【高考数学 题型方法解密】专题04 指对幂函数6类常考题型(原卷及答案)-高考数学常考点 重难点复习攻略（新高考专用）

专题04指对寨函数6类常考题型

目录

一常规题型方法...........................................................1

题型一指数、对数运算....................................................1

题型二指对幕函数的图像..................................................3

题型三指对鼎函数的定义域................................................5

题型四指对事函数的值域..................................................6

题型五指对辕函数的单调性................................................8

题型六反函数............................................................9

二针对性巩固练习........................................................10

练习一指数、对数运算...................................................10

练习二指对辕函数的图像.................................................11

练习三指对恭函数的定义域...............................................12

练习四指对累函数的值域.................................................12

练习五指对辕函数的单调性...............................................13

练习六反函数...........................................................13

常规题型方法

题型一指数、对数运算

【典例分析】

典例1-1.(2022.河南.新密市第二高级中学高一阶段练习)计算

⑴卜-+偌).+(-8户+8。2隈啦+J(4-2)'.

⑵9*2+等+lg51g2+(吆5匕

典例1-2.(2022・新疆・兵团二中高一期中)计算：

2

(1)(1X(j+X间6+2乂(也_1)°+[(_2)2'-0.125《；

⑵1g25-1g：+7(lg5)2-lg25+l-log,3xlog.8+7喃08').

典例［-3.(2021・江苏・仪征市第二中学高一期中)(1)已知%+/工3，求工+/的

值；

(2)求(2乎-(-9.6)。-(3》彳+(1⑴菖的值；

(3)求(lg5)2+]g2.怛50+2-叱5的值

【方法技巧总结】

1.公式：指数幕运算公式、对数基本公式、积商幕运算公式、换底公式等。

2.技巧：运算过程中尽量将指对的底数统一为相同且较小的质数；运算中尽量将小

数化为分数；要注意不同公式的适用环境。

【变式训练】

1.（2022・江苏・宿迁市第一高级中学高一期中）计算:

⑴一（30+0.25^X（呼尸；

Iogj5-1

⑵Ig25+lg4+log381og4厉-g

2.（2022・江苏宿迁・高一期中）计算:

⑴5―(2/+〃。+^17；

⑵22-1陶1+eln,84-(lg琢+怆2.怆5+怆5.

3.（2022•江苏・南京师大附中高一期中）化简求值1需要写出计算过程）

⑴若100“=4,10"=25,求勿+〃的值;

+eln2+log>/2-log32-log3•

⑵囿132

题型二指对塞函数的图像

【典例分析】

典例2-1.（2022•北京海浴高三期中）在同一个坐标系中，函数产唾〃与y="（"0

旦的图象可能是（）

典例2-2.（2022.陕西•西安中学高一期中）函数/（"=0-1的图象大致为（）

典例2.3.（2。22・山东师范大学附中高三阶段练习）函数〃幻=空詈的图像大致为

（）

典例2-4.（2022•吉林一中高二阶段练习）已知函数J+3（〃＞（）且。目）的

图像经过定点A,且点A在角夕的终边上，则cos［，+?）=（）

A.一匹B.迪C.0D.一述

101010

【方法技巧总结】

1.技巧：图像自变量或整个解析式取相反数，图像需进行左右或上下“翻转”：图像

自变量取绝对值，图像需进行“打印”，图像整个解析式取绝对值，图像需进行下

往上“翻折”；图像平移需遵循“左加右减，上加下减”；图像恒过定点问题，可以

结合基本初等函数图像和平移来求解。

2.注意：复杂函数的图像问题可用排除法，可根据奇偶性和带点排除来选出正确图

像。

【变式训练】

1.（2022・云南师大附中高一期中）在同一平面直角坐标系中，函数），=〃

y=log“（x+〃）（且awl）的图象可能是（）

2.（2022•山西•高二学业考试）函数y=|iga+M的图像是（）

3.（2022.江西赣州.高三期中（文））函数=的图象大致为（）

4.（2022•福建省永泰县第二中学高三阶段练习）已知直线2〃氏+〃>-4=0（〃00,〃>0）

14

过函数），=log.（x-1）+2（〃>0,且。=1）的定点7,则一+一的最小值为（）

mn

A.4B.6C.3+20D.3+2而

题型三指对塞函数的定义域

【典例分析】

典例3-1.（2017•山东潍坊•高三期中）函数）⑴=加（［2x）+的定义域为

A.[0，+8)B.(7,2]

D.io，2)

c.[o，2]

典例3-2.(浙江省浙南名校联盟2022-2023学年高一上学期期中联考数学试题)函

数f(x)=ln(-丁+5*-6)的定义域为()

A.(2,3)B.(f2)53,y0)

C.[2,3]D.(e,2]D[3,+co)

典例3-3.(2023・全国•高三专题练习)已知函数)，=/")的定义域为(04)，则函数

?(力=川2、川的定义域为()

A.(,/)B.(Y,0)D(°/)C.(0,+“)D.[0,1)

【方法技巧总结】

L分类：具体函数定义域、抽象函数定义域

2.技巧：具体函数定义域要熟练自变量有意义的环境，且各部分限制求出的自变量

范围需取交集；抽象函数定义域需注意前后所述定义域都是自变量x的范围，并非

括号里整体的范围，而括号里的整体称为“元”，前后两个“元”的范围永远是相

同的。

【变式训练】

1.(2020・宁夏•石嘴山市第三中学高一期中)函数+t的定义域为()

A.{x|0<x<l}B.{x|x<l}C.{x|0<x<l}D.{x|x>l}

2.(2021.仝国.高一课时练习)函数/(x)=(l-x产+(2x-1)°的定义域是()

3.（2022.全国•高三专题练习）函数/（2"）的定义域为[-1』],则y=的定义

域为（）

A.[-U1B.[72,4]C.!2D.|1,4]

题型四指对塞函数的值域

【典例分析】

典例4-1.（2019•江苏省新海高级中学高一期中）函数/（幻=岛（]6对的值域是（）

A.（-oo，l）B.

C.（0,1）D.（0,1]

典例4-2.（2022.广州四十七中）已知=+；a+W2g>o,"D.若“力

乙U，人/4

存在最小值，则实数。的取值范围为（）

A.（0』B.（0怖C.（0,；]j（l,2）D.（0,（51,2）

典例4-3.（2022・湖北・鄂州市鄂城区教学研究室高一期末）已知DX£（L2）,不等式

2"蚓2刊+2〃0o恒成立，则实数〃?的取值范围为（）

A.(一10收)B.[-10,+oc)C.(-3,-HO)D.[-3,e)

【方法技巧总结】

L技巧：一般的函数求值域可利用函数性质或图像来求解，复合函数需利用换元分

解为把内外函数来求解，且内函数的值域是外函数的定义域。

2.注意：函数值域也可用来反求参数范围，需注意数形结合；函数值域应用在恒成

立与能成立问题中时需注意最值是否可取对最后不等号的影响。

【变式训练】

1.（2021・江苏•高一专题练习）已知函数/（可=1。配+3.71,4],则函数

g（x）=/（x>[）（x）于的最小值为（）

A.—11B.-18C.-38D.—6

(\-2a)x+3a,x<\,.

2.（2022・湖北・枣阳一中高三阶段练习）已知/"）=的值Z1域n为心

那么。的取值范围是（）

A.(-co,-1]B.(-1,J)C.[-1,J)D.(0,1)

3.（2021•江苏•高一单元测试）若关于大的不等式-（1。82*『+。1。821-2《0在区间

上有解，则实数〃的取值范围为（）

A.，+ocIB.(-00,-3]C.[-2V5,+oo)D.(-oo,-2V2]

题型五指对幕函数的单调性

【典例分析】

[、/-2x

（的单调递减区间是1）

A.（-00,1]B.[0,2]c.D.,o]u[2,+力）

典例5-2.（2022•河南信阳•一模（理））已知函数/。）=k）go,5（f-奴+3〃）在（2,内）上

单调递减，则实数。的取值范围（）

A.（一应4]B.145+OO）C.[-4,4]D.（-4,4]

典例53（2022•广东♦深圳科学高中高一期中）设"089=0.8。8田=1.1。8,则处例

c的大小关系为（）

A.b<c<aB.a<c<bC.a<b<cD.b<a<c

【方法技巧总结】

1.技巧：单调性可以用在解不等式或比较大小以及求参数等题型上，要注意对于函

数图像的研究，复杂函数可分解为内外函数，也可以结合求导来处理。

2.注意：单调区间需注意定义域，复合函数单调性需满足“同增异减”。

【变式训练】

1.（2022・福建•宁德市民族中学高三期中）函数/（”=ln（V—2x-8）的单调递增区间

是（）

A.S，-2）B.（-oo,-l）C.（1*）D.（4,-Ko）

2.（2021•山东・青岛二中高一期中）已知小）二仁厂在[L3]上是减函数，则实数〃

取值范围()

A.(-00J]B.[1,2]C.[2,3]D.[3,+oo)

3.（2022•河南•模拟预测（理））已知。=1叫5,”号八次，则小b,c的大小

关系是（）.

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a

题型六反函数

【典例分析】

典例6-1.（2007.安徽•高考真题（文））函数>'=e『xeR）的反函数是（）

A.y=l+inx（x>0）B..V=1-Inx（x>0）

C.y=-l-lnx（x>0）D.>'=-1+Inx（x>0）

典例62.（2007,全国.高考真题（文））函数y=/（-v）与它的反函数y=/T（x）的图象

（）

A.关于y轴对称B.关于原点对称

C.关于直线x+y=。对称D.关于直线x-y=（）对称

典例6-3.（2022・全国・高三专题练习）若占满足2，=57,4满足“+1%户5,则“々

等于（）

A.2B.3C.4D.5

【方法技巧总结】

1.技巧：反函数只需将原函数自变量与因变量颠倒，然后整理即可；反函数的值域

与定义域也会与原来函数相反。

2•注意：原函数与反函数图像关于直线y=x对称。

【变式训练】

1.（2007•天津•高考真题（理））函数），=3小（-1<1<0）的反函数是（）

A.y=y)\+\o^xlx>-B.y=-7l+log3xfx>|

)，=Jl+log,x(-<x<l_、］吗

C.13D.y=l+1

2.（2007・上海•高考真题（文））若函数y=/。）的图象与函数），=lga+D的图象关于

直线工-产0对称，则/（幻=（）

A.101B.1-IOVC.l-10-vD.

3.（2022•河南•封丘一中高二期末（文））已知々是方程x3=4的根，/是方程

x・log/=4的根，则玉/=()

A.16B.8C.6D.4

针对性巩固练习

练习一指数、对数运算

1.（2022・江苏•连云港市海滨中学高三阶段练习）计算下列各式的值:

?/?7-

4

⑵log3号一+1g25-3log53+lg4

2.（2021•福建・石狮市第八中学高一期中）求下列各式的值:

⑴若）+，=石，求XT”的值.

2

3

(2)lg25+-lg8-log227xlog.2+2,°^；

97

3.（2022•河南南阳•高一期中）（I）己知必明怆力,试用小6表示3布:

(2)求值：(V5x^/2)°+llg||-llgV27+lgV75.

J4JJ

练习二指对塞函数的图像

4.（2022•浙江•绍兴市教育教学研究院高二期末）在同一直角坐标系中，函数

）,=「,）,=#〃＞（）,且。〃1）的图象可能是（）

y

5.（2022・全国•高三专题练习）如图所示，函数2|的图像是（）

6.（2022•宁夏•银川一中高三阶段练习（文））函数），=也.+b）的图像大致是（）

7.（2021•广东•东莞市石龙中学高一期中）已知函数/G）=，7+l（a＞（）H.^l）的

,I9

图象恒过定点A,若点A的坐标满足关于x，），的方程烟+〃），=4（〃?>0,〃>0）,则'+：

的最小值为（）

A.9B.24C.4D.6

练习三指对幕函数的定义域

8.（2007・湖南•高考真题（文））函数y=[g（l-J的定义域为（）

A.{.r|.r<0}B.{.v|.r>1}C.D.{小<0或工>1}

9.（2022・广东•高三学业考试）函数），=灯+log2（2-x）的定义域是（）

A.（-8,2）B.[1,2）C.[1,2]D.[1,+00）

10.（2022・河北・开滦第一中学高三阶段练习）己知函数/（x）的定义域为则

函数g"）=/（2x）+J2+1脸x的定义域为（）

A.[1,2]B.[1,4]C.D.；」

练习四指对幕函数的值域

11.（2022・全国•高三专题练习）函数〃x）=lg（4'-2川+11）的最小值是（）.

A.10B.1C.11D.IgH

(\-2a)x+3a,x<\

12.（2022•陕西省安康中学高一期末）已知函数/（"=«的值域为R，

lnx+l,x>1

则。的取值范围是（）

A.-00,一B.

2)

13.（2021・全国•高一专题练习）若对任意的工£13,-2],都有（2〃1）2”1恒成立,

则小的取值范围为（）

9

A.(f2]C.(-oc,4]D.TO,5

练习五指对幕函数的单调性

14.（2022•黑龙江・绥化市第二中学高三阶段练习）函数/（x）=lg（f-2x-3）的递增区

间为（）

A.（-oo,-l）B.（1,+oc）

C.（3收）D.（1,3）

15.（浙江省浙南名校联盟2022-2023学年高一上学期期中联考数学试题）已知幕函

数/Cr）=（〃2_2a-2）-在（0,+8）上单调递增，则实数〃的值为（）

A.-1B.3C.-1或3D.不存在

16.（2022•福建泉州•高一期中）下列比较大小正确的是（）

^>^>2^B.3-久日—>2号

242」4

C・37>2有>D・>3飞>6行

练习六反函数

T+1

17.（2007•江苏•高考真题）函数xe（l,+oc）的反函数为（）

x-1

1

Ae'—1小、e+1

A.v=----,xe（0,+co）Bn.y=----（0,+x）

-eA+1eA-l

e'—1eA+I

c.>>=—―-,X€（-X,O）D.y=——0）

e+1e-1

18.（2007•上海•高考真题）设。>0,。工1,函数尸1呜1反函数和y=bgj的反函数

X

的图象关于（）

A.x轴对称B.y轴对称C.旷=不对称D.原点对称

19.（2022・全国•高一单元测试）已知X1，々分别是方程+工一2=0,lnx+x-2=O根，

则玉+勺=（）

A.1B.2C.V2D.V2+1

专题04指对嘉函数6类常考题型

目录

一常规题型方法...........................................................1

题型一指数、对数运算....................................................1

题型二指对恭函数的图像..................................................5

题型三指对幕函数的定义域................................................9

题型四指对事函数的值域.................................................12

题型五指对基函数的单调性...............................................16

题型六反函数...........................................................19

二针对性巩固练习........................................................22

练习一指数、对数运算...................................................22

练习二指对辕函数的图像.................................................24

练习三指对事函数的定义域...............................................25

练习四指对幕函数的值域.................................................26

练习五指对寻函数的单调性...............................................28

常规题型方法

题型一指数、对数运算

【典例分析】

典例1-1.(2022・河南・新密市第二高级中学高一阶段练习)计算

⑴+(工)2+(-8户+8。"X啦+'(4-2)3.

⑵*2+警/+lg51g2+(1g5)2.

logsio

【答案】(1)9

(2)5

【分析】(1)根据指数幕的运算法则运算求解即可；

(2)根据对数运算法则运算求解即可.

0253

【详解】(1)JL-^J+fl1V+(-8)i+8-xV2+^(^-2)

13小222113

=7V-—+-+[(—2)31+03「X24+(万一2)3

4\7/

13，4丫,,--

=W一乃+|jJ+(-2)2+24X24+(^--2)

137-八

=—+-+4=9；

44

(2)9k¥"+^1^+馆51g2+(lg5)2

log510

=32l0es2+lg2+lg5(lg2+lg5)

=3k，to4+lg2+Ig5(lg2+lg5)

=4+lg2+lg5

=4+1

典例12（2022・新疆・兵团二中高一期中）计算:

+(V2x^)6+2x(72-1)0+[(-2)25—0.125(；

2

⑵lg25-lg-+7(lg5)-Ig25+I-log23xlog38+7略标)

【答案】(1)81;

(2)0.

【分析】（1）利用分数指数运算法则进行计算；

（2）利用对数运算法则进行计算.

【详解】（1）图\仔卜曲河+2乂除1）°+［（一2）［10.125T

=3）'（｛I'+（可网+2、1+［62）2卜3

49

=-x-+8x9+2xl+8-2=1+72+2-10=81；

94

(2)lg25-lgl+J(lg5)-g25+l-log23xlog38+7嗅川⑼

2

=Ig25+lg4+7(lg5)-21g5+l-31og23xlog32+lg5

=lgl00+l-lg5-3+lg5=2+l-3=0.

典例1-3.(2021・江苏・仪征市第二中学高一期中)(1)己知£+XT_3，求x+J的

值；

(2)求(2乎-(-9.6)°-(3手：+(IS)-的值；

(3)求3g5尸+1g2.1g50+的值.

【答案】⑴7；(2)，(3)11.

【分析】⑴由(％+N)2=32即可求解；

(2)根据指数衰运算即可求解；

(3)根据对数运算法则即可求解.

【详解】⑴解:(£+^)2=32，

化简得x+/=7；

⑵解：原式=(羊-1-华)-；+(尹=(|"—1-弓)3+(m-2

2222

(3)解：(lg5)2+1g2.Ig5()=(1g5)2+1g2.(1g5+1)

=(lg5)2+lg21g5+lg2=lg5(lg5+lg2)+lg2=lg5+lg2=l,

又2"%5=2x2㈤5=2x5=10,所以，原式二11.

【方法技巧总结】

1.公式：指数塞运算公式、对数基本公式、积商嘉运算公式、换底公式等

2.技巧：运算过程中尽量将指对的底数统一为相同且较小的质数；运算中尽量将小

数化为分数；要注意不同公式的适用环境。

【变式训练】

1.（2022.江苏.宿迁市第一高级中学高一•期中）计算:

4

(1)0.25：xTv

/1ylog25T

(2)1g25+lg4+log58-log4x/S-l-I

【答案】（1）-7；

【分析】（1）根据指数运算法则，直接求解即可;

（2）根据对数运算法则，直接求解即可.

【详解】（1）原式=-8-l+gx（—&）4=-7；

\log5-l

(2)原式=lg25+lg4+logj8.log46—11)2

Ig2[lg352

=lgl00+

lg3lg222峪$

2.（2022・江苏宿迁•高一期中）计算:

（1）肝一（2；尸+乃。+卜令2.

(2)2log62-log6(1g2『+1g2•1g5+1g5.

【答案】(1)5

(2)21

【分析】由涓="，"=时，log"-"log。：收N=N,

log”加+1呜N=log</（MN）等计算法则可得答案.

-1

【详解】（1）原式=标-2

333

(2)原式=log64+log6［：］+18+lg2(lg2+lg5)+lg5

=log64+log69+18+1g2+lg5=log636+18+1=21

3.(2022•江苏・南京师大附中高一期中)化简求值1需要写出计算过程)

(1)若100"=4,10:25,求2a+8的值；

ln2

⑵03+e+log,V2-log332.log,3•

【答案】⑴2

⑵T

【分析】（1）先取对数将。力表示出来，代入计算即可；（2）直接计算即可.

【详解】（1）1000=4=>dlgl00=lg4=>2a=lg4,1（/=25=〃=怆25,得

2«+Z?=Ig4+lg25=lgl00=2

⑵原式=图凡2+啕"3_陶25・厩23=图+2-；-5=：-?=-1

题型二指对孱函数的图像

【典例分析】

典例2-1.（2022・北京海淀福三期中）在同一个坐标系中，函数广1呜］与），="（"0

且。目）的图象可能是（）

【答案】A

【分析】根据同底的指数函数和对数函数图象关于）对称可确定结果.

【详解】由指数函数和对数函数性质可知：了二log/与y图象关于）对称，

由选项中图象对称关系可知A正确.

故选：A.

典例2-2.（2022•陕西•西安中学高一期中）函数〃”=：-1的图象大致为（）

yt

D.

【答案】C

【分析】根据函数解析式，分析函数在xNO时的单调性及值域即可得解.

【详解】由〃力=（；-1可知，当就0时，-1单调递减，且/（幻？/（0）0,

i2J

故选：C

典例23（2。22.山东师范大学附中高三阶段练习）函数/小券的图像大致为

()

【答案】C

,、（

【分析】判断出“X）是偶函数，结合/T＜。可选出答案.

XZ

【详解】由已知可得函数的定义域为何工工0},八-幻=乎?=等当=/（幻,

e+ee+e

所以f（X）是偶函数，函数图像关于）'轴对称，可排除A,B；

可排除D.

故选：C

典例24(2022•吉林一中高二阶段练习)已知函数/(幻=--6+3(〃>0且"1)的

图像经过定点A,且点A在角。的终边上，贝l」cos["+?)=()

A.*B.吟C.0

【答案】A

【分析】根据指数函数的性质求出点4利用三角函数的定义可得8s0=|,sin0=:

结合两角和的余弦公式计算即可.

【详解】令2工一6=0,解得x=3,

当x=3时，产〃。+3=4,所以43,4),

34

所以cos。=5-5-

则cos(^+—)=cos^cos——sin—sin0

444

3V245/2V2

—X---------X-----=-------・

525210

故选：A

【方法技巧总结】

1.技巧：图像自变量或整个解析式取相反数，图像需进行左右或上下“翻转”；图像

自变量取绝对值，图像需进行“打印”，图像整个解析式取绝对值，图像需进行下

往上“翻折图像平移需遵循“左加右减，上加下减”；图像恒过定点问题，可以

结合基本初等函数图像和平移来求解。

2.注意：复杂函数的图像问题可用排除法，可根据奇偶性和带点排除来选出正确图

像。

【变式训练】

I.（2022•云南师大附中高一期中）在同一平面直角坐标系中，函数

y=loN“（x+a）（a>0且"1）的图象可能是（）

【答案】A

【分析】结合两个函数过定点以及单调性相异判断即可.

【详解】函数y=与y=iogu（x+〃）的图象过定点（0」），

所以C,。错误；

又因为产尸=目与y=log.（x+o）单调性相异.

故选：A

2.（2022.山西•高二学业考试）函数y=|lg（»l）|的图像是（）

【答案】A

【分析】由函数丁=怆工的图象与x轴的交点是（i,o）结合函数的平移变换得函数

），=|联"1）1的图象与X轴的公共点是（0,0）,即可求解.

【详解】由于函数），=ig（x+D的图象可由函数y=ig牙的图象左移一个单位而得到，

函数y=igx的图象与x轴的交点是。,0）,

故函数y=ig*+D的图象与x轴的交点是（0,0）,即函数5=|电（x+i）|的图象与工轴的公

共点是（。，0）,显然四个选项只有A选项满足.

故选：A.

3.（2022•江西赣州•高三期中（文））函数〃*=上的图象大致为（）

2—4

【答案】D

【分析】首先求出函数的定义域，再判断函数的奇偶性，最后根据函数值的情况判

断即可.

【详解】解：因为函数/3=不匚的定义域为｛小*±2｝，

2—4

(Hx2

“一力=/(江

2T一42'--4

所以/(X)是偶函数，函数图象关于y轴对称，排除A,R：

当x«0,2)时1<2、<4,/(x)=-^—<0,当x«2,②)时,/(^)=-£->0,排除C.

2—42—4

故选：D.

4.(2022•福建省永泰县第二中学高三阶段练习)已知直线2〃u+〃y-4=0(〃>0,〃>0)

14

过函数.V=log“(x-1)+2(<7>0,且<7*1)的定点7,则I的最小值为()

mn

A.4B.6C.3+2&D.3+26

【答案】C

【分析】根据y=10g"(x-l)+2求出点T,再代入直线方程得到山+5=1,最后利用基

本不等式里'T'的妙用求最值.

【详解】函数)=1砥(1)+2过定点(2,2),所以北2,2),

将7(2,2)代入直线2/加+〃)，-4=0,得4〃?+2〃=4,即机+1=1,

因为〃z>0,/?>0,

所以_L+±=仕+力伉+4=1+处+。+222、但五+3=2夜+3,

m〃(机〃八2)n2m\n2m

当且仅当他=/，即〃?=血-1，〃=4-2夜时“=”成立.

n2m

故选：C.

题型三指对孱函数的定义域

【典例分析】

典例3-1.（2017•山东潍坊•高三期中）函数/（”二两%j+Ei的定义域为

A.[0,+oo）B.（,，2]

C.[0,2]D.[0‘2）

【答案】D

【详解】试题分析：因为/（"）=启仔-2.'："7二^由｛ln（5—2x）>0可得0«xv2,

所以函数的定义域为〔°，九故选口.

考点：1、函数的定义域：2、对数函数与指数函数的性质.

典例3-2.（浙江省浙南名校联盟2022-2023学年高一上学期期中联考数学试题）函

数/（0=3-/+51-6）的定义域为（）

A.（2,3）B.（F,2）0（3,4<0）

C.[2,3]D.（—,2]。[3,心）

【答案】A

【分析】对数型函数的定义域只需要真数大于0,解出即可

【详解】由-/+54-6>0,

即f-5x+6<0,

解得2Vx<3,

即函数的定义域为：xe（2,3）.

故选：A.

典例3-3.（2023.全国•高三专题练习）已知函数）="丫）的定义域为（0/），则函数

F(x)=/(|2*-l|)的定义域为()

A.(fl)B.(-oo,0)50,1)C.(0,+x)D.[0,1)

【答案】B

【分析】抽象函数的定义域求解，要注意两点，一是定义域是x的取值范围；二是

同对应法则下，取值范围致.

..f_i<?r-I<1

【详解】尸/("的定义域为(04)，•••0v|2TlVI,即2\1，

x<\

・'•"八，解得：x<l且"0,

.・・尸(力=3211|)的定义域为(―O)u(OJ).

故选：B.

【方法技巧总结】

1.分类：具体函数定义域、抽象函数定义域

2.技巧：具体函数定义域要熟练自变量有意义的环境，且各部分限制求出的自变量

范围需取交集；抽象函数定义域需注意前后所述定义域都是自变量x的范围，并非

括号里整体的范围，而括号里的整体称为“元”，前后两个“元”的范围永远是相

同的。

【变式训练】

1.(2020・宁夏・石嘴山市第三中学高一期中)函数/'⑶=口^占的定义域为()

A.{x|0<x<l}B.{x\x<\}C.{x|0<x<l}D.{x\x>\}

【答案】A

【分析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域.

x>0

【详解】要使函数有意义，则,

2-2x>0

解得OVxvl,

故选2A.

【点睛】本题主要考查函数的定义域的求解，要求热练掌握常见函数成立的条件.

2.（2021・全国•高一课时练习）函数”x）=（lr户+（2工-1）°的定义域是（）

A.（-ooJ]B.CS7）忤1）

【答案】B

【分析】根据函数解析式有意义可得出关于实数元的不等式组，由此可解得函数/（外

的定义域.

【详解】因为/（X）=（1T）T+（2X-1）°=卷+（21）°,

则有解得x<i且因此/（力的定义域是卜4卜惇）

故选：B.

3.（2022・全国•高三专题练习）函数/（2、）的定义域为[T1],则y=f（log2”的定义

域为（）

A.[-U]B.[五4]C.；,2D.[1,4]

【答案】B

【解析】由/（2、）的定义域求出了⑸的定义域，再根据/⑴的定义域求出y=/（iog2》）

的定义域即可得解.

【详解】因为函数/（2'）的定义域为［7』］,所以-14x5,

所以2-七2"2，B|j1<2A<2,

所以f（x）的定义域为g，2］.

由［Klog,x<2,得应4.r«4,

所以丁=/（1。821）的定义域为［应，4］.

故选：B.

【点睹】本题考查了复合函数定义域的求法，属于基础题.

题型四指对幕函数的值域

【典例分析】

典例4-1.（2019•江苏省新海高级中学高一期中）函数，（幻=岛（xeR）的值域是（）

A.（-oo，l）B.（-oo，l'

C.（0,1）D.（0,1］

【答案】C

【分析】对函数解析化笥后，根据指数函数的性质结合不等式的性质求解即可.

【详解】〃幻=工="）-1=1一-

ev+lev+leA+l

因为xeR,所以e*>0,

所以e*+1>1,

所以。<士<1，

e+1

所以-1<一-二<0,

e+1

所以0＜1-工＜1,即0＜/(幻＜1,

ex+l

所以〃x)的值域为(0,1),

故选：C

典例4-2.(2022•广东•广州四十七中高一期中)已知

/(力=[*[2"+；a+W2(a＞0“]).若小)存在最小值，则实数。的取值范围为

乙a,x＞，

()

C.|0.1J(I,2)D.(0,1=(1,2)

A.。,B.

【答案】A

【分析】通过对参数。分类讨论，研究/⑸在(-02]和(2,y)的单调性，再结合已知

条件，即可求解.

【详解】解：由题意，不妨令g(x)=(〃-2)x+4a+l,xs(^»,2]；h(x)=2ax~l,xs(2,+oo),

①当0＜a＜l时，g(x)=("2)x+4a+l在(YO,2]上单调递减，

〃(x)=2a'T在(2,内)上单调递减，易知Mx)=2“J在(2,田)上的值域为((),加)，

乂因为f(x)存在最小值，只需g(2)=(a-2)x2+4a+140,解得aW；,

又由0＜a＜l,从而0＜。弓；

②当1＜。＜2时，g(x)=m-2)x+4a+l在(―⑵上单调递减，〃。)=2〃1在(2,+00)上单

调递增，

又因为/“)存在最小值，故以2)4力(2),

3

即(a-2)x2+4〃+l4%，解得，这与1＜。＜2矛盾；

4

9x＜2

③当。=2时，f(x)=；易知八幻的值域为(4,+8),显然/⑴无最小值；

2•X＞，

④当。>2时，g*）=（〃-2）x+4a+1在（-8,2]上单调递增，h（x）=2al在（2,-KO）上单调

递增，从而/（©无最小值.

综上所述，实数。的取值范围为N，；.

故选：A.

典例4-3.（2022•湖北•鄂州市鄂城区教学研究室高一期末）已知Vx«l,2）,不等式

2川畛（2刊+2"00恒成立，则实数，〃的取值范围为（）

A.（-10收）B.[-10,-H^O）C.（-3,-HX））D.[-3,田）

【答案】D

【分析】分析可知（2,）。2\2心0对任意的人总1,2）恒成立，利用二次不等式的性

质可得出关于实数小的不等式，即可得解.

【详解】由已知可得2'（2'+1）+2〃?>。，则（2、）、+2，+2”>0时任意的人总1,2）恒成立,

因为2屋（2,4）,所以，22+2+2m>0,解得，心-3.

故选：D.

【方法技巧总结】

1.技巧：一般的函数求值域可利用性质或图像来求解，复合函数需利用换元分解为

把内外函数来求解，且内函数的值域是外函数的定义域。

2.注怠：函数值域也可用来反求参数范围，需注意数形结合；函数值域应用在恒成

立与能成立问题中时需注意最值是否可取对最后不等号的影响。

【变式训练】

1.（2021・江苏•高一专题练习）已知函数/（4=睡/+3.41,4],则函数

g(x)=/(d)-[〃力了的最小值为()

A.-11B.-18C.-38D.-6

【答案】A

【分析】先解g(“的定义域，然后利用换元法求所求函数的值域即可.

【详解】由/(x)=log2"l3,xe[l,4],

1<<4

则]二：4得I"。，所以g(x)的定义域为[1,2],

log2x=t,故

222

・'•g(X)=/卜2)二/(X)=log2^4-3-(log2x4-3)=-(log2x)-41og2x-6,

22

即y=-/-4/-6=-(/+2)-2,/e[O,l],

当/=1时，>的最小值为-11

二•函数g(x)=f(，)-[/(%)了的最小值为-11.

故选：A

2.(2022・湖北・枣阳一中高三阶段练习)已知艺+3a*<l的值域为用

lnx,x>1

那么。的取值范围是()

A.(-co,-1]B.(-1,1)C.[-1,j)D.(0,1)

【答案】C

【分析】先求出y=lnx,x21的值域，然后确定)，=(l-2a)x+3a,xvl的值域所包含的

集合，利用一次函数性质可得.

【详解】当应1时,於)=13其值域为[0,+oo)»

那么当K1时，/)=(1-2a)x+3a的值域包括(-oo,0),

.*.1-2aX)t且次1)=(1-2.)+3生0,

解得：«<-,且的-1.

故选：C.

3.(2021・江苏•高一单元测试)若关于x的不等式-(kgxf+alogzX-ZWO在区间

-I1-

-

---

-82上有解，则实数。的取值范围为()

一-

A.一方+8)B.C.l-2V2,+oo)D.(-co,-25/2J

【答案】A

【分析】利用换元法将不等式转化为屋，+士2在有解，构造新函数，然后利用

t

对号函数的单调性求解新函数的最小值并结合不等式有解的含义即可得出答案.

【详解】不妨设"log产，当时，^［-3,-lJ,

o2

故不等式一(log?-v)2+alog工一24()在区间上仃解等价于一」+々-2M0在

28,2

有解，

2

即心，+*在［-3,-1］有解,

t

2

不妨令fQ)=/+j，则只需4之7⑺min，

由对号函数的性质易知/⑺在［-3,-应)上单调递增，在［-上,7］上单调递减,

又因为/(-3)=-?，/(-D=-3,

所以/«)=，+：的最小值为-£,即aN-3•，

故实数〃的取值范围为-；，内.

故选：A.

题型五指对募函数的单调性

【典例分析】

典例5-1.(2022.广东.执信中学高一期中)函数的单调递减区间是•)

A.(—00,1]B.[0,2]C.[I,m)D.