专项06 证明圆的切线的常用方法

专项06证明圆的切线的常用方法类型一有交点：连半径，证垂直规律方法如果已知直线与圆有公共点，要证直线与圆相切，可连接这个公共点和圆心，得到半径，只需证明这条半径垂直于已知直线即可，简记为“有交点：连半径，证垂直”，并且注意要证“垂直”，常需利用已知中原有的垂直关系.方法1平行线性质法证垂直1.如图，在☉O中，点A是BC的中点，过点A作AD∥BC.求证：AD与☉O相切.2.(2023河北石家庄四十二中一模节选)如图，在☉O中，AB是☉O的直径，CD是过☉O上一点C的直线，且AD⊥DC于点D，AC平分∠BAD.求证：CD是☉O的切线.方法2利用等角转换法证垂直3.(2023辽宁鞍山立山二模节选)如图，AB为☉O的直径，D是☉O上的一点，延长AB至点C，连接CD，∠BDC=∠BAD.求证：CD是☉O的切线.4.(2022江苏扬州中考节选)如图，AB为☉O的弦，OC⊥OA交AB于点P，交过点B的直线于点C，且CB=CP.试判断直线BC与☉O的位置关系，并说明理由.方法3利用全等法证垂直5.如图，已知AB是☉O的直径，PB是☉O的切线，C是☉O上的点，AC∥OP.(1)求证：PC是☉O的切线；(2)若∠A=60°，AB=4，求PC的长.方法4勾股定理逆定理法证垂直6.如图，☉O的直径AB=12，点P是AB延长线上一点，且PB=4，点C是☉O上一点，PC=8.求证：PC是☉O的切线.类型二无交点：作垂直，证半径规律方法如果已知中无法直接判断直线与圆有无公共点，那么过圆心作已知直线的垂线段，证明垂线段的长等于半径即可，简记为“无交点：作垂直，证半径”.方法5角平分线性质法证半径7.如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的☉O与BC相切于点M.求证：CD与☉O相切.方法6全等三角形法证半径8.如图，在△ABC中，O为AC上一点，以点O为圆心，OC长为半径作圆，与BC相切于点C，过点A作AD⊥BO，交BO的延长线于点D，且∠AOD=∠BAD.(1)求证：AB为☉O的切线；(2)若BC=6，tan∠ABC=43，

专项06证明圆的切线的常用方法答案全解全析1.证明连接OA(图略)，∵A是BC的中点，∴OA⊥BC，∵AD∥BC，∴OA⊥AD，∵点A为半径OA的外端点，∴AD与☉O相切.2.证明连接OC，如图.∵AC平分∠BAD，∴∠DAC=∠CAO，∵OA=OC，∴∠CAO=∠OCA，∴∠DAC=∠OCA，∴AD∥OC，∵AD⊥DC，∴OC⊥DC，∵OC是☉O的半径，∴CD是☉O的切线.3.证明连接OD，如图.∵AB为☉O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠A+∠ABD=90°，∵OB=OD，∴∠ABD=∠ODB，∵∠BDC=∠A，∴∠BDC+∠ODB=90°，∴∠ODC=90°，∴OD⊥CD，∵OD是☉O的半径，∴CD是☉O的切线.4.解析直线BC与☉O相切.理由：如图，连接OB，∵OA=OB，∴∠A=∠OBA，∵CP=CB，∴∠CPB=∠CBP，∵∠APO=∠CPB，∴∠APO=∠CBP，∵OC⊥OA，∴∠A+∠APO=90°，∴∠OBA+∠CBP=90°，∴∠OBC=90°，∵OB为☉O的半径，∴直线BC与☉O相切.5.解析(1)证明：如图，连接OC.∵PB是☉O的切线，∴∠OBP=90°，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA.∵AC∥OP，∴∠OAC=∠POB，∠POC=∠OCA，∴∠POB=∠POC，又∵OC=OB，OP=OP，∴△POC≌△POB，∴∠OCP=∠OBP=90°，即OC⊥PC.又∵OC是☉O的半径，∴PC是☉O的切线.(2)∵AB=4，∴OB=2.∵∠A=60°，∠POB=∠A，∴∠POB=60°.在Rt△POB中，∠OPB=90°-∠POB=30°，∴PO=2OB=4.∴PB=OP∵△POC≌△POB，∴PC=PB=23.6.证明连接OC.∵☉O的直径AB=12，∴OB=OC=6.∵PB=4，∴PO=10.在△POC中，PC2+CO2=82+62=100，PO2=102=100，∴PC2+OC2=PO2.∴∠OCP=90°，即OC⊥PC.又∵OC是☉O的半径，∴PC是☉O的切线.7.证明如图，连接OM，过点O作ON⊥CD于点N.∵☉O与BC相切于点M，∴OM⊥BC.∵O为正方形ABCD对角线AC上一点，∴CO平分∠BCD，∴OM=ON，∴CD与☉O相切. 第7题图 第8题图8.解析(1)证明：如图，作OE⊥AB于E.因为☉O与BC相切于点C，所以AC⊥BC，因为∠AOD=∠BAD，AD⊥BD，所以∠OAD=∠ABD，易知∠OAD=∠OBC，所以∠ABD=∠OBC，又因为BO=BO，∠OEB=∠OCB=90°，所以△BOE≌△BOC(AAS).所以OE=OC，所以点E在☉O上，所以AB为☉O的切线.(2)由BC=6，tan∠ABC=ACBC=4所以AB=BC因为△BOE≌