第一章 直角三角形的边角关系（单元重点综合测试）

第1章直角三角形的边角关系（单元重点综合测试）一、单选题1．在直角三角形中，各边的长度都扩大到原来的3倍，则锐角A的三角函数值（

）A．都扩大到原来的3倍 B．都缩小为原来的3倍C．都保持原来的数值不变 D．有的变大，有的缩小2．在中，，，，那么下列结论正确的是（

）A． B． C． D．3．下列三角函数的值是的是（

）A． B． C． D．4．如图，线段OA在第二象限，A点的坐标为（﹣4，4），OA与y轴的夹角为α，则cosα＝（）A． B． C． D．5．如图，在中，，，，则的长为（

）

A． B． C．4 D．56．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cos∠B的值为（）

A． B． C． D．7．在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是高，如果AB=m，∠A=，那么CD的长为（）A． B．C． D．8．如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i＝1：，则大楼AB的高度为(

)（精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）A．30.4 B．36.4 C．39.4 D．45.49．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB上一点，过D作DF⊥AB交边BC于点E，交AC的延长线于点F，连接AE，如果tan∠EAC＝，S△CEF＝1，那么S△ABC的值是（）A．3 B．6 C．9 D．1210．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠B＝60°，AD⊥CD，AC平分∠DAB，E为AB边的中点，连接DE交AC于F．若CD＝1，则线段AF的长度为（）A． B． C．1 D．二、填空题11．（1）；（2）．12．已知是锐角，，则=°．13．在中，，，，则的值是．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，tan∠DCB＝，AC＝12，则BC=．15．如图，小红同学用仪器测量一棵大树的高度，在C处知，在E处测得，，仪器高度，这棵树的高度为．

16．如图，在中，，斜边的垂直平分线分别交于点D，E．若，，那么．

17．如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=6．折叠该菱形，使点A落在边BC上的点M处，折痕分别与边AB，AD交于点E，F．当点M与点B重合时，EF的长为；当点M的位置变化时，DF长的最大值为．18．如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，△BEC与△FEC关于直线EC对称，点B的对称点F在边AD上，G为CD中点，连接BG分别与CE，CF交于M，N两点．若BM＝BE，MG＝1，则BN的长为，sin∠AFE的值为．三、解答题19．计算：(1)(2)20．（1）在中，，求和的长；（2）在中，，解这个直角三角形．21．如图，在中，于D，，，，求的值．

22．在中，，，为锐角且．（1）求的度数；（2）求的正切值．23．在正方形网格中，仅用无刻度直尺按下列要求作图．(1)如图①中，在AB上找点C，使得AC：BC＝2：3；(2)在图②中作∠DAB，使得tan∠DAB＝．（保留作图痕迹）24．如图，在中，，是边上一点，，，设．

(1)求、、的值；(2)若，求的长．25．如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连接CM，CE．已知∠A=50°，∠ACE=30°．(1)求证：CE=CM．(2)若AB=4，求线段FC的长．26．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，连接AF交CG于点K，H是AF的中点，连接CH．(1)求tan∠GFK的值；(2)求CH的长．27．如图，在河流的右岸边有一高楼，左岸边有一坡度的山坡，点与点在同一水平面上，与在同一平面内．某数学兴趣小组为了测量楼的高度，在坡底处测得楼顶的仰角为，然后沿坡面上行了米（即米）到达点处，此时在处测得楼顶的仰角为．（参考数据：，，）（1）求点到点的水平距离的长；（2）求楼的高度．28．如图1，中，，D为上一点，．

(1)求证：；(2)如图2，过点A作于M，交于点E，若，求的值；(3)如图3，N为延长线上一点，连接、，若，，则的值为___________．29．如图1，已知线段，，线段绕点A在直线上方旋转，连接，以为边在上方作，且．

(1)若，以为边在上方作，且，，连接，用等式表示线段与的数量关系是；(2)如图2，在（1）的条件下，若，，，求的长；(3)如图3，若，，，当时，求此时的值．

第1章直角三角形的边角关系（单元重点综合测试）一、单选题1．在直角三角形中，各边的长度都扩大到原来的3倍，则锐角A的三角函数值（

）A．都扩大到原来的3倍 B．都缩小为原来的3倍C．都保持原来的数值不变 D．有的变大，有的缩小【答案】C【分析】理解锐角三角函数的概念：锐角三角函数值即为直角三角形中边的比值．【解析】解：根据锐角三角函数的概念，可知在直角三角形中，各边的长度都扩大3倍，锐角的三角函数值不变．故选：C．【点睛】本题考查了三角函数，要能理解锐角三角函数的概念，明白三角函数值与边的长度无关．2．在中，，，，那么下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根据勾股定理解出AB，再逐项根据三角函数的定义判断即可．【解析】根据勾股定理可得：，则；；；；故选：D．【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，熟悉基本定义是解题关键．3．下列三角函数的值是的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据特殊角的三角函数值解答．【解析】解：，，，，观察四个选项，选项A符合题意，故选：A．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，准确掌握常见的特殊角的三角函数值是解题的关键．4．如图，线段OA在第二象限，A点的坐标为（﹣4，4），OA与y轴的夹角为α，则cosα＝（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出线段OA的长，再利用直角三角形的边角间关系得结论．【解析】解：∵A点的坐标为（﹣4，4），∴OA＝＝4．∴cosα＝＝．故选：B．【点睛】本题考查了解直角三角形、坐标与图形和勾股定理，掌握勾股定理及直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．5．如图，在中，，，，则的长为（

）

A． B． C．4 D．5【答案】D【分析】作于，根据，，算出和，再根据，算出，最后根据计算即可．【解析】如下图，作于，

在中，，，，，在中，，，，，故选：D．【点睛】本题考查了用锐角三角函数解非直角三角形，作垂直构造直角三角形是解题的关键．6．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cos∠B的值为（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】作AD⊥BC，可得AD＝BD＝5，利用勾股定理求得AB，再由余弦函数的定义求解可得．【解析】解：如图，作AD⊥BC于点D，

则AD＝5，BD＝5，∴AB＝＝＝5，∴cos∠B＝＝＝，故选：B．【点睛】本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．7．在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是高，如果AB=m，∠A=，那么CD的长为（）A． B．C． D．【答案】B【分析】此题根据题意作图根据锐角三角函数表示出AC，再表示出CD即可求出结果．【解析】解：根据题意作图如下：由题意知：AB=m，∠A=，∴，∴，即，故选：B．【点睛】此题考查锐角三角函数的应用，主要涉及到正弦和余弦，找准对应边是解题关键．8．如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i＝1：，则大楼AB的高度为(

)（精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）A．30.4 B．36.4 C．39.4 D．45.4【答案】C【分析】延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G，则GH=DE=15米，EG=DH，设BH=x米，则CH=x米，在Rt△BCH中，BC=12米，由勾股定理得出方程，解方程求出BH=6米，CH=6米，得出BG、EG的长度，证明△AEG是等腰直角三角形，得出AG=EG=（6+20）（米），即可得出大楼AB的高度．【解析】解：如图，延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G，则GH＝DE＝15米，EG＝DH，∵梯坎坡度i＝1：，∴BH：CH＝1：，设BH＝x米，则CH＝x米，在Rt△BCH中，BC＝12米，由勾股定理得：x2+（x）2＝122，解得：x＝6，∴BH＝6米，CH＝6米，∴BG＝GH﹣BH＝15﹣6＝9（米），EG＝DH＝CH+CD＝（6+20）（米），∵∠α＝45°，∴∠EAG＝90°﹣45°＝45°，∴△AEG是等腰直角三角形，∴AG＝EG＝（6+20）（米），∴AB＝AG+BG＝6+20+9≈39.4（米）；故选：C．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-坡度、俯角问题；通过作辅助线运用勾股定理求出BH，得出EG是解决问题的关键．9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB上一点，过D作DF⊥AB交边BC于点E，交AC的延长线于点F，连接AE，如果tan∠EAC＝，S△CEF＝1，那么S△ABC的值是（）A．3 B．6 C．9 D．12【答案】C【分析】根据，可得，由∽，可得相似比为，从而得到面积比为，进而求出答案．【解析】∵∠ACB＝90°，∴∠BAC+∠B＝90°，又∵DF⊥AB，

∴∠ADF＝90°，∴∠BAC+∠F＝90°，∴∠B＝∠F，又∵∠ECF＝∠ACB＝90°，∴△ECF∽△ACB，∴＝tan∠EAC＝，∴，又∵S△ECF＝1，∴S△ABC＝9，故选：C．【点睛】本题考查了锐角三角函数的意义，相似三角形的性质和判断，掌握相似三角形的性质是解决问题的关键．10．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠B＝60°，AD⊥CD，AC平分∠DAB，E为AB边的中点，连接DE交AC于F．若CD＝1，则线段AF的长度为（）A． B． C．1 D．【答案】D【分析】延长AD、BC交于点G，将图形补充成等边三角形，利用△ACD和△ABC都是含30°角的直角三角形得出AC，AD，AB的长度，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出EC的长度，用等边三角形的性质推导ECAD，继而得出△EFC∽△DFA，，最后结合CF=AC-AF利用这个比例式得到关于AF的方程，解出即可．【解析】∵∠DAB＝∠B＝60°，AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB＝30°，∵AD⊥CD，CD＝1，∴AD＝，AC＝2，延长AD、BC交于点G，如图，∵∠DAB＝∠B＝60°，∴∠G＝60°，∴△ABG为等边三角形，∵AC平分∠DAB，∴C为GB的中点，且AC⊥GB，∴AB＝，连接EC，∵E为AB边的中点，AC⊥GB∴EC＝AB＝，∵C为GB的中点，∴ECAD，∴△EFC∽△DFA，∴，即∴∴AF＝．故选：D．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，利用判定△EFC∽△DFA并用其列出关于AF的方程是解题的关键．二、填空题11．（1）；（2）．【答案】1/【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．【解析】解：（1），（2），故答案为：1，．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．12．已知是锐角，，则=°．【答案】【分析】根据特殊角的三角函数值进行计算即可．【解析】解：，∴，∴，∴；故答案为：．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值．熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．13．在中，，，，则的值是．【答案】【分析】根据余弦的定义求解即可．【解析】解：在中，，，，．【点睛】本题主要考查了余弦的定义，明确：在直角三角形中，一锐角的余弦等于它的邻边与斜边的比值．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，tan∠DCB＝，AC＝12，则BC=．【答案】9【分析】根据直角三角形的性质、同角的余角相等得到∠BCD=∠A，根据正切的定义计算即可【解析】解：∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∵CD⊥AB，∴∠BCD+∠B=90°，∴∠BCD=∠A，在Rt△ACB中，∵tanA=tan∠BCD==，∴BC=AC=×12=9．故答案为：9．【点睛】本题考查了解直角三角形：掌握正切的定义是解题的关键．15．如图，小红同学用仪器测量一棵大树的高度，在C处知，在E处测得，，仪器高度，这棵树的高度为．

【答案】米【分析】根据直角三角形的边角间关系，可用含的代数式表示出、，由于，得到关于的方程，求解即可．【解析】解：由题意，四边形、四边形、四边形均为矩形，、均为直角三角形，所以米，米．在中，，即，在中，，即，又，，即，，（米），故答案为：米．

【点睛】本题考查了解直角三角形．掌握直角三角形的边角关系是解决本题的关键．16．如图，在中，，斜边的垂直平分线分别交于点D，E．若，，那么．

【答案】【分析】连接，设，然后通过勾股定理求解．【解析】解：连接，

设长为，是的垂直平分线，∴，，∵，∴，在中，由勾股定理得：，即，解得．故答案为：．【点睛】本题考查解直角三角形，解题关键是熟练掌握解直角三角形的方法，掌握垂直平分线的性质，通过添加辅助线求解．17．如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=6．折叠该菱形，使点A落在边BC上的点M处，折痕分别与边AB，AD交于点E，F．当点M与点B重合时，EF的长为；当点M的位置变化时，DF长的最大值为．【答案】【分析】当点M与点B重合时，EF垂直平分AB，利用三角函数即可求得EF的长；根据折叠的性质可知，AF=FM,若DF取最大值，则FM取最小值，即为边AD与BC的距离DG，即可求解.【解析】解：当点M与点B重合时，由折叠的性质知EF垂直平分AB，∴AE=EB=AB=3，在Rt△AEF中，∠A=60°，AE=3，tan60°=，∴EF=3；当AF长取得最小值时，DF长取得最大值，由折叠的性质知EF垂直平分AM，则AF=FM，∴FM⊥BC时，FM长取得最小值，此时DF长取得最大值，过点D作DG⊥BC于点C，则四边形DGMF为矩形，∴FM=DG，在Rt△DGC中，∠C=∠A=60°，DC=AB=6，∴DG=DCsin60°=3，∴DF长的最大值为AD-AF=AD-FM=AD-DG=6-3，故答案为：3；6-3．【点睛】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，解直角三角形，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．18．如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，△BEC与△FEC关于直线EC对称，点B的对称点F在边AD上，G为CD中点，连接BG分别与CE，CF交于M，N两点．若BM＝BE，MG＝1，则BN的长为，sin∠AFE的值为．【答案】2【分析】连接BF，FM，由翻折及BM＝ME可得四边形BEFM为菱形，再由菱形对角线的性质可得BN＝BA．先证明△AEF≌△NMF得AE＝NM，再证明△FMN∽△CGN可得，进而求解．【解析】解：∵BM＝BE，∴∠BEM＝∠BME，∵AB∥CD，∴∠BEM＝∠GCM，又∵∠BME＝∠GMC，∴∠GCM＝∠GMC，∴MG＝GC＝1，∵G为CD中点，∴CD＝AB＝2．连接BF，FM，由翻折可得∠FEM＝∠BEM，BE＝EF，∴BM＝EF，∵∠BEM＝∠BME，∴∠FEM＝∠BME，∴EF∥BM，∴四边形BEFM为平行四边形，∵BM＝BE，∴四边形BEFM为菱形，∵∠EBC＝∠EFC＝90°，EF∥BG，∴∠BNF＝90°，∵BF平分∠ABN，∴FA＝FN，∴Rt△ABF≌Rt△NBF（HL），∴BN＝AB＝2．∵FE＝FM，FA＝FN，∠A＝∠BNF＝90°，∴Rt△AEF≌Rt△NMF（HL），∴AE＝NM，设AE＝NM＝x，则BE＝FM＝2﹣x，NG＝MG﹣NM＝1﹣x，∵FM∥GC，∴△FMN∽△CGN，∴，即，解得x＝2+（舍）或x＝2﹣，∴EF＝BE＝2﹣x＝，∴sin∠AFE＝＝﹣1．故答案为：2；﹣1．【点睛】本题考查矩形的翻折问题，解题关键是连接辅助线通过全等三角形及相似三角形的判定及性质求解．三、解答题19．计算：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值代入，进而得出答案；（2）直接利用特殊角的三角函数值结合二次根式的性质化简，进而得出答案．【解析】（1）解：原式；（2）解：原式．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．20．（1）在中，，求和的长；（2）在中，，解这个直角三角形．【答案】（1），；（2），，．【分析】（1）利用及其正切值，即可求出和的的长；（2）利用勾股定理求出的长，再利用正弦函数的定义即可求出直角三角形的另外两个角的度数．【解析】（1）解：∵在中，，即，∴，∴，∴，；（2）解：在中，由勾股定理可知：，∵，∴，．【点睛】本题主要是考查了应用锐角三角函数值解直角三角形，熟练掌握三角函数对应的各边之比以及特殊角的三角形函数值，这是解决本题的关键．21．如图，在中，于D，，，，求的值．

【答案】【分析】先解求出，则由勾股定理可得，即可求出，则．【解析】解：∵，∴，在中，，，∴，∴，∵，∴，∴．【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，熟知正弦和正切的定义是解题的关键．22．在中，，，为锐角且．（1）求的度数；（2）求的正切值．【答案】（1）60°，（2）3【分析】（1）根据特殊角三角函数值直接求解即可；（2）作AD⊥BC于D，求出AD＝3，CD＝1，由三角函数定义即可得出答案．【解析】解：（1）∵∠B为锐角且，∴∠B＝60°；（2）作AD⊥BC于D，如图所示：∵，∴，∵，∴BD＝AB＝3，∴AD＝，∵BC＝4，BD＝3，∴CD＝BC﹣BD＝1，∴tanC＝＝＝3．【点睛】本题考查了解直角三角形、特殊锐角的三角函数值、三角函数定义等知识；熟练掌握直角三角形的性质和特殊锐角的三角函数值是解题的关键．23．在正方形网格中，仅用无刻度直尺按下列要求作图．(1)如图①中，在AB上找点C，使得AC：BC＝2：3；(2)在图②中作∠DAB，使得tan∠DAB＝．（保留作图痕迹）【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）取格点M，N，连接MN交AB于点C，点C即为所求作；（2）利用网格的特点，勾股定理构造直角三角形，根据正切的定义即可求解．【解析】（1）如图，点C即为所求作．理由，,，，，（2）如图，∠DAB即为所求作．理由，，，，,是直角三角形，且，∴．【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题，相似三角形与网格问题，正切的定义，掌握以上知识是解题的关键．24．如图，在中，，是边上一点，，，设．

(1)求、、的值；(2)若，求的长．【答案】(1)，，(2)【分析】（1）根据勾股定理求得，进而根据三角函数的定义，即可求解；（2）根据，求得,根据，即可求解．【解析】（1）解：在中，，，．，，；（2）在中，，即，，．【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．25．如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连接CM，CE．已知∠A=50°，∠ACE=30°．(1)求证：CE=CM．(2)若AB=4，求线段FC的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据直角三角形的性质可得MC=MA=MB，根据外角的性质可得∠MEC=∠A+∠ACE，∠EMC=∠B+∠MCB，根据等角对等边即可得证；（2）根据CE=CM先求出CE的长，再解直角三角形即可求出FC的长．【解析】（1）证明：∵∠ACB=90°，点M为边AB的中点，∴MC=MA=MB，∴∠MCA=∠A，∠MCB=∠B，∵∠A=50°，∴∠MCA=50°，∠MCB=∠B=40°，∴∠EMC=∠MCB+∠B=80°，∵∠ACE=30°，∴∠MEC=∠A+∠ACE=80°，∴∠MEC=∠EMC，∴CE=CM；（2）解：∵AB=4，∴CE=CM=AB=2，∵EF⊥AC，∠ACE=30°，∴FC=CE•cos30°=．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，涉及三角形外角的性质，解直角三角形等，熟练掌握并灵活运用直角三角形的性质是解题的关键．26．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，连接AF交CG于点K，H是AF的中点，连接CH．(1)求tan∠GFK的值；(2)求CH的长．【答案】(1)(2)【分析】（1）由正方形的性质得出AD=CD=BC=1，CG=FG=CE=3，，∠G=90°，证出，得出比例式求出，即可得出结果；（2）由正方形的性质求出AB=BC=1，CE=EF=3，∠E=90°，延长AD交EF于M，连接AC、CF，求出AM=4，FM=2，∠AMF=90°，根据正方形性质求出∠ACF=90°，根据直角三角形斜边上的中线性质求出，根据勾股定理求出AF，即可得出结果．【解析】（1）解：∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，∴AD=CD=BC=1，CG=FG=CE=3，，∠G=90°，∴DG=CG-CD=2，，∴，∴DK：GK=AD：GF=1：3，∴，∴；（2）解：∵正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，∴AB=BC=1，CE=EF=3，∠E=90°，延长AD交EF于M，连接AC、CF，如图所示：则AM=BC+CE=1+3=4，FM=EFAB=31=2，∠AMF=90°，∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形，∴∠ACD=∠GCF=45°，∴∠ACF=90°，∵H为AF的中点，∴，在Rt△AMF中，由勾股定理得：，∴．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理，正方形的性质，直角三角形斜边上的中线性质；本题有一定难度，特别是（2）中，需要通过作出辅助线运用直角三角形斜边上的中线性质才能得出结果．27．如图，在河流的右岸边有一高楼，左岸边有一坡度的山坡，点与点在同一水平面上，与在同一平面内．某数学兴趣小组为了测量楼的高度，在坡底处测得楼顶的仰角为，然后沿坡面上行了米（即米）到达点处，此时在处测得楼顶的仰角为．（参考数据：，，）（1）求点到点的水平距离的长；（2）求楼的高度．【答案】（1）米；（2）楼的高度为米．【分析】（1）由的坡度，可得设则由勾股定理可得再列方程解方程可得答案；（2）如图，过作于先证明四边形是矩形，可得设证明可得由建立方程，再解方程检验即可得到答案．【解析】解：（1）的坡度，设则（2）如图，过作于四边形是矩形，设由解得：经检验：符合题意，所以：建筑物的高为：米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用