上海市实验学校2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题

上海实验2024学年第一学期高三年级数学月考2024.10一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）

1.已知,则.

2.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则.

3.在中,,则.

4.若关于的不等式的解集为,则.

5.已知为第一象限角，为第三象限角，，则.

6.已知函数为在上单调递增,则实数的取值范围是.

7.设函数，则曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为.

8.已知,则.

9.设为平面上一定点,为动点,则当由0变化到时,线段扫过的面积是.

10.已知,函数在零点的个数最大值为.11.已知函数的定义域为,且对任意,满足,且,则.12.已知方程有四个不同的实数根,满足,且在区间和上各存在唯一整数，则实数的取值范围为.

二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分)

13.已知集合，则（）.

A.B.C.D.

14.生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则（）.

A.B.C.D.

15.将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，若在上只有一个极大值点，则的最大值为（）.

A.2B.3C.4D.5

16.若函数在上恰有3个零点，则符合条件的的个数是（）.

A.4B.5C.6D.7

三、解答题(共5道大题,共计76分)17.（本题满分14分.本题共2小题,第（1）小题7分,第（2）小题7分.)已知在中,角所对的边分别为,且满足,;

（1）求角的值;

（2）若的面积为,求的周长.

18.(本题满分14分.本题共2小题，第（1）小题8分,第（2）小题6分.)如图,已知三棱柱的所有棱长均为1,且.

（1）求直线与平面所成角的正弦值;

（2）求点到平面的距离.

19.(本题满分14分.本题共2小题,第（1）小题6分,第（2）小题8分.)已知函数.

（1）将化成的形式,并写出的最小正周期及对称轴方程；

（2）若在上的值域为,求的取值范围.

20.（本题满分16分.本题共3小题,第(1)小题4分,第（2）小题6分.第(3)小题6分)对于四个正数，如果，那么称是的"下位序列"

（1）对于,试求的"下位序列";

（2）设均为正数，且是的"下位序列"，试判断：之间的大小关系，并证明你的结论；

（3）设正整数满足条件：对集合内的每个，总存在正整数，使得是的"下位序列"，且是的"下位序列"，求正整数的最小值.21.（本题满分18分.本题共3个小题,第（1）小题4分,第（2）小题6分,第(3)小题8分)函数满足：对任意恒成立（或恒成立），则称直线是函数在上的支撑线.

（1）指出下列哪些函数在定义域上存在支撑线：

①②③④

（2）动点在函数图象上，直线是在定义域上的支撑线，求点到直线的距离最小值;

（3）直线是函数在上的支撑线，求实数的取值范围.

上实验2024学年第一学期高三年级数学月考2024.10一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）

1.已知,则.

【答案】【解析】由诱导公式可得:,故答案为:.

2.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则.

【答案】【解析】因为函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则。故答案为:.

3.在中,,则.

【答案】【解析】.故答案为:

4.若关于的不等式的解集为,则.

【答案】【解析】依题意可得,即,而,即,所以.

5.已知为第一象限角，为第三象限角，，则.

【答案】【解析】因为为第一象限角，为第三象限角，所以，因为,所以，

所以,所以则.故答案为:.

6.已知函数为在上单调递增,则实数的取值范围是.

【答案】【解析】函数为在上单调递增,可知:，可得.

7.设函数，则曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为.

【答案】【解析】,则,故,所以曲线在点处的切线为,令，解得，令，解得，故所求三角形的面积为.

8.已知,则.

【答案】【解析】因为，所以，所以，而，故，即.故答案为:.

9.设为平面上一定点,为动点,则当由0变化到时,线段扫过的面积是.

【答案】【解析】由可知，点在半径为1，圆心在原点的单位圆上，如图,点运动到,则,

扇形面积为，而，,故线段扫过的面积为.

10.已知,函数在零点的个数最大值为.

【答案】【解析】令可得,则有,设是相邻的两个零点,则有或,函数在上有且仅有两个零点，在上有且仅有两个零点，在上有且仅有两个零点，在上有且仅有两个零点，在上有且仅有两个零点，在上有且仅有两个零点，因为，所以在可能没有零点，可能有1个零点，可能有2个零点，不可能有3个零点，所以零点的个数最大值为个，故答案为:.11.已知函数的定义域为,且对任意,满足,且,则.【答案】【解析】由，所以，即，

所以

12.已知方程有四个不同的实数根,满足,且在区间和上各存在唯一整数，则实数的取值范围为.

【答案】【解析】方法一:.令，则.所以为偶函数.所以只需考虑时，有两个零点，且在区间上存在唯一的整数即可.当时,令,得.令,则.当时,,所以在上单调递增;当时,，所以在上单调递减.因为在区间上存在唯一的整数,所以,即.所以的取值范围为.

方法二:.令,则，所以为奇函数.因为也是奇函数，所以只需考虑时,与的图象有两个交点,且在区间上存在唯一的整数.易知，当时，，所以在上单调递增;当时,,所以在上单调递减.当直线过点时,；当直线过点时,.因为与的图象有两个交点,且在区间上存在唯一的整数,所以,所以的取值范围为.

方法三:由,得，令，两函数均为偶函数，所以只需考虑时，与的图象有两个交点，且在区间上存在唯一整数.如图,作的部分图象,根据图象易得,所以解得,所以的取值范围为.二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分)

13.已知集合，则（）.

A.B.C.D.

【答案】C【解析】集合，则。

14.生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则（）.

A.B.C.D.

【答案】D【解析】根据个体总数由变为可列式，，所以，约分可得，故，所以.

15.将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，若在上只有一个极大值点，则的最大值为（）.

A.2B.3C.4D.5

【答案】B【解析】由题，当时，,若在上只有一个极大值点，则,得,因为,所以的最大值为3.

16.若函数在上恰有3个零点，则符合条件的的个数是（）.

A.4B.5C.6D.7

【答案】B【解析】令,则或,由得，当时，在上没有零点，则在上应有3个零点,所以,即,与联立得,因为,所以的值依次为9,10；当时，在上有1个零点在上有3个零点,不满足题意;当时,在上有2个零点,在上应有1个零点（因为，所以该零点与的零点不相同），所以,即,与联立得,因为,所以的取值依次为，综上得符合条件的的个数是5.

三、解答题(共5道大题,共计76分)17.（本题满分14分.本题共2小题,第（1）小题7分,第（2）小题7分.)已知在中,角所对的边分别为,且满足,;

（1）求角的值;

（2）若的面积为,求的周长.

【答案】（1）（2）【解析】（1）由题意得:,

即:,,又,因此,

因为,因此,故为锐角,因此;

（2）由,则由余弦定理:,得:,因此可得:,因此,为等腰直角三角形,

又得:，因此的周长为.18.(本题满分14分.本题共2小题，第（1）小题8分,第（2）小题6分.)如图,已知三棱柱的所有棱长均为1,且.

（1）求直线与平面所成角的正弦值;

（2）求点到平面的距离.【答案】（1）（2）【解析】（1）由题意,得四面体是正四面体.如图,过点作平面的垂线,交平面于点,连接.由对称性知，点为正三角形的中心.

易得,所以.

因为平面平面,所以.

所以直线与平面所成的角为.

因为,又平面平面,所以直线与平面所成角的正弦值为.

(2)因为平面平面,所以.又,且,所以平面.

又平面,所以.又,所以.

所以四边形为矩形.所以.

因为,

所以点到平面的距离为

19.(本题满分14分.本题共2小题,第（1）小题6分,第（2）小题8分.)已知函数.

（1）将化成的形式,并写出的最小正周期及对称轴方程；

（2）若在上的值域为,求的取值范围.

【答案】（1）对称轴为直线.（2）【解析】(1)，由题意得的最小正周期.

由图象可知，对称轴为直线.

（2）若在上单调,则,得,则

由,得,则,所以.

若在上不单调，则在上的图象上必定有一个最高点或最低点,且在上的图象无论经过任何一个最高点或任何一个最低点,的取值范围均相同.

假设在上的图象的最高点为,则,

当,即时,,此时取得最小值,且最小值是.易得,则,所以.

综上,的取值范围为.

20.（本题满分16分.本题共3小题,第(1)小题4分,第（2）小题6分.第(3)小题6分)对于四个正数，如果，那么称是的"下位序列"

（1）对于,试求的"下位序列";

（2）设均为正数，且是的"下位序列"，试判断：之间的大小关系，并证明你的结论；

（3）设正整数满足条件：对集合内的每个，总存在正整数，使得是的"下位序列"，且是的"下位序列"，求正整数的最小值.【答案】（1）（2），证明见解析（3）【解析】（1）由题意可知此时则的“下位序列”为（2）由题意可知此时取,则猜想

先证左边则再证右边则综上（3）由题意可知①，又则此时于是解得

又对集合内的每个,上式都成立,则

下证满足题意,由①可知

再由（2）可知

即对集合内的每个，总存在是满足题意的综上所述：正整数的最小值为.21.（本题满分18分.本题共3个小题,第（1）小题4分,第（2）小题6分,第(3)小题8分)函数满足：对任意恒成立（或恒成立），则称直线是函数在上的支撑线.

（1）指出下列哪些函数在定义域上存在支撑线：

①②③④

（2）动点在函数图象上，直线是在定义域上的支撑线，求点到直线的距离最小值;

（3）直线是函数在上的支撑线，求实数的取值范围.

【答案】（1）③④（2）