2024学年宿州市高二数学上学期期中质量检测试卷附答案解析

学年宿州市高二数学上学期期中质量检测试卷试卷满分150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷选择题（共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点坐标为（）A. B. C. D.2.直线的倾斜角（）A B. C. D.3.已知向量，且与互相垂直，则的值是（）A.1 B. C. D.4.圆与直线相交所得弦长为（）A.1 B. C. D.5.已知圆经过两点，且圆心在直线，则圆的标准方程是（）A. B.C. D.6.无论为何值，直线过定点（）A. B. C. D.7.已知是圆O：的直径，M，N是圆O上两点，且，则的最小值为（）A. B.-8 C. D.-48.如图，正四棱锥棱长均为2，分别为，的中点，则点到直线的距离为（）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列命题中，正确的是（）A.直线的方向向量为，直线的方向向量为，则B.直线的方向向量为，平面的法向量为，则C.平面的一个法向量为，点，在平面内，则点也在平面内D若直线经过第三象限，则，10.点P在圆上，点Q在圆上，则（）A.的最小值为0B.的最大值为7C.两个圆心所在直线斜率为D.两个圆的公共弦所在直线的方程为11.如图，边长为的正方形所在平面与正方形所在平面互相垂直，动点、分别在正方形对角线和上移动，且，则下列结论中正确的有（）A.，使B.线段存在最小值，最小值为C.直线与平面所成的角恒为D.，都存在过且与平面平行的平面第Ⅱ卷非选择题（共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.过点且与直线垂直的直线方程为____________．13.若圆上恰有3个点到直线的距离等于1，则实数____________．14.如图，某空间几何体由一个直三棱柱和一个长方体组成，若，，，，，分别是棱，，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是______．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图甲，在边长为4的等边中，是边上的高，，分别是和边的中点，现将沿翻折使得，如图乙.（1）求证：平面；（2）若为中点，求点到平面的距离.16.（1）若直线过，且在，轴上的截距相等，求直线的方程.（2）已知直线：，直线：，且，求与间的距离.17.已知的三个顶点分别为，，，直线经过点．（1）求外接圆的方程；（2）若直线与圆相交于两点，且，求直线的方程．18.如图，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是，，，为与的交点.设，，.（1）用表示；（2）求对角线的长；（3）求的值.19.如图，在四棱锥中，平面平面，．（1）求证：平面PAB；（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（3）在棱AP上是否存在点，使得平面MBC与平面PCD所成角余弦值为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．2024学年宿州市高二数学上学期期中质量检测试卷第Ⅰ卷选择题（共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点坐标为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】点关于平面的对称点的坐标横纵坐标不变，竖坐标变为相反数.【详解】点关于平面的对称点坐标为，故选:C.2.直线的倾斜角（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据倾斜角和斜率的关系即可求解.【详解】由题意可知直线的斜率为，故其倾斜角为.故选：D3.已知向量，且与互相垂直，则的值是（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用空间向量数量积的运算律及数量积的坐标表示，列式计算即得.【详解】向量，则，由与互相垂直，得，所以.故选：D4.圆与直线相交所得弦长为（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】代入弦长公式，即可求解.【详解】圆心到直线的距离，所以弦长.故选：C5.已知圆经过两点，且圆心在直线，则圆的标准方程是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先设圆心的坐标为，根据点在线上及两点间距离得出，再求出半径，得出圆的标准方程.【详解】设圆心的坐标为.因圆心在直线上，所以①，因为是圆上两点，所以，根据两点间距离公式，有，即②，由①②可得.所以圆心的坐标是），圆的半径.所以，所求圆的标准方程是.故选:C.6.无论为何值，直线过定点（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先化简直线分是否有两部分，再求交点得出定点.【详解】由得：，由得∴直线恒过定点.故选：A.7.已知是圆O：的直径，M，N是圆O上两点，且，则的最小值为（）A. B.-8 C. D.-4【答案】B【解析】【分析】取弦MN的中点C，结合垂径定理与数量积的运算表示出后，借助三角函数值域即可得解.【详解】设弦MN的中点为，由，得，因为为MN的中点，，设向量与的夹角为，，又，的最小值为，故选：B.8.如图，正四棱锥的棱长均为2，分别为，的中点，则点到直线的距离为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据点到直线的向量法，即可建立空间直角坐标系求解.【详解】取底面的中心为，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，，,则，所以，，故点到直线的距离为,故选：A二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列命题中，正确的是（）A.直线的方向向量为，直线的方向向量为，则B.直线的方向向量为，平面的法向量为，则C.平面的一个法向量为，点，在平面内，则点也在平面内D.若直线经过第三象限，则，【答案】AC【解析】【分析】利用空间向量的坐标运算可判定A、B、C，根据直线一般式方程及特征可判定D.【详解】对于，故A正确;对于B，，则或，故B错误；对于C，因为，为平面的法向量，易知，所以点在平面内，故C正确:对于D，当，时，直线经过第三象限，故D错误.故选：AC.10.点P在圆上，点Q在圆上，则（）A.的最小值为0B.的最大值为7C.两个圆心所在直线的斜率为D.两个圆的公共弦所在直线的方程为【答案】BC【解析】【分析】求两圆的圆心坐标和半径，结合圆心距求的最值判断AB选项；由斜率公式计算两个圆心所在直线的斜率，判断选项C；由两圆位置关系判断选项D.【详解】圆，圆心，半径.圆的一般方程化成标准方程，得，则圆心，半径，两圆圆心距，，，A选项错误，B选项正确.两个圆心所在直线的斜率，C选项正确.又，所以两圆外离，不相交，没有公共弦，D选项错误.故选：BC.11.如图，边长为的正方形所在平面与正方形所在平面互相垂直，动点、分别在正方形对角线和上移动，且，则下列结论中正确的有（）A.，使B.线段存在最小值，最小值为C.直线与平面所成的角恒为D.，都存在过且与平面平行的平面【答案】ABD【解析】【分析】设设，则，其中，利用空间向量的线性运算可得出，取，可判断A选项；利用空间向量数量积的运算性质可判断B选项；利用空间向量的夹角公式可判断C选项；利用共面向量可判断D选项.【详解】因为四边形为正方形，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以，平面，因为平面，所以，.设，则，其中，由题意得，.对于A，当时，即时，，故A正确；对于B，，故，当且仅当时，即时等号成立，故，故B正确；对于C，因为，平面的一个法向量为，所以，故，此值不是常数，所以直线与平面所成的角不恒为定值，故C错误；对于D，因为，所以，、、为共面向量，而平面，故平面，故D正确.故选：ABD.【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角；（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为.第Ⅱ卷非选择题（共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.过点且与直线垂直的直线方程为____________．【答案】【解析】【分析】首先得到直线的斜率，从而得到所求直线的斜率为，再由点斜式计算可得.【详解】直线的斜率为，所以与直线垂直的直线斜率为，故由点斜式可得，即.故答案为：13.若圆上恰有3个点到直线的距离等于1，则实数____________．【答案】或【解析】【分析】分析可知圆心到直线的距离等于，结合点到直线的距离公式运算求解.【详解】由题意得，圆心为，半径为2，若圆上恰有3个点到直线的距离等于1，则圆心到直线的距离等于，可得，解得.故答案为：或.14.如图，某空间几何体由一个直三棱柱和一个长方体组成，若，，，，，分别是棱，，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是______．【答案】【解析】【分析】以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求得异面直线夹角.【详解】如图，以为原点建立如图所示空间直角坐标系，由题可得，，，，，，，为等腰直角三角形，也为等腰直角三角形，又平面与平面均与轴垂直，所以，，又，，，分别是，，，的中点，则，，，，所以，，，所以直线与直线夹角余弦值为，故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图甲，在边长为4的等边中，是边上的高，，分别是和边的中点，现将沿翻折使得，如图乙.（1）求证：平面；（2）若为的中点，求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用中位线的性质及线面平行的判定证明即可；（2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算点面距离即可.【小问1详解】如图，在中，E，F分别是和边的中点，，平面平面平面DEF；【小问2详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则，.设平面DEF的法向量为，则，即，令，则.点到平面DEF的距离为.16.（1）若直线过，且在，轴上的截距相等，求直线的方程.（2）已知直线：，直线：，且，求与间的距离.【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】（1）需分直线过原点和不过原点两种情况，当直线过原点时设直线方程为，不过原点时设直线方程为，代入点，求解即可；（2）根据两直线平行可求出，再根据两平行线间的距离公式求解即可.【详解】（1）当直线在x，y轴上的截距均为0时，设直线的方程为，将代入，得，解得，所以，即，当直线在x，y轴上的截距不为0且相等时，设直线的方程为，将代入，得，解得，所以，即，综上，直线的方程为或；（2）因为，所以，解得，则直线的方程为，即，所以与之间的距离为.17.已知的三个顶点分别为，，，直线经过点．（1）求外接圆的方程；（2）若直线与圆相交于两点，且，求直线的方程．【答案】（1）（2）或．【解析】【分析】（1）先判断三角形形状为等腰直角三角形，则圆心为斜边的中点，半径为斜边的一半可以得到圆的方程；（2）先根据弦长求出弦心距，再考虑直线斜率是否存在，分别判断直线是否符合要求，最后得到两条直线方程.【小问1详解】因为，，，所以，，所以，所以，又因为，所以是等腰直角三角形，所以的圆心是的中点，即圆心，半径，所以的方程为；小问2详解】因为圆的半径为2，当直线截圆的弦长为时，圆心到直线的距离为，①当直线与轴垂直时，此时直线斜率不存在，直线为，与圆心的距离为1，满足条件；②当直线的斜率存在时，设，即，则圆心到直线的距离为，解得，此时直线的方程为，即，综上可知，直线的方程为或．18.如图，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是，，，为与的交点.设，，.（1）用表示；（2）求对角线的长；（3）求的值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据空间向量的线性运算直接求解即可；（2）利用基底表示出，结合向量数量积的运算可求得，由此可得结果；（3）利用基底法求解出，，根据向量夹角运算可求得结果.【小问1详解】连接，，，，，，为线段的中点，，.【小问2详解】以顶点为端点的三条棱长都是，，，，，，由（1）知：，，，，即对角线的长为.【小问3详解】由（1）（2）知：，，，，，19.如图，在四棱锥中，平面平面，．（1）求证：平面PAB；（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（3）在棱AP上是否存在点，使得平面MBC与平面PCD所成角余弦值为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）（3）存在，．【解析】【分析】（1）由面面垂直得到线面垂直，进而得到，结合得到线面垂直；（2）作出辅助线，得到垂直关系，再建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面PCD的法向量，利用线面角的夹角公式求出答案；（3）设，求出平面MBC的法向量，由（2）得平面PCD的一个法向量为，利用面面角的余弦值得到方程，求出，得到答案.【小问1详解】平面平面，且平