河北省秦皇岛市青龙满族自治县部分学校2025届高三上学期11月期中考试数学试卷（含解析）

2024—2025学年第一学期青龙县部分学校期中联考高三数学试题注意事项:1.本试卷共4页，总分150分，考试时间150分钟.2.答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡相应位置上.3.答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，则A． B． C． D．2．已知向量，，且满足，则（

）A．13 B． C．26 D．3．函数的图象大致为（

）A． B．

C．

D．

4．给出四个等式：①；②；③；④，则不满足任一等式的函数是（

）．A． B． C． D．5．已知函数是定义在上周期为的奇函数，若，则()A． B． C． D．6．不等式成立的充要条件是（

）A． B． C． D．7．已知函数在上单调递减，且关于的方程恰好有两个不相等的实数解，则的取值范围是（

）A． B． C． D．8．若，则的大小关系是（

）A．＞＞ B．＞＞ C．＞＞ D．＞＞二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．已知，为复数，则下列说法正确的是（

）A．若，则 B．若，则与的虚部相等C．若，则或 D．若，则10．若的内角，，对边分别是，，，，且，则（

）A．外接圆的半径为 B．的周长的最小值为C．的面积的最大值为 D．边的中线的最小值为11．已知为常数，给出关于的不等式，则（

）A．当，时，不等式的解集为B．当时，不等式的解集为或的形式，其中C．当时，不等式的解集为或的形式，其中，D．当时，不等式的解集为的形式，其中第II卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．写出一个满足且不是常数函数的函数：．13．ΔABC中，若，，则．14．已知向量，若，则．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．设向量（I）若（II）设函数16．在中，内角所对的边分别为，且满足．(1)求的值；(2)已知的面积为，求a的值．17．将长为的铁丝截成段，搭成一个正四棱柱的模型，以此为骨架做成一个容积最大的容器，则铁丝应怎样截？18．已知函数．(1)求函数的图象在点处的切线方程；(2)求证：．19．已知函数．（1）若在定义域内恒成立，求的取值范围；（2）当取（1）中的最大值时，求函数的最小值；（3）证明不等式．

答案1．A解析：根据集合的交集的计算得到：,故选.2．B解析：解：由题意得，∵，∴，即，解得．∴，则，故选：B．3．C解析：由函数的定义域为，且，所以函数为偶函数，当时，，则，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.故选：C.4．D解析：项满足②；项满足④；项满足③；．故选.5．B解析：解：因为，所以，所以，又因为函数是定义在上的周期为的奇函数，所以，所以；故选：B.6．A解析：，故，即，故.故选：.7．C解析：解：由在上单调递减，得，又由且在上单调递减，得，解得，所以，作出函数且在上的大致图象，由图象可知，在上，有且仅有一个解，故在上，同样有且仅有一个解，当，即时，联立，即，则，解得：，当时，即，由图象可知，符合条件．综上：．故选：C．8．B解析：，故选：B．9．AC解析：对于A，若，则和互为共轭复数，所以，故A正确；对于B，若，则与的虚部互为相反数，故B错误；对于C，若，则，所以或，可得或，故C正确；对于D，取，，可得，故D错误.故选：10．ACD解析：对于A：，由正弦定理得，即，即，因为，所以，所以，，因为，则，令外接圆的半径为,根据正弦定理可得，即，故A正确；对于C：由余弦定理知，，因为，，所以，，当且仅当时等号成立，因为，所以的最大值为，故C正确；对于B：由C知，则，所以，当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故B错；对于D：因为为边上的中线，所以，，得，因为，所以的最小值为，故D正确；故选：ACD.11．ACD解析：当，时，，即，解得，A正确；设直线，联立，得，由得或，直线与抛物线有两个交点；由得或，直线与抛物线有一个交点；由得，直线与抛物线无交点.作出函数，，的图象，当时，如图一，由图可知，此时不等式解集为，B错误；

当时，如图二，由图可知，C正确；

当时，如图三，由图可知，D正确.故选：ACD

12．（答案不唯一）解析：解：若，则，故符合题意的函数可以为.故答案为：（答案不唯一，符合即可，其中且，其他满足条件的函数亦可）.13．解析：由得：.将与分别平方作和得：，又

或当时，，，，，不合题意，.故答案为：.14．解析：因为，所以，因为，所以，解得，故答案为：15．（I）（II）解析：(1)由＝(sinx)2＋(sinx)2＝4sin2x，＝(cosx)2＋(sinx)2＝1，及，得4sin2x＝1.又x∈，从而sinx＝，所以x＝.(2)sinx·cosx＋sin2x＝sin2x－cos2x＋＝sin＋，当x∈时，－≤2x－≤π，∴当2x－＝时，即x＝时，sin取最大值1.所以f(x)的最大值为.16．(1)2(2)1或解析：（1）由正弦定理得：

,，

,，因为A，C是三角形内角，，所以，而由正弦定理得，∴，即；（2）由第一问可知，b=2a，设AB边上的高为h，则三角形ABC的面积，作下图：

过点C作AB的垂线，垂足为D，则CD=h，设AD=x

，则由勾股定理得到下列方程组：，解得，由公式法得，，a=1；17．铁丝应截成段等长的铁丝，正四棱柱模型的容积最大.解析：解：设正四棱柱的底面边长为，则该正四棱柱的高为，由，可得，则该正四棱柱的体积为，其中，所以，，当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，故当时，函数取得最大值，且，故当铁丝应截成段等长的铁丝，正四棱柱模型的容积最大.18．(1)(2)证明见解析解析：（1）因为，所以，所以，又因为．所以函数的图象在点处的切线方程为，即．（2）证明：要证，即证，即证，即证．令，则．由，可得，（舍去）因为当时，，所以当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增．所以，所以，结论得证．另解：证明：因为，所以要证，即证，即证．设，则．令，则，而函数在上单调递减，又，，故存在唯一的，使得，即，即，等式两边同时取对数得，即．当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减．所以，即，所以在上单调递减．因为当时，