2024学年陇南市一中高三数学第一学期期中质量检测卷附答案解析

学年陇南市一中高三数学第一学期期中质量检测卷（本卷满分150分，考试时间120分钟）第I卷（选择题共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.直线恒过一定点，则此定点为（）A. B. C. D.2.已知为平面的一个法向量，为直线的一个方向向量，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.设是正三棱锥，是的重心，是上的一点，且，若，则（）．A. B. C. D.4.若不等式的解集为，那么不等式的解集为（）A. B.或C.或 D.5.已知，，若，则的最小值为（）A B. C. D.6.已知数列满足则（）A. B. C. D.7.已知函数，其导函数为，则的值为（）A.1 B.2 C.3 D.48.已知函数有两个零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.已知直线经过点，且被两条平行直线：和：截得的线段长为，则直线的方程为（）A.B.C. D.10.已知，和直线：，若在坐标平面内存在一点，使，且点到直线的距离为，则点坐标为（）A.B.C.D.11.下列函数中，满足对任意，当时，都有的是（）A. B. C. D.12.已知函数，若函数的值域为，则下列的值满足条件的是（）A B. C. D.第II卷（非选择题共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13已知集合，若，则__________．14.已知，，若是的必要条件，则范围是_______________________.15.已知空间任一点，四点满足任三点均不共线，但四点共面，且，则________.16.已知，对任意的都有，则的取值范围为_______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列各项均为正数，其前项和为，且满足.（1）求数列的通项公式.（2）设，求数列的前项和.18.已知二次函数，且满足.（1）求函数的解析式；（2）若函数的定义域为，求的值域.19.已知函数．（1）若，求不等式的解集；（2）若，且，求的最小值．20.（1）求与向量共线且满足方程向量的坐标；（2）已知，，，求点的坐标使得；（3）已知，，求：①；②与夹角的余弦值；③确定、的值使得与轴垂直，且.21.已知点P(＋1,2－)，点M(3,1），圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.（1）求过点P的圆C的切线方程；（2）求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长．22.如图所示，在多面体，四边形，均为正方形，为的中点，过的平面交于F.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求二面角余弦值.2024学年陇南市一中高三数学第一学期期中质量检测卷（本卷满分150分，考试时间120分钟）第I卷（选择题共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.直线恒过一定点，则此定点为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】法一：利用分离参数法；法二：令参数，得到一条直线，令，得到另一条直线，解出两条直线的交点，再代入原方程验证即可.【详解】解：法一：直线可变形为：，若该方程对任意都成立，则，即，直线恒过点，故选：D.法二：在方程中，令得：，即，令得：，将代入得，将代入，得恒成立，∴直线恒过点，故选：D.2.已知为平面的一个法向量，为直线的一个方向向量，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据线面平行的性质及其法向量和方向向量的关系判断即可.【详解】为平面一个法向量，为直线的一个方向向量，若，则或，充分性不成立，若，则，必要性成立，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：.3.设是正三棱锥，是的重心，是上的一点，且，若，则（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用空间向量的基本定理可计算得出，由已知条件可得出，进而可求得、、的值，由此可求得结果．【详解】如下图所示，连接并延长交于点，则点为的中点，为的重心，可得，而，，所以，，所以，，因此，．故选：C4.若不等式的解集为，那么不等式的解集为（）A. B.或C.或 D.【答案】D【解析】【分析】根据题意可得和2是方程的两个根，且，利用韦达定理可得，代入所求不等式化简即可求出.【详解】因为不等式的解集为，和2是方程的两个根，且，所以，可得，则不等式化为，由，则可整理得，解得，故不等式的解集为.故选：D.5.已知，，若，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用均值不等式即可求解.【详解】由，可得，所以，所以，当且仅当取等号，所以的最小值为.故选：A.6.已知数列满足则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据递推公式代入求值即可得到答案.【详解】因为，所以，所以.故选：D【点睛】考查数列递推公式的运用，属简单题.7.已知函数，其导函数为，则的值为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】求得可得的解析式，求出解析式，可得为偶函数，即可求出的值，再求，即可求得的值，即可求得答案.【详解】，，所以为偶函数，所以，因为，所以，所以．故选：C．8.已知函数有两个零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分离变量，利用导函数应用得到函数在无零点，则有两个零点，利用函数最值得到参数范围【详解】当时，，∴不是函数的零点.当时，由，得，设，，则在−∞,0上单调递减，且.所以时无零点当时，等价于，令，，得在上单调递减，在上单调递增，，.因为有2个零点，所以.故选：B.【点睛】分离变量法，利用导数求函数的单调性，极值是解题关键.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.已知直线经过点，且被两条平行直线：和：截得的线段长为，则直线的方程为（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】先分析当直线斜率不存在，则直线的方程为，符合题意；再分析直线的斜率存在时，先求出的坐标，解方程求出的值，综合即得解.【详解】若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时与、交点分别为，，截得的线段的长，符合题意，若直线的斜率存在，则设直线的方程为，解得，解得，由，得，解得，即所求的直线方程为，综上可知，所求直线的方程为或，故选：BC.10.已知，和直线：，若在坐标平面内存在一点，使，且点到直线的距离为，则点坐标为（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】设点的坐标为，点在线段的垂直平分线上，得出，再利用点到直线的距离公式可得，解方程组即可求解.【详解】设点的坐标为，线段的中点的坐标为，，∴的垂直平分线方程为，即，∵点在直线上，∴，又点到直线：的距离为，∴，即，联立可得、或、，∴所求点的坐标为或，故选：BD.11.下列函数中，满足对任意，当时，都有的是（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】先判断函数是增函数,然后由函数的解析式判断.【详解】因为对任意，当时，都有，所以函数增函数，因为，，在上是增函数，在上是减函数，故选：ACD12.已知函数，若函数的值域为，则下列的值满足条件的是（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】分和分别讨论和的值域，判断是否满足值域的并集为即可.【详解】若，当时，，，若函数的值域为，则时，的对称轴，此时在−∞,0单调递减，且，满足题意；所以选项ACD符合题意，若，当时，，当时，的对称轴，此时，不满足值域为，所以不符合题意；故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题的关键点是熟悉一次和二次函数的图象，讨论和时以及的单调性，且对于，当时，即可判断时，，可判断时不符合题意.第II卷（非选择题共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知集合，若，则__________．【答案】1【解析】【分析】分别代入集合中的元素，求出值，再结合集合中元素的互异性进行取舍可解.【详解】依题意，分别令，，，由集合的互异性，解得，则.故答案为：【点睛】本题考查集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．确定集合中元素，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．14.已知，，若是的必要条件，则范围是_______________________.【答案】【解析】【分析】先求得集合，把是的必要条件，转化为，结合集合的包含关系，即可求解.【详解】由题意，集合，，因为是的必要条件，即，可得，可得，所以实数范围是.故答案为：.15.已知是空间任一点，四点满足任三点均不共线，但四点共面，且，则________.【答案】-1【解析】【分析】利用空间向量基本定理，及向量共面条件，即可得到结论．【详解】∵2x•3y•4z•，∴2x•3y•4z•，∵O是空间任意一点，A、B、C、D四点满足任三点均不共线，但四点共面∴﹣2x﹣3y﹣4z＝1∴2x+3y+4z＝﹣1故答案为﹣1【点睛】本题考查空间向量基本定理，考查向量共面的条件，属于基础题．16.已知，对任意的都有，则的取值范围为_______.【答案】【解析】【分析】利用导数研究函数的单调性，进而求得在给定区间上的最大值，根据不等式恒成立的意义即得实数a的取值范围.【详解】由得或，在区间[-2,0)上,单调递增；在(0,2)内时单调递减.又，，，∴，又对于任意的x∈[-2,2]恒成立，∴，即a的取值范围是故答案为：.【点睛】本题考查利用导数研究函数的在闭区间上的最值进而求不等式恒成立中的参数范围，属基础题，关键在于利用导数研究函数的单调性，求得在给定区间上的最大值.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列各项均为正数，其前项和为，且满足.（1）求数列的通项公式.（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由可得，再由时，与条件作差可得，从而利用等差数列求通项公式即可；（2）由利用裂项相消求和即可.【详解】（1）∵，∴，解得，当时，由①可得，②，①－②：，∵，∴，∴，即∴，∴是以为首项，以为公差的等差数列，∴综上所述，结论是：.（2）由（1）可得∴，综上所述，.18.已知二次函数，且满足.（1）求函数的解析式；（2）若函数的定义域为，求的值域.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题可得对称轴，即可求出，得出解析式；（2）根据二次函数的性质求出最值即可得出.【详解】（1）由可得该二次函数的对称轴为，即从而得，所以该二次函数的解析式为.（2）由（1）可得，，所以在上的值域为.19.已知函数．（1）若，求不等式的解集；（2）若，且，求的最小值．【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）【解析】【分析】（1）由，对分类讨论，判断与的大小，确定不等式的解集.（2）利用把用表示,代入表示为的函数，利用基本不等式可求.【详解】解：（1）因为，所以，由，得，即，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；（2）因为，由已知，可得，∴，∵，∴，∴，当且仅当时取等号，所以的最小值为．【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，基本不等式的应用，考查分类讨论的思想，运算求解能力，属于中档题.20.（1）求与向量共线且满足方程的向量的坐标；（2）已知，，，求点的坐标使得；（3）已知，，求：①；②与夹角的余弦值；③确定、的值使得与轴垂直，且.【答案】（1）；（2）；（3）①21，②，③，【解析】【分析】（1）根据向量共线定理，建立等量关系，整理方程，可得答案；（2）设出未知点的坐标，利用向量的坐标运算，建立方程，可得答案；（3）根据向量数量积的坐标运算，结合夹角的计算公式，利用垂直向量的数量积，建立方程，可得答案.【详解】（1）∵与共线，故可设，由得：，故，∴；（2）设，则，，，∵，∴，∴点坐标为；（3）①，②∵，，设向量与的夹角为，∴，∴与夹角的余弦值为，③取轴上的单位向量，，依题意，即，故，解得，.21.已知点P(＋1,2－)，点M(3,1），圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.（1）求过点P的圆C的切线方程；（2）求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长．【答案】（1）x－y＋1－2＝0（2）过点M的圆C的切线方程为x－3＝0或3x－4y－5＝0，切线长为．【解析】【分析】（1）确定点P在圆上，P为切点，由切线与过切点的半径垂直求出切线斜率，得切线方程；（2）确定点M在圆外，先考虑斜率不存在的直线是切线，在斜率存在时，设斜率为k，写出切线方程，由圆心到切线距离等于半径求得k值，得切线方程．切线长用勾股定理求解．【详解】由题意得圆心C(1,2)，半径r＝2.（1）∵(＋1－1)2＋(2－－2)2＝4，∴点P在圆C上．又kPC＝＝－1，∴切线的斜率k＝－＝1.∴过点P的圆C的切线方程是y－(2－)＝x－(＋1)，即x－y＋1－2＝0.（2）∵(3－1)2＋(1－2)2＝54，∴点M在圆C外部．当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，即x－3＝0.又点C(1,2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，即此时满足题意，所以直线x＝3是圆的切线．当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0，则圆心C到切线的距离d＝＝r＝2，解得k＝.∴切线方程