专项07 与圆有关的阴影部分面积的计算VIP

专项07与圆有关的阴影部分面积的计算类型一直接公式法1.如图，在矩形ABCD中，AB=2BC=2，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转，使得点B落在CD边上的点B'处，线段AB扫过部分(图中阴影部分)的面积为()A.π2 B.π3 类型二整体法2.如图，以BC为直径的☉O与△ABC的另两边分别相交于点D、E.若∠A=60°，BC=4，则图中阴影部分的面积为.(结果保留π)

类型三和差法考法一直接和差法模型分析当所求阴影部分为不规则图形且图形相对比较简单时，阴影部分的面积可以直接看成扇形、三角形、特殊四边形的面积相加减.3.如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，E为BC的中点，连接AE，DE.以E为圆心，EB长为半径画弧，分别与AE，DE交于点M，N.则图中阴影部分的面积为.(结果保留π)4.(2023湖北荆门外国语学校月考)如图，在矩形ABCD中，CD=2，以点C为圆心，CD长为半径画弧，交AB边于点E，且E为AB中点，则图中阴影部分的面积为.

5.(2023山东济南历城二模改编)如图，在平面直角坐标系中，点A(-1，0)，B(1，0)，C(0，1)，将△ABC绕点B顺时针旋转，使点A旋转至y轴的正半轴上的A'处，得到△A'BC'，则阴影部分的面积为.

考法二构造和差法模型分析常见图形添加辅助线，构造和差阴影部分面积S阴影=S扇形OBD+S△AODS阴影=S扇形CA'A-S扇形CD'D6.(2022贵州遵义中考)如图，在正方形ABCD中，AC和BD交于点O，过点O的直线EF交AB于点E(E不与A，B重合)，交CD于点F.以点O为圆心，OC为半径的圆交直线EF于点M，N.若AB=1，则图中阴影部分的面积为()A.π8−18 B.7.(2023山东滨州中考)如图，某玩具品牌的标志由半径为1cm的三个等圆构成，且三个等圆☉O1，☉O2，☉O3相互经过彼此的圆心，则图中三个阴影部分的面积之和为()A.14πcm2 B.13πcm2 C.12πcm2 类型四转化法模型分析S阴影=S△BCES阴影=14(S☉O-S正方形ABCDS阴影=S扇形OCD对称转化整体转化等积转化8.(2023山东济南槐荫一模)如图，两个半径长均为1的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上，扇形CFD的圆心C是弧AB的中点，且扇形CFD绕着点C旋转，半径AE、CF交于点G，半径BE、CD交于点H，则图中阴影部分的面积等于()A.π2−1 B.π2−19.(2023山东枣庄中考)如图，AB为☉O的直径，点C是AD的中点，过点C作射线BD的垂线，垂足为E.(1)求证：CE是☉O的切线；(2)若BE=3，AB=4，求BC的长；(3)在(2)的条件下，求阴影部分的面积(用含有π的式子表示).类型五容斥原理法模型分析有的阴影部分面积是由两个基本图形相互重叠得到的.常用的方法是被重叠图形的面积=两个基本图形的面积之和-组合图形的面积.如图，S阴影=S扇形CAE+S扇形CBD-S△ABC.10.已知AB为半圆O的直径，且AB=4，点P是AB的中点.如图，过点A作半圆O的切线AC，与BP的延长线交于点C，以点C为圆心，AC长为半径画弧交BC于点D，则图中阴影部分的面积是.

专项07与圆有关的阴影部分面积的计算答案全解全析1.B∵AB=2BC=2，∴BC=1，∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=1，∠D=∠DAB=90°，由旋转可得AB'=AB=2，∴cos∠DAB'=ADAB'=∴∠BAB'=30°，∴线段AB扫过部分的面积=30π×222.43解析∵△ABC中，∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°，∵△OBD、△OCE是等腰三角形，∴∠BDO+∠CEO=∠ABC+∠ACB=120°，∴∠BOD+∠COE=360°-(∠BDO+∠CEO)-(∠ABC+∠ACB)=360°-120°-120°=120°，∵BC=4，∴OB=OC=2，∴S阴影=120π×23.4-π解析∵四边形ABCD为矩形，AB=2，∴∠ABC=∠DCB=90°，CD=AB=2，∵BC=4，E为BC的中点，∴BE=CE=2，∴AB=BE，CD=CE，∴∠BAE=∠AEB=∠CDE=∠DEC=45°，∴阴影部分的面积为2×124.3解析∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD=2，∠B=∠DCB=90°，∵E为AB中点，∴EB=12AB=1由作图可知CE=CD=2，∴∠ECB=30°，∴∠DCE=60°，∵EB=1，CE=2，∴由勾股定理可知BC=3，∴阴影部分的面积=S矩形ABCD-S△CBE-S扇形ECD=3×2−5.π解析∵点A(-1，0)，B(1，0)，C(0，1)，∴OA=OB=OC=1，∴BC=OB2+O由旋转可知BA'=BA=2，又OB=1，∴∠OA'B=30°，∴∠ABA'=90°-30°=60°=∠CBC'，∴S阴影=S扇形BAA'+S△BA'C'-S扇形BCC'-S△ABC=S扇形BAA'-S扇形BCC'=60π×223606.B如图，以O为圆心，OD为半径作弧DN，易知OD=22，S△OBE=S△ODF，S扇形BOM=S扇形DON∴S1=S2，∴S阴影=S扇形DOC-S△DOC=90π×22模型分析当所求阴影部分为不规则图形，且图形相对比较复杂，不能直接看成规则图形的面积和差时，常通过“分割求和”“整体作差”等方法，添加适当的辅助线，构造扇形、三角形或特殊四边形，然后把它们的面积相加减.构造图形时一般先观察阴影部分图形：①若阴影部分图形有一部分是弧线，则需找出弧线所对应的圆心，连半径构造扇形；②若阴影部分是由图形旋转而成的，则旋转中心即为圆心，将旋转前后的对应点分别与旋转中心连接构造扇形.7.C如图所示，连接O1A，O2A，O1B，O3B，O2C，O3C，O1O2，O1O3，O2O3，则△O1AO2，△O1BO3，△O2CO3，△O1O2O3是边长为1cm的正三角形，所以S阴影=3S扇形O1O28.A两扇形的面积和为90π×12360×2=12π，连接CE，过点C作CM⊥AE，作CN⊥BE90°，∴∠MCG+∠FCN=90°，∵∠NCH+∠FCN=90°，∴∠MCG=∠NCH，∵点C是弧AB的中点，∴EC平分∠AEB，∴CM=CN，∴矩形EMCN是正方形，在△CMG与△CNH中，∠MCG=∠NCH,CM=CN∴图中阴影部分的面积=两个扇形面积和-2个空白区域面积的和=12模型分析当所求阴影部分的图形比较复杂，难以通过构造和差进行计算时，常利用转化的方法将其转化为求扇形、三角形、特殊四边形的面积或它们面积的和差.9.解析(1)证明：如图，连接OC，∵点C是AD的中点，∴AC=∴∠ABC=∠EBC，∵OB=OC，∴∠ABC=∠OCB，∴∠EBC=∠OCB，∴OC∥BE，∵BE⊥CE，∴半径OC⊥CE，∴CE是☉O的切线.(2)如图，连接AC，∵AB为☉O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACB=∠CEB=90°，又∵∠ABC=∠EBC，∴△ACB∽△CEB，∴ABBC(3)如图，连接OD、CD，∵AB=4，∴OC=OB=2，在Rt△BCE中，BC=23，BE=3，∴cos∠CBE=BEBC∴∠CBE=30°，∴∠COD=60°，∠ABC=30°，∴∠AOC=60°，∵OC=OD，∠COD=60°，∴△COD是等边三角形，∴∠DCO=60°，∴∠D