海南省海口观澜湖华侨学校2023-2024学年高一上学期11月期中考试数学试卷

数学试卷考试时间：120分钟满分：150分一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.有下列关系式：；；；；；其中不正确的是

(

)A.

B. C. D.

2.已知全集，集合，，则图中的阴影部分表示的集合为

(

)

A.或 B.或

C. D.3.已知，，，则的最小值是(

)A. B. C. D.4.下列各组函数表示同一函数的是(

)A.， B.，

C.， D.，5.已知函数，则(

)A. B. C. D.6.已知函数的定义域为，则函数的定义域是

(

)A. B.

C. D.7.已知函数是定义域为的奇函数，且当时，若函数在上的最小值为，则实数的值为(

)A. B. C. D.8.若函数在区间上的最大值为，则实数(

)A. B. C. D.或二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.已知，则下列不等式正确的是

(

)A. B. C. D.10.下列关于幂函数描述正确的有

(

)A.幂函数的图象必定过定点和；

B.幂函数的图象不可能过第四象限；

C.当幂指数时，幂函数是奇函数；

D.当幂指数时，幂函数是增函数；11.已知，则等于

(

)A. B. C. D.12.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数“为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，已知函数，，则关于函数和的叙述中正确的是

(

)A. B.

C.在为增函数 D.方程的解集为三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.“”是“”的

条件．填“充分不必要”或“必要不充分”或“充分必要”或“既不充分又不必要”14.已知幂函数是偶函数，则

．15.已知，，给出下列四个式子：其中没有意义的是____填序号16.某信息需加密传输，发送方由明文密文加密，接收方由密文明文解密，已知加密的方法是英文的，，，，的个字母不论大小写依次对应，，，，这个自然数通过变换公式：将明文转换成密文，如，即变换成，，即变换成按上述规定，若将明文译成的密文是，则原来的明文是

．四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.本小题分已知集合，集合．当时，求若

，求实数的取值范围．在“”是“”的必要不充分条件，这三个条件中任选一个，补充到本题第问的横线处，并解答．18.本小题分

计算下列各式的值：

；

．19.本小题分

如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求在上，在上，且对角线过点，已知米，米，设的长为米．

要使矩形的面积大于平方米，则的长应在什么范围内求当、的长度是多少时，矩形花坛的面积最小并求出最小面积．20.本小题分已知函数是定义在上的偶函数，且当时，．

现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示，请补出完整函数的图象，并由图象写出函数的增区间；

求函数的解析式和值域．21.本小题分经研究发现，学生的注意力与老师的授课时间有关，开始授课时，学生的注意力逐渐集中，到达理想的状态后保持一段时间，随后开始逐渐分散，用表示学生的注意力，表示授课时间单位：分，实验结果表明与有如下关系：开始授课后多少分钟，学生的注意力最集中能维持多长时间若讲解某一道数学题需要的注意力以及分钟的时间，老师能否及时在学生一直达到所需注意力的状态下讲完这道题本小题分

一次函数是上的增函数，，已知．

Ⅰ求；Ⅱ若在单调递增，求实数的取值范围；

Ⅲ当时，有最大值，求实数的值．数学参考答案一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.【答案】C

对：因为集合元素具有无序性，显然正确；

对：因为集合，故正确，即正确；

对：空集是一个集合，而集合是以空集为元素的一个集合，因此不正确；

对：是一个集合，仅有一个元素，但是空集不含任何元素，于是，故不正确；

对：由可知，非空，于是有，因此正确；

对：显然成立，因此正确．

综上，本题不正确的有，于是本题选项为．

故选C．2.【答案】A

解：

，

，

阴影部分表示的集合为

．

故选A．3.【答案】B

解：，，，

，

当且仅当，即，时取等号，

故选：．4.【答案】C

解：对于，，，定义域和对应法则不一样，故不为同一函数

对于，，，定义域不同，故不为同一函数

对于，，，定义域和对应法则均相同，故为同一函数

对于，，，，定义域不同，故不为同一函数．

故选C．5.【答案】B

解：因为所以．故选B．6.【答案】D

解：由题意得：，解得：，

由解得：，

故函数的定义域是

．

故选D．7.【答案】D

解：因为是定义域为的奇函数，且当时，．

当时，，

则，

所以，

因为函数在上的最小值为，

当时，在上单调递增，当时，函数取得最小值，

解得舍，

当时，根据对勾函数的性质可知，当时，函数取得最小值，解得，

综上，．

故选D．8.【答案】B

解：函数，

由复合函数的单调性知，

当时，在上单调递减，最大值为

当时，在上单调递增，最大值为，

即，显然不合题意，

故实数．

故选B．二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.【答案】BCD

解：中，因为，所以，故，即，故A错误；

中，因为，所以，则，所以，故B正确；

中，因为，所以，，故C正确；

中，因为，可得，又，所以，故D正确．

故选BCD．10.【答案】BD

解：幂函数

的图象都通过点，但时不经过点，故A错误；

因为所有的幂函数在区间上都有定义，且，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故B正确；

当幂指数时，幂函数是非奇非偶函数，故C错误；

当幂指数时，幂函数是增函数，故D正确．11.【答案】AB

解：，

，

．

故选AB．12.【答案】ABD

解：选项A，因为，故正确；

选项B，因为，故正确；

选项C，因为，所以在上不是增函数，所以错误；

选项D，因为，所以，故正确．

故选ABD．三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.【答案】必要不充分

解：由得得，

因为，

则“”是“”的必要不充分条件，

故答案为：必要不充分．14.【答案】

解：根据幂函数的定义可得，解得或．

当时，，不符合题意

当时，是偶函数，符合题意．

故答案为．15.【答案】

【解答】解：，有意义；

，有意义；

，因此没有意义；

有意义．

其中没有意义的是：．

故答案为：．16.【答案】

解：明文译成的密文是，设密文对应的明文为，则，若，则，不符合要求，若，则，即对应的明文为，同理可以确定出对应的明文为，对应的明文为，对应的明文为，密文明文原来的明文是．四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.【答案】解：当时，，，

若选择，，则，

，，又，

，解得：，实数的取值范围是．

若选择，“”是“”的必要不充分条件，则集合为集合的真子集，

，，又，

或，解得：或，

，实数的取值范围是．

若选择，，

，，又，

或，

解得：或，实数的取值范围是

18.【答案】解：原式

．

．

原式

．

19.【答案】解：设的长为米是矩形，，

，由，得

，，或长的取值范围是，令，令，则，当且仅当，即时取等号．此时，，最小面积为平方米．【答案】解：函数的图象补充完整后，图象如下图所示：

由图可得，

递增区间为，，

递减区间为；

当时，，

再根据时，，

可得，

再根据函数为偶函数，

可得，

函数的解析式为

结合函数的图象可得，

当，或时，函数取得最小值为，

函数没有最大值，

故函数的值域为．

21.【答案】由题意得，当时，，此时函数单调递增当时，函数取得最大值，此时当时，，此时函数单调递减所以开始授课后分钟，学生的注意力最集中，能维持分钟．当时，令

，即，解得，集中注意力时间共分钟当时，，集中注意力时间共分钟当时，令

，即，解得

，则集中注意力时间共分钟，因为，所以老师不能及时在学生一直达到所需注意力的状杰下讲完这道题．22.【答案】解：是上的增函数，

设

，解得或不合题意舍去