安·九年级西安市铁一中学校考期中）抛物线的图象与x轴交于点A、点B，顶点为C，则的值是（

）A．3 B． C．1 D．【答案】D【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，锐角三角函数．先求出A，B，C的坐标，作于点，利用面积法求得和的长，利用三角形函数的知识即可求解．【详解】解：当时，，解得，，∴A，B的坐标为，∴，∵，∴，∴C到的距离为9，∴．如图，作于点，则，，∴，∴，即，∴，∴，∴，故选：D．7．（2021下·福建龙岩·九年级龙岩初级中学校考阶段练习）如图，点A是双曲线第三象限分支上的一动点，连接并延长交另一支于点，以为边作等边，点在第二象限内，则过点的反比例函数解析式为．

【答案】【分析】连接，过C点作x轴于D，过B点作x轴于E，证，根据相似三角形的性质即可求解．【详解】解：连接，过C点作x轴于D，过B点作x轴于E，设过点的反比例函数解析式为，

∵点A与点B在反比例函数的图象上，∴点A与点B关于原点对称，∴，∵为等边三角形，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴即，∴，∵点C在第三象限，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查反比例函数，涉及了三角函数、相似三角形的判定与性质等知识点．掌握反比例函数比例系数的几何意义是解题关键．8．（2023上·湖南岳阳·九年级岳阳市弘毅新华中学校考阶段练习）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，且．线段交反比例函数的图象于另一点C，连接，若点C为的中点，则的值为（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、斜中半定理、求角度的正弦值等知识点．掌握“设而不求”的数学思想是解题关键．设点，，作轴，轴，证可得，进一步可推出，求出，确定，即可求解．【详解】解：由题意得：设点，，作轴，轴，如图所示：则，∵，∴∴∴∴，即：，整理得：∴∵，∴，∴∵点C为的中点，∴∴∴∴故选：B9．（2023·浙江温州·校联考三模）如图，在的方格纸中，线段的端点均是格点，请按要求画图．

(1)在图1中，找一个格点，使得为直角三角形，且．(2)在图2中，找一个格点，使得为非直角三角形，且．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）在图中画出和的直角三角形即可；（2）根据为非直角三角形，，在图中画出图形即可．【详解】（1）解：如图1或图2或图3，

；（2）解：如图4或图5，

．【点睛】本题考查了作图—应用与设计作图，正切的应用，熟练掌握正切的定义是解题的关键．10．（2023上·山东潍坊·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，点，点分别在轴上，连接并延长至点，连接，若满足，求所在直线的函数表达式．

【答案】【分析】此题考查待定系数法求一次函数的解析式，三角函数，相似三角形的判定和性质：根据及公共角证得，得到，根据三角函数值求得，得到，再利用待定系数法求出函数解析式，综合掌握所学知识是解题的关键．【详解】解：∵，∴

又∵∠C是公共角，∴，∴，∵，∴，即，∵，∴，在中，，∴，∴，∴，设所在的直线方程为，将，代入得，，∴，∴所在的直线为．11．（2023上·上海崇明·九年级校联考期中）如图，在中，，，．

(1)求的长．(2)若点D在边上，且，求的值．【答案】(1)10(2)【分析】本题考查了正弦，正切，勾股定理．熟练掌握，是解题的关键．（1）如图1，过A作于E．在中，由，解得，由勾股定理得，．在中，由，解得，根据，计算求解即可．（2）如图2，过D作于H．由题意知，，，在中，由，设，则，由勾股定理得，，由，解得，则，，由（1）知，，则，在中，根据，计算求解即可．【详解】（1）解：如图1，过A作于E．

在中，∵，，解得，由勾股定理得，．在中，∵，解得，∴．（2）解：如图2，过D作于H．

∵，，∴，，在中，，设，则，由勾股定理得，，又∵，解得，∴，，由（1）知，，∴，在中，，∴的值为．题型四特殊角三角函数值的应用【例4】（2023上·山东潍坊·九年级统考期中）计算：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解题关键：．（1）将特殊角的三角函数值代入计算即可；（2）将特殊角的三角函数值代入计算即可．【详解】（1）解：原式（2）解：原式巩固训练1．（2023上·山东潍坊·九年级统考期中）若是锐角，，则的值是（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】本题考查了特殊角三角函数的函数值，根据是锐角，，得到，即可求的值．【详解】解：是锐角，，，，故选：B．2．（2020·广东深圳·统考二模）在中，若，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键．【详解】解：∵，∴的度数是；故选A．3．（2023上·福建泉州·九年级统考期中）在中，若，则的形状是（

）A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【分析】本题考查根据特殊角的三角函数值求角度，绝对值的非负性，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键．【详解】解：∵∴，，解得：，，∴，∴是钝角三角形，故选B．4．（2023上·湖北武汉·九年级统考期中）如图，是的弦，半径，，则的面积为.

【答案】【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一性质，特殊角的三角函数，过点O作，垂足为C，利用垂径定理，勾股定理计算即可.【详解】过点O作，垂足为C，∵，，∴，，∴，，

.∴，∴的面积为,故答案为：.5．（2023上·湖南衡阳·九年级校联考期中）在中，若，则．【答案】/105度【分析】本题考查了绝对值的非负性，非负数的性质，特殊角三角函数值，三角形内角和定理，利用非负数和为零得出，，求出、度数，再由三角形内角和定理求解即可．【详解】解：∵∴，，∴，，，，．故答案为：．6．（2022上·山东泰安·九年级校考阶段练习）在中，若，则是三角形．【答案】等边【分析】直接绝对值的性质以及偶次方的性质得出，，再利用特殊角的三角函数值求出答案．【详解】解：，，，，，是等边三角形．故答案为：等边．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．7．（2023上·浙江金华·九年级校联考期中）计算：．【答案】【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值，实数的混合计算，零指数幂，负整数指数幂，先计算特殊角三角函数值，零指数幂和负整数指数幂，再根据实数的混合计算法则求解即可．【详解】解：原式．8．（2023上·山东济南·九年级统考期中）计算：．【答案】【分析】本题主要考查了零指数幂运算，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握零指数幂和负整数指数幂运算法则，特殊角的三角函数值，准确计算．【详解】解：．9．（2023上·湖南永州·九年级校考阶段练习）计算：(1)．(2)【答案】(1)(2)【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，（1）根据特殊锐角三角函数值代入计算即可；（2）根据特殊锐角三角函数值代入计算即可．掌握特殊锐角的三角函数值是解决问题的关键．【详解】（1）；（2）．10．（2023上·江西宜春·九年级江西省丰城中学校考期中）已知α是锐角，且，计算的值．【答案】【分析】此题考查了含特殊角三角函数值的实数计算，利用特殊角的三角函数值求出的度数，代入原式计算是解本题的关键．【详解】∵α是锐角，且，∴，即，则．11．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨工业大学附属中学校校考期中）先化简，再求代数式的值，其中．【答案】，【分析】本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，分母有理化，先根据分式的运算法则把所给分式化简，然后把x化简后代入计算．【详解】解：原式，∵，∴原式．题型五解直角三角形【例5】（2023上·湖南衡阳·九年级校联考期中）如图，在中，，，，，，交．求：(1)的长；(2)的值．【答案】(1)(2)1【分析】（1）由锐角三角函数定义求出，再由勾股定理求出的长即可；（2）先利用勾股定理求得，从而得到是等腰直角三角形，可求得，再求得，即可由特殊角三角函数值得出答案．【详解】（1）解：，，，，，；（2）解：，，由（1）知，由勾股定理得：，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了解直角三角形、特殊角三角函数值，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理．熟练掌握解直角三角形的知识是解题的关键．巩固训练1．（2023上·浙江金华·九年级校联考期中）已知为锐角，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了解直角三角形，根据得到，再利用勾股定理得到，则．【详解】解：如图所示，在中，，∴，∴，∴，∴，故选B．2．（2023上·广东深圳·九年级校考期中）如图，在矩形中，，点在直线上，若矩形的周长为，点到直线的距离的长为6，则点到直线的距离的长为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了矩形的性质，同角的余角相等，解直角三角形，勾股定理等知识．利用矩形性质求出的长，利用锐角三角函数求出的长，再利用勾股定理即可求出最后结果，其中证明是解题关键．【详解】解：四边形为矩形，，，，，且矩形的周长为，，解得：，于点，于点，，，，，，，，点到直线的距离的长为，故选:．3．（2023上·福建福州·九年级校联考期中）如图，平面直角坐标系中，点在第一象限，，，将绕点逆时针旋转，点B的对应点的坐标是()A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查坐标与图形变化旋转，解直角三角形等知识如图，过点作轴于．解直角三角形求出，H即可．【详解】解：如图，过点作轴于．∵，．∴∵旋转，∴在中，，，∴，∴，故选：B．4．（2023上·河北廊坊·九年级校联考期中）如图，边长为3的正六边形内接于，则的内接正三角形的边长为（

）

A． B． C． D．6【答案】C【分析】本题考查了正多边形与圆，等边三角形的性质，三角形的外接圆等知识，解题的关键是首先证明，解直角三角形求出．【详解】解：连接交于H．

在正六边形中，∵，，∴，∴，∴，，∴，∴，故选C．56．（2023上·江苏常州·九年级校考期中）如图，中，，．能够将完全覆盖的最小圆形纸片的半径为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】连接、，作于点，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到，根据正弦的定义计算即可．【详解】解：设圆的圆心为点，能够将完全覆盖的最小圆是的外接圆，连接、，作于点，

则，，，，，，，，即外接圆的半径是，故选：B．【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握三角形的外接圆的概念、圆周角定理、垂径定理、解直角三角形是解题的关键．6．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级校联考期中）在中，，则【答案】5或11【分析】本题考查了正切函数型的解三角形，勾股定理，根据题意分是锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论，利用正切的定义和勾股定理求解即可．【详解】当是锐角三角形时，如图，过点B作于点D，∵，∴设，则，∴，解得（舍去），

∴，当是钝角三角形时，如图，过点B作，交的延长线于点E，∵，∴设，则，∴，解得（舍去），

故答案为：5或11．7．（2023上·山东烟台·九年级统考期中）在中，，，，则的度数为．【答案】/60度【分析】本题考查解直角三角形，根据，由特殊角三角函数值即可得出角度，从而求解．【详解】解：，，，∴∴故答案为：．8．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）如图，在四边形中，，，，，则．

【答案】/【分析】延长于点E，利用三角函数求得，的长，设，则，根据勾股定理可得的长，从而得到，，进而得到，即可求解．【详解】解：如图，延长于点E，

∵，∴，∵，∴，∵，∴，，∴，，∴，，设，则，∴，∴，∴，∴，，

∴，∴．故答案为：【点睛】本题考查了解直角三角形，构造辅助线得到直角三角形是解题的关键．9．（2023上·江苏扬州·九年级校考期中）如图，中，，，D为边延长线上一点，，求的值．

【答案】/【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是：过点作于点．根据，即可求出，从而由勾股定理可求出．再根据等腰三角形的性质可求出，结合，即可求出，最后根据正切的定义求解即可．【详解】解：如图，过点作于点．

．，，．，，，，，．10．（2023上·山东菏泽·九年级统考期中）中，，，点在上，，，求的长．

【答案】【分析】本题考查了解直角三角形，等角对等边；根据三角形的外角的性质可得，进而可得，解即可求解．【详解】解：∵，，∴，∴，∴，在中，．11．（2023上·山东菏泽·九年级统考期中）中，．(1)如果，，求的长；(2)如果，，求的长．【答案】(1)(2)【分析】本题考查解直角三角形；（1）根据正弦函数的定义和度角的正弦值求解即可；（2）根据正切函数的定义和勾股定理求解即可．【详解】（1）解：在中，，∴，∵，，∴，∴；

（2）解：中，，设则，∵，∴，∴．12．（2023上·上海黄浦·九年级上海市格致初级中学校考期中）已知：如图，在中，，，，，垂足为点D，E是的中点，连结并延长，交边于点F．

(1)求的正切值；(2)求的值．【答案】(1)的正切值为，详见解析(2)，详见解析【分析】（1）先根据三角函数值求的长，由勾股定理得的长，根据三角函数定义可得结论；（2）作平行线，构建平行线分线段成比例定理可设，分别表示和的长，代入可得结论．【详解】（1）∵，∴，在中，，∴，由勾股定理得：，∵E是的中点，∴，∴的正切；（2）过D作交于G，

∵，∴，∵，∴，设，∵，∴，∴．【点睛】本题是考查了解直角三角形，平行线截线段成比例定理，勾股定理等知识点，熟练掌握三角函数的定义，在直角三角形中，根据三角函数的定义列式，如果没有直角三角形，或将角转化到直角三角形内，或作垂线构建直角三角形．13．（2023上·山东淄博·九年级统考期中）如图，在中，，，．

(1)求的长；(2)利用此图形求的值．（精确到，参考数据：，，）【答案】(1)；(2)．【分析】（）过作延长线于点，根据三角函数即可求解；（）在上截取，使，连接，则，在中即可求解；或作的平分线交于点，则，过点作于点，设，利用等面积法求出，在中即可求解．此题考查了解直角三角形，锐角三角函数，解题的关键是学会添加辅助线，构造直角三角形解决问题．【详解】（1）过点作延长线于点，

∵∴∴，，∵∴∴（2）解法一：在上截取，使，

∴，∴，∵，，∴；解法二：作的平分线交于点，

∴过点作于点，设，∴，，∴，，∴，∴，解得，，∴．14．（2023上·山东烟台·九年级统考期中）中，，，解这个直角三角形．【答案】，，【分析】解直角三角形就是求直角三角形中出直角以外的两锐角，三边中的未知的元素．【详解】解：在中，，，，，∵，∴，．【点睛】此题主要考查了解直角三角形，已知三角形的一边与一个锐角，就可以求出另一个锐角与三角形的另外两边．15．（2023上·江苏常州·九年级校考期中）已知直线经过上的点，且，

(1)求证：直线是的切线(2)已知的半径是1，．①求边的长；②求图中阴影部分的面积（结果保留）【答案】(1)见解析(2)①；②【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质得出，再根据切线的判定推出即可；（2）①先求出的度数，解即可求出求出长，即可求出的长；②利用求解即可．【详解】（1）证明：连接，

，，，过点，直线是的切线；（2）解：①，，∴，由①知，∴，∵∴；②【点睛】本题考查等腰三角形的性质，切线的判定，解直角三角形，扇形面积，三角形面积，正确作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．16．（2023·全国·九年级专题练习）如图，AB是☉O的直径，AC是一条弦，D是弧AC的中点，DE⊥AB于点E，交AC于点F，交☉O于点H，DB交AC于点G．(1)求证；AF=DF；(2)若AF=，sin∠B=，求☉O的半径．【答案】(1)见解析(2)☉O的半径为5【详解】（1）证明∵D是弧AC的中点，∴．∵AB⊥DH，且AB是☉O的直径，∴，∴．∴∠ADH=∠CAD，∴AF=DF．（2）解∵AB是☉O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠DAB+∠B=90°．∵∠DAE+∠ADE=90°，∴∠ADE=∠B，∴sin∠ADE=，tan∠ADE=．设AE=x，则DE=2x．∵DF=AF=，∴EF=2x-．∵AE2+EF2=AF2，∴x=2，∴AD==2，∴AB==10，∴☉O的半径为5．题型六解直角三角形的应用【例6】（2023上·山西临汾·九年级统考期中）如图，图①②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图，已知踏板长为1.7米，与地面的夹角为，支架长为，为，手柄与地面平行．求跑步机手柄的一端距离地面的高度．（精确到）（参考数据：，，，，，）

【答案】1.1米【分析】此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键是用数学知识解决实际问题；过点作于，交于．在中，根据三角函数可求，在中，根据三角函数可求，再根据即可求解．【详解】解：过点作于，交于．，．与地面的夹角为，为，，在中，，则（米）．在中，，则（米）．则（米）．，跑步机手柄的一端距离地面的高度等于为1.1米．

巩固训练1．（2023上·山东济宁·九年级校考阶段练习）如图所示，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为，看这栋楼底部C处的俯角为，热气球A处与楼的水平距离为120m，则这栋楼的高度为（

）

A． B．C． D．【答案】A【分析】过点A作，分别解直角三角形，求出，即可得出结果．【详解】解：过点A作，由题意，得：120m，，

∴，∴；即：楼高为；故选A．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用．解题的关键是构造直角三角形．2．（2023上·山东潍坊·九年级统考期中）一艘游轮从小岛正南方向的点处向西航行海里到达点处，然后沿北偏西方向航行海里到达点处，此时观测到小岛在北偏东方向，则小岛与出发点之间的距离为（

）

A． B．C． D．【答案】A【分析】过点作，垂足为，过点作交的延长线于点，根据题意可得然后在中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进而求出的长，即可解答.【详解】如图：过点作，垂足为，过点作，交的延长线于点，

由题意得：，在中,海里，，(海里)，(海里),海里，海里，在中,海里，海里，∴小岛A与出发点B之间的距离为海里，故选:A.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键.3．（2023下·九年级课时练习）王英同学从地沿北偏西方向走到地，再从地向正南方向走到地，此时王英同学离地（

）．A． B． C． D．【答案】C【详解】如图，过点作，交于点．在中，，，，．【易错点分析】不会画图，“地沿北偏西方向”应该在地建立方向坐标，“地向正南方向”应该在地建立方向坐标，要根据需要建立方向坐标．4．（2023上·江苏淮安·九年级校考期中）如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取的垂线上的一点C，测得米，，则小河宽等于（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】C【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，根据进行求解是解题的关键．【详解】解：在中，，∴，故选C．5．（2023上·山东济南·九年级统考期中）电线杆直立在水平的地面上，是电线杆的一根拉线，测得，，则拉线的长为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查解直角三角形的应用．根据锐角三角函数的定义，进行求解即可．【详解】解：由题意，得：在中，，，则：；故选B．6．（2022·湖北武汉·统考模拟预测）如图，一飞机到达A点时，测得观礼台C在飞机前下方，俯角为，此时飞行路线改为沿仰角为方向的直线飞行，飞机飞行了6千米到B处时，居民区D恰好在飞机的正下方，现在的飞行高度为5千米，则观礼台C和居民区D的距离是千米．（，，，，结果精确到0.1）【答案】【分析】过A作于点E，过C作于点F，根据锐角三角函数求出千米，千米，再证四边形为矩形，得出千米，，在中，千米，则千米．【详解】过A作于点E，过C作于点F，∵，∴为直角三角形，，∵，，∴（千米），（千米），∴（千米），∵，，∴，∴四边形为矩形，∴千米，，∵在中，（千米），∴（千米）．故答案为：．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，仰角与俯角，利用辅助线构造直角三角形，掌握解直角三角形的应用，仰角与俯角，利用辅助线构造直角三角形是解题关键．7．（2022·湖北武汉·校联考模拟预测）如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B处的仰角为、底部C处的俯角为，此时航拍无人机A处与该建筑物的水平距离为80米．该建筑物的高度（精确到1米）．[参考数据：，，]

【答案】米【分析】分别根据正切的定义求出和，再根据进行计算．【详解】解：由题意得：，，∴，，∴，，∴，，∴米，故答案为：米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．8．（2023上·山东潍坊·九年级统考期中）如图，数学兴趣小组用无人机测量一幢楼的高度．小亮站立在距离楼底部米的点处，操控无人机从地面点，竖直起飞到正上方米点处时，测得楼的顶端的俯角为，小亮的眼睛点看无人机的仰角为（点三点在同一直线上）．求楼的高度．（参考数据：小亮的眼睛距离地面米，）【答案】的高度为米【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，作垂线构造直角三角形是解题关键．过点E作，分别过点A，点C作，．设楼的高度为x米，则米，在中表示出，进一步表示出；在中表示出即可求解．【详解】解：过点E作，分别过点A，点C作，．设楼的高度为x米，则米，由题意得，，，∵∴在中，，，∴，由题意知，四边形是矩形，∴，∴，在中，，∴，∵，，∴，解得，，答：的高度为米．9．（2023上·江苏泰州·九年级统考期中）某数学兴趣小组要测量实验大楼部分楼体的高度（如图1所示，部分），在起点处测得大楼部分楼体的顶端点的仰角为，底端点的仰角为，在同一平面内沿水平地面向前走米到达处，测得顶端的仰角为（如图2所示），结合以上信息，从①，②，③这三个条件中选择一个作为补充条件，求大楼部分楼体的高度约为多少米？（精确到1米）你选择的条件是．（只填序号）【答案】大楼部分楼体的高度约为米，③【分析】本题考查了解直角三角形的应用，即有，在中，可得，进而可得，在中，可得，问题随之得解．【详解】根据题意有：，，，，，∴，∴，∴，∵，，∴在中，，∴，∴，∴，∴，∵在中，，，∴，∴，综上：选择的条件为③，大楼部分楼体的高度约为米．10．（2023上·江苏常州·九年级校考期中）如图，、为两个建筑物，建筑物的高度为，从建筑物的顶部点测得建筑物的顶部点的俯角为，测得建筑物的底部点的俯角为．

(1)求两建筑物两底部之间的水平距离的长度：(2)求建筑物的高度（结果保留根号）【答案】(1)15米(2)米【分析】本题考查了等腰三角形的判定，正方形的性质，解直角三角形的应用仰角和俯角问题：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．（1）利用可得到（米；（2）延长交于点，易得四边形是正方