【高考数学 特色题型汇编】第43讲 立体几何解答题-空间点、线段的存在性问题（原卷及答案）（新高考地区专用）高考数学复习

立体几何解答题—空间点、线段的存在性问题

1.如图，在三棱锥S-A8C中，SA=SB=SC,BC1AC.

(I)证明：平面MBJ■平面ABC；

(2)若3C=SC,SC1SA,试问在线段SC上是否存在点。，使直线8。与平面SAB所

成的角为60。，若存在，请求出。点的位置；若不存在，请说明理由.

2.如图，在三棱锥P-ABC中ACJ.8C,平面E4CL平面ABC,PA=PC=AC=2fBC=4,

E,尸分别是PC,依的中点，记平面AE尸与平面48c的交线为直线/.

(1)求证：直线/_L平面PAC；

⑵若直线,上存在一点。(与3都在AC的同侧)，且直线也与直线所所成的角为j

求平面P8Q与平面A即所成的镜二面角的余弦值.

3.如图，在四棱锥P—A8C。中，腐J_平面ABC。，AD//BC,ADLCD.且AO=C。,

BC=2CD,PA=y/2AD.

(1)证明：ABIPCi

(2)在线段PO上是否存在一点M,使得二面角M-AC-。的余弦值为遮，若存在，求

17

8M与PC所成角的余弦值；若不存在，请说明理由.

4.如图，正方形A8CQ所在的平面与菱形/W即所在的平面互相垂直，_AEF为等达三

角形.

(I)求证：AE1CF；

(2)FP=2FC(O<A<1),是否存在丸，使得平面PAE一平面OCM,若存在，求出4的

值，若不存在，请说明理由.

5.已知四棱锥尸—A8CD的底面为直角梯形，AB//DC.^DAB=90,PA±ABCD,

1P

PA=AD=DC=-AB=\.Z

(1)若点M是棱心上的动点请判断下列条件：①直线/'\

与平面A8c。所成角的正切值为，②缁=；中哪一个/\\

条件可以推断出产。〃平面ACW(无需说明理由)，并'\

用你的选择证明该结论；DL-------------c

⑵若点N为棱PC上的一点(不含端点)，试探究PC上是否存在一点N,使得平面ADN

PN

J.平面BDN?若存在，请求出"的值，若不存在，请说明理由.

6.如图，多面体A/2JC3E中，AB上平面BCE,AB〃CD〃EF,

BEtEC,AB=4,EF=2,EC=2BE=4.

⑴在线段BC上是否存在一点G,使得EG7^®AFC?如果存在，请指出G点位置并

证明；如果不存在，请说明理由；

(2)当三棱锥O-AFC的体积为8时，求平面AFD与与平面AFC夹角的余弦值.

7.如图，四棱锥P-ABCO中，底面A8CO为平行四边形，底面ABC。，M是棱P。

⑴求证：A8J_平面PAC：

⑵棱AB上是否存在一点M使得直线CN与平面M4/3所成角的余弦值为姮，若存在,

5

求A芸N的值：若不存在，说明理由.

AB

8.直三棱柱4BC-A/4/C/中，ABLAC,RAC=AB=AA/=2.

(1)求证

(2)M、N分别为棱CC/、BC的中点，点P在线段4/8/上，是否存在点P,使平面PMV

与平面A8C所成角的余弦值为上亘，若存在，试确定点尸的位置，若不存在，请说明

21

理由.

9.已知四棱锥P-ABCD中，底面48co是矩形，且A£>=2AB,△E4。是

正三角形，CZ)_L平面%。，E、F、G、。分别是PC、PD、BC、AD

的中点.

(1)求平面EPG与平面48CQ所成的锐二面角的大小；

⑵线段叫上是否存在点M,使得直线GM与平面EFG所成角的大小为3

O

PM

若存在，求出方的值；若不存在，说明理由.

10.《九章算术》是中国古代张苍，耿寿昌所撰写的一部数学专著，是《算经十书》中

最重要的一部，成于公元一世纪左右，是当时世界上最简练有效的应用数学专著，它的

出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.在《九章算术・商功》篇中提到“阳马”这一

几何体，是指底面为矩形，有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，现有“阳马”-ABCD,

底面为边长为2的正方形，侧棱24_1_面488,24=2,E、F为边,BC、CO上的点，

⑴若4=(，证明：面P8M_L面附”；

⑵是否存在实数义，使二面角人所一A的大小为45?如果不存在，请说明理由；如

果存在，求此时直线8M与面包厂所成角的正弦值.

11.如图，在五面体A8COE中，已知ACLBC,EO〃AC,且4C=8C=AE=2Er>=2,

⑴求证：平面3CD_L平面A8C；

⑵线段BC上是否存在点F,使得二面角8-AE-/的余弦值为若存在，求CF

3

的长度：若不存在，请说明理由.

12.如图，在四棱锥S-ABCZ）中，已知四边形A8CD为菱形，/皿＞=60°,一SAO为正

三角形，平面S4O_L平面A8CD.

（1）求二面角S-BC-A的大小；

⑵在线段SC（端点S,C除外）上是否存在一点M,使得A〃J_/3Q?若存在，指出点

历的位置；若不存在，请说明理血

13.如图，在四棱锥P—A8CD中，B4_L平面A8CQ,ADUBC,AD工CD,且人力二1,

(1)求证：AB1PC；

(2)在线段PO上是否存在一点M,使二面角M-AC-D的余弦值为逅？若存在，求三

6

棱锥M-ABC体积；若不存在，请说明理由.

14.图1是直角梯形ABC。，AB//CD,ND=90,AB=2,DC=3,AD=BCE=2ED，

以比;为折痕将一BCE折起，使点C到达G的位置，且AG="，如图2.

(1)求证：平面平面4BE。：

⑵在棱。G上是否存在点P,使得G到平面PBE的距啕为渔？若存在，求出二面角

P-8£-A的大小；若不存在，说明理由.

15.如图，在四棱锥P-A8CD中，PA1AD,AD=^BC=y/3,尸。=6，AD//BC,

AB=AC,NBA。=150，NPDA=3O".

(1)证明：平面P48_L平面A8C£)；

(2)在线段尸。上是否存在一点F,使直线CF与平面?8c所成角的正弦值等于Y?

4

16.如图，在直三棱柱ABC-ABG中，M,N分别是线段AB,4G的中点.

⑴求证：MNJLAA：

(2)在线段8G上是否存在一点p使得平面〃平面A8C,若存在，指出点尸的具体

位置；若不存在，请说明理由.

17.如图，在底面是菱形的四棱锥夕一ABC。中，NABC=60。,PA=AC=a,PB=PD

=O。，点、E在PD上,且PE=2ED.

(1)在棱PC上是否存在一点F,使8尸〃平面AEC?如存在，求方;的值；如不存在,

请说明理由：

(2)求CE与平面PAC所成角的正弦值.

18.如图，在四楂锥P-A8CD中，四边形A8C。为平行四边形，户在平面A8CD的投

影为边AD的中点O,乙44c=(,BC=4,AB=\,PO=3.

(1)求证：A3_L平面尸OC；

⑵在线段榜上，是否存在一点E,使得平面尸OC与平面EOC的夹角的余弦值为题,

10

若存在，指明点E的位置，若不存在，说明理由.

19.如图，在正四棱锥S-ABC。中，AC0BD=O,SA=&AB，尸在侧棱SO上，SDA.

平面PAC.

⑴求平面SA8与平面PAC所成的锐二面角的余弦值；

(2)侧棱SC上是否存在一点E,使得4口/平面PAC?若存在，求SE-.EC的值;若不存在,

请说明理由.

20.在三棱柱ABC-48/C/中，四边形A428由是菱形,ABJ_AC,平面A448_L平面A8C,

平面4小。与平面八小C的交线为/.

A

(1)证明：A33c；

⑵已知N/W8尸60。，AB=AC=2./上是否存在点P,使A/8与平面43P所成角为30。?若

存在，求8/P的长度；若不存在，说明理由.

21.如图，在多面体ABCDEF中,底面ABC。是平行四边形，点G在AC上且|AG|=2|GC|,

Af_L平面ABC。，且工厂〃CE,|4F|=2|CE).

(I)若〃为线段。E的中点，证明：C”〃平面产GO；

(2)若底面ABC。是正方形且|AC=|A可，线段石。上是否存在点儿使得直线。，与平

面ME所成角的正弦值为呼，若存在，求瑞的值，若不存在，请说明理由.

22.如图所示，在四棱锥尸-ABC。中，8C〃平面外Z),BC=^-AD,E'是尸。的中点.

⑴求证：CE//平面以8；

(2)若M是线段CE上一动点，则线段AD上是否存在点N,使MN//平面办B?说明理

由.

23.如图，一张边长为4的正方形纸片ABC。，E,尸分别是A。，BC的中点，将正方

形纸片沿七尸对折后竖立在水平的桌面上.

(1)求证：EF±AD；

(2)若二面角A-口-。的平面角为45。，K是线段。尸(含端点)上一点，问是否存在点

K,使得直线AK与平面CQ£”所成角的正切值为g?若存在，求出CK的长度；若不存

在，说明理由.

24.在四棱锥尸一A8CO中，底面A8CQ为直角梯形，AD//BC,44叱=90°,Q为4。

的中点，△小£)是边长为2的正三角形，BC=1,CD=6,PB=巫.

(1)求证：平面E4DJ•底面A8CO：

⑵棱PC上是否存在点使二面角用-8Q-C的大小为30?若存在，确定点M的

位置；若不存在，说明理由.

25.如图，在多面体ABCDMN中，四边形A8CO为直角梯形，ABC。，卜邳=2&,

BC±DC,\HC\=\DC\=\AM\=\DM\=42f四边形为矩形.

(1)求证：平面4)M_L平面A8c。；

(2)线段MN上是否存在点”，使得二面角〃一4)-加的余弦值为土叵？若不存在，请

说明理由.若存在，确定点〃的位置并加以证明.

26.如图，在四棱锥尸-A8CO中，24_1_面48。。，

AD工CD,AD//BC,PA=AD=CD=2,BC=3.E为PD的中点、，点、F在PC上,且二=L

PC3

⑴求证：COJ•面PAO；

(2)求二面角尸—AE—尸的正弦值；

⑶设点G在P8上，且黑=%.判断是否存在这样的尤，使得A,E,F,G四点共面,

若存在，求出义的值；若不存在，说明理由.

27.如图，在四棱锥尸-ABC。中，底面A8CO为矩形，必_1_平面4?。，|叫=|阴.

⑴若以A。为直径的圆与8C相切于E点，求正与平面A8C。所成角的正弦值；

(2)^\AB\=^\AD\,在线段8c上是否存在一点E,使得二面角A-H)-石的余弦值为

史,若存在，求二面角A-OE-P的正切值；若不存在，说明理由.

6

28.已知圆柱0Q的底面半径为1,高为乃，A8CD是圆柱的一个轴截面.一动点从点8

出发沿着圆柱的侧面到之点O,其距离最短时在侧面留下的曲线「如图所示.将轴截面

A8CD绕着轴()(\逆时针旋转6(0＜。＜乃)后，边叫G与曲线「相交于点尸.

(I)当夕=1时，证明：平面平面ABC。；

(2)是否存在。，使得二面角。―A/3—0的大小为JTT?若存在，求出线段3夕的长度；若

4

不存在，请说明理血

29.如图，在四棱锥尸-A8C。中，底面A8CO为直柏梯形，ADLCDtAD//BC,

BC=gAO=l且。。=3，E为AO的中点，尸是棱粗的中点，PA=2,0£_L底面

ABCD.

(1)证明：BF〃平面PCD；

⑵在线段PC(不含端点)上是否存在一点使得直线8M和平面8。厂所成角的正

弦值为包？若存在，求出此时尸M的长；若不存在，说明理由.

13

30.已知四边形43co为平行四边形，E为CO的中点，AB=4,二ADE为等边三角形,

将三角形4DE沿AE折起，使点。到达点尸的位置，且平面A尸E_L平面A4CE.

(1)求证：APIBE；

⑵试判断在线段P4上是否存在点F,使得平面AE尸与平面AEP的夹角为45。.若存在,

试确定点厂的位置；若不存在，请说明理由.

31.如图，在三棱柱—中，&A=qC,A4,=13,A8=8,8c=6,ABVBC,

。为AC中点，tanNBBQ=2.

⑵线段5G上是否存在一点E,使得4E与面BCCR的夹角的正弦值为吆色？若存在,

185

求出石点的位置；若不存在，请说明理由.

32.已知△A8C是边长为6的等边三角形，点M,N分别是边48,AC的三等分点，且

AM=；AB,CN=；CA,沿MN将△AMN折起到△/'MN的位置，使ZA'M8=90。.

⑴求证：AMJ_平面M8CN；

⑵在线段BC上是否存在点D,使平面4ND与平面WM8所成锐二面角的余弦值为叵?

13

若存在，设8。=23c(A>0),求2的值；若不存在，说明理由.

33.如图，四边形ABCD为梯形，AB//CD,ZC=60°,CD=2CB=448=4,点E在

线段CD上，旦BE_LCD.现将-ADE沿AE翻折到94£的位置，使得PC=丽.

(1)证明：AE1PB；

⑵点M是线段在:上的一点(不包含端点)，是否存在点“，使得二面角P-8C-M的

余弦值为如？若存在，则求出要；若不存在，请说明理由.

3PE

34.如图，在四棱锥尸-A8CO中，底面ABCO为直角梯形，其中A力〃AC,AD=3,

AB=BC=2,PAJ_平面ABC。，且PA=3,点M在棱PD上，点N为8c中点.

(1)证明：若DM=2MP,直线MN〃平面用仍；

(2)求二面角C-PZ)-N的正弦值：

⑶是否存在点使NM与平面PCO所成角的正弦值为理？若存在求出黑值：若

6PD

不存在，说明理由.

35.如图，在直三棱柱ABC-ABC中，平面ABCJ•侧面A84A，且AA=A8=2.

(1)求证：ABLBC,

(2)若直线AC与平面A8C所成的角为请问在线段A。上是否存在点E,使得二面

6

角A-8E-C的大小为斗，若存在请求出E的位置，不存在请说明理由.

参考答案:

1.(1)证明见解析

(2)不存在，理由见解析

【分析】(I)先证线面垂直，再证明面面垂直即可；

(2)先假设存在点。，使直线8。与平面”8所成的角为60。，然后建立空间直角坐标系,

求出相关向量，再用夹角公式计算即可求解.

(1)

法一

证明：取A8的中点£连接SECE,♦:SA=SB,：,SE1AB,

因为8CJL4C所以三角形ACB为直角三角形，所以BE=EC

乂BS=SC所以ASECg△SEA所以NSEB=ZSEC=90。所以跖_LEC

又SE_LA8,ABcCE=E,二.SE_L平面ABC.

又SEu平面SAB,，平面S48_L平面A8c

法二、作SE_L平面/WC,连£A,EC,EB,EA,EC,£4都在平面A4C内

所以SE_LE4,SELEC,SELEB

又SA=SB=SC所以EA=EC=EB

因为8C_LAC所以三角形ACB为直角三角形，所以E为4B的中点

则SEu平面S4凡・••平面SA8,平面4BC.

⑵

以E为坐标原点，平行AC的直线为x轴，平行8C的直线为y轴,

ES为z轴建立空间直角坐标系，如图，不妨设AS=S4=SC=2,

SC_LS4,则AC=2拉，BC=SC=2知EC=2也,SE=1

则4-应,1,0),网屈-1,0),C(V2,l,0),£(0,0,0),5(0,0,1),

・•・43=(2夜,一2,0),5A=(-V2J,-l),

设。(x,y,z),CD=ACS(0<Z^l),则1一血,/一1;)=4卜血,一11),

-041—4/1),BD=(-^2,2-2,/l).

设平面SAB的一个法向量为n=&,x,z,)

”•人8=2口-2y=0

取再=1,得、=(l,&,0),

nSA=-2忘%1+y-Z|=0

n-BD即-2何

sin60°=—r----~~Tf

n\\BD、国2万+(2一"+筋

得舒+72+1=0,又〈OWK,方程无解,

••・不存在点D,使直线BD与平面SAB所成的角为60°

2.(1)证明见解析

⑵竿

【分析】(1)先证明8C〃/,再证明8cL平面PAC,从而得到/I平面PAC；

(2)建立空间直角坐标系，然后再求出相关平面的法向量，最后用夹角公式计算即可.

(1)

证明：:石，/分别是/>6,PC的中点，・・・8C〃EE,

又£Fu平面EE4,8CU平面石勿，

〃平面石石4,又6Cu平面A6C,平面小4c平面A8C=/,/.BC//1,

又8CJLAC,平面尸AC1平面ABC=AC,平面尸AC_L平面ABC,

・・・8。1平面尸人。，则/3.平面产〃?.

⑵

以C为坐标原点，。为无轴正方向，C3为y轴正方向，过C垂直于平面A8C的宜线为z轴,

建立空间直角坐标系C-,

由题意得：^(2,0,0),凤0,4,0),P(l,O,>/3),E；,0,当

“=(0,2,0),设Q(2,y,0),则PQ=(1,)，,一百).

3=也

依题意可得:cos(PQ-EF)|=」空1—=,即：y=±2

4+y2

又。与8都在AC的同侧,所以》=2,即。与2,0)

于是：产°=(12-百)，BQ=(2,—2,0)

设平面PBQ的法向量为〃=(.%,%,z())

PQ〃=0

则忆猿尸，—=似⑹

BQn=0

再设平面AEF的法向量为〃z=(x,y,z)»

AEm=-—x+—z=0值rr九八Q

则J22，取z=Ji，得"i=(l,0"3)

EF-tn=2y=0

于是辰二|岩卜竽

所以平面P8。与平面AM所成的锐二面角的余弦值为孚.

3.(1)证明见解析

(2)存在，且与PC所成角的余弦值为叵

【分析】(1)连接AC,证明出A8L平面P4C,利用线面垂直的性质可证得结论成立；

(2)以点A为坐标原点，A3、AC、AP所在直线分别为x、)，、z轴建立空间直角坐标系，

设其中0W7W1,利用空间向审法可得出关于4的等式，求出入的值，可得出

BM的坐标，再利用空间向量法可求得与PC所成角的余弦值.

(1)

证明：连接AC，设AO=C/)=1,

因为八。_LC。，则==及，且AACO为等腰直角三角形，

因为八W/9C,贝|JN4C"_NC>W_45，

因为8c=28=2,由余弦定理可得A82=AC2+3C2_2AC8CCOS45=2,

所以，AC2+AB2=BC2»则A8_LAC,

•.•姑_L平面A8CD,AB\平面A8CD,:.AB±PA,

QPA\AC=At.♦.人〃_1平面以。，,・。。匚平面"。，「.43_1.尸。

（2）

解：因为。4_L平面A8cO,ABA.AC,

以点A为坐标原点，AB.AC、所在直线分别为x、丁、z轴建立如下图所示的空间直

角坐标系，

SAD=CD=1,则A（0,Q0）、5（瓶,0,0）、C（0,6。）、D-冬冬0、尸（0,0,&）,

\/

设PM=/IPQ=（-争，争,-&）,其中0W4W1,

则AA/=AP+PM=（-*/l,q%,a-VLi,AC=（0,72,0）,

设平面ACM的法向量为m=（x,y,z），

m-AC=\[ly=0

则，J?x/2it-i-\，取x=2-22,可得根=（2-2>1,0,丸），

m-AM=—^-/ix+-^-y+^V2-v22jz=0

易知平面AC3的一个法向量为〃=(0,0,1),

由题意可得卜os〈机，〃>卜A

m-n^4(l-2)2+2

止匕时，/1加=(—4，4，言

因为0W/IW1,解得2=5

6bd

花=(0,©/,

kBMPCIV33

匚u।、।cos<BDMW,PC>=---r-j-7=—7=—=-----

所以，|BM|-|PC|而X222,

3X

因此,在线段PD上是否存在一点M，使得二面角M-AC-。的余弦值为姮，且8M与PC

17

所成角的余弦值为恒.

22

4.(1)证明见解析

3

(2)存在，2=-

O

【分析】(1)要证明线线垂直，转化为证明线面垂直，证明平面

(2)以。为原点，建立空间直角坐标系，分别求平面小E和平面OCE/7的法向量，利用法

向量的数量积为0,即可求解.

(1)

连接班'交AE于。，因为四边形为菱形，所以AE_LB/，

又正方形A8CO所在的平面1平面且平面A8CZ)】平面A8E产=

因为ACLAft,所以AC1平面所以AC_LAE.

又BFr\BC=B,所以AE_L平面40,

因为bu平面3b,所以AE_LC/；

(2)

存在.以。为原点，OF，。£?的方向为x轴，)'轴,

过点0作菱形/W即所在的平面的垂线为Z轴,

建立如图所示的空间直角坐标系。-X*,

则A(0,—l,0),F(x/3,O,O),E(OJ,O),。(0,-1,2),

因为FP=4FC，设点

则-G,y,z)=A(-2V5,0,2),所以点尸(6-2VL1,(),22),

AP=(75-2V3A,1,2/1),AE=(0,2,0),设平面以E的法向量为〃2=(X,y,z),

in-AP=0221

则有可得in=/一

m-AE=02732->/32

DF=(V3,U-2),FE=(-X/3J,0),

设平面DCEF的法向量为〃=(x,y,z),

n-DF=0

则有可得〃=(g,3,3卜

n-FE=0

3

由〃z-/?=0可得4=7.

o

当％=g时，AP=(0,1,1),AE=(0,2,0),m=(x,y,z),

，［:0,令x=l,则法向量"7=(1,0.0),

则

y=U

此时/〃•〃w0,

综上可知：4=］成立.

8

5.（1）②，证明见解析

PN

（2）存在，—=1

【分析】（1）先连接AB、CD交于E,确定石是8。的几等分点，再确定“是阳的几等分

点.

（2）建立空间直角坐标系，平面垂直，对应法向量垂直，数量积为0,列出方程求解.

空=空="乂因为要=空=《，所以BME.、BPD,故EM//PD,乂PDQ平面ACM,

BEAri2MDDE2

PM1

£Mu平面ACM,所以P。//平面ACM.故当——=T寸，平面ACM.

MB2

（2）以A为原点，AD,AB,AP分别为x轴，），轴，z轴建立如图所示坐标系,

则40,0,0),0(1,0,0),P(0,0,

i),C(l,1,0),8(0,2,0),设PN=2PC(0</i<l),则k对于平面/ION,设其法

向量m=(x,y,z),满足〈墨"?，即"】「八八n,故取加=(。,与乙)对于平面

AN-n}=0[Ax+2y+(l-A)z=02

BD-H-y=0x—"2y=0

BDN，设其法向量〃2=("z),满足鼠10,即%—+(T)z="故取

小=(2J”)，若平面ADN_L平面8QN,则mIw即与+合=。，解得入二,此时

X—1AX—I2

N为PC的中点，今PN=1.

6.(1)存在，BC的中点G,证明见解析；

衅

【分析】(I)先找到G点位置，由面面平行证明线面平行；

(2)建立空间直角坐标系，由体枳求解边长，用空间向量求解二面角.

(1)

存在，点G为8C中点，理由如下：

取线段A8的中点“，连接E"、HG、EG.

D

,:AH〃EF、AH=EF=2,

・•・四边形尸是平行四边形，・•.”£〃A尸.

又•・•4户u平面ART,平面AFC,

:.”E〃平面AFC.

,:H、G分别为A5、BC的中点,

••.”G是,A8C的中位线，・・.”G〃AC.

•・・4Cu平面AbC,”G(z平面

・・.”G〃平面AFC.

.：HGcHE=H,HG、HEu平面EHG,

・••平面石"G〃平面AFC

,/EG「平面EHG,

:.EG〃平面ART.

(2)

=

由％-AFC=匕-Fa产^B-FCD~^B-ECD7'ECCD,BE-8,

可得8=6

以E为坐标原点，以EC、E8、E厂的正方向为x、)'、z轴的正方向，建立如图所示的空间直

角坐标系.

由题可知，40,2,4),广(0,0,2),C(4,0,0),。4,0,6),

设平面AFC的一个法向量为m=(x,,X,4)

E4=(0,2,2),FC=(4,0,-2)

2y\+2Z[=0

则可以取力=(1,一2⑵

4x)-2Z]=0

设平面AFD的一个法向量为〃=(彳2,%，z?)

曰=(0,2,2),尸0=(4,0,4)

2y2+2z2=0

则,可以取〃=(1』,-1)

4X2+4Z2=0

设平面ATO与平面AFC夹角为9.

则cos。=|COS(ZH,n)|=H_6,

l〃lH川3

・•・平面诋与平面AFC夹角的余弦值为由.

3

7.(1)证明见解析

AN_1

(2)存在,

~AB~2

【分析】(1)直接利用线面垂直的判定定理证明即可；(2)以人为原点，所在

直线分别为x，z轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和NC的坐标，由线面

角可得点N坐标，从而可得比值.

(I)

因为在A8C中，A8=AC=1,8C=&,所以4c?=AB?+AC?,

所以A8_LAC.又因为PA_L底面ABC。,ABu底面A8CZ),所以

因为ACO%=AAC,PAc平面PAC,所以AB_L平面PAC.

(2)

如图以A为原点，4氏AC,4P所在直线分别为-y,z轴建立空间直角坐标系，

则A(0,0,0),P(0,0,1),8(1,00),C(0,1,0),。(一1,1,0).

因为M是棱加的中点,所似M1另所以11l|,A«=(l,0,0).

222)

设〃=(x,)，,z)为平面M43的法向量,

11.I_

n-AM=0—x+v+—z=Un

所以，即22-2,所以平面M4B的法向量〃=(0」,T).

n-AB=0

x=0

因为N是棱A4上一点，所以设N(x,0,0),04x41,瓶=(-x,1,0).

设直线CN与平面M4A所成角为a,因为8$。=巫，所以sina=巫.

55

n-NC

因为平面刈48的法向量"=(。，1,-1)2而。=//^

\/2x\]x'+15

解得x=：,即4N=!，所以£=：.

22AB2

8.(1)证明见解析

(2)不存在；理由见解析

【分析】(1)建立如图所示的空间直角坐标系，写出点的坐标，求出向量入反5c的坐标,

由数量积为。证明直线垂直；

(2)假设存在，设=4=2(200)=(240,0),0W/IW1,求出两个平面法向量，由

法向量夹角得二面角，从而求解4,有解则存在，无解，则不存在.

(1)

如图，以AB,AC,AA/为x,)，，z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0),8(2,0,0),

A(0,0,2),B|(2,0,2),C(0.2,0),

A8=(2,0,-2)，4C=(-2,2,-2),

4a4。=-4+0+4=0,所以AA_L4C,即A8_L〃C，

(2)

假设存在点P满足题意,

设40二义4线=2(2,0,0)=(22,0.0),0W/IW1

・・・夕(2几，0,2),Ml，1，0)，”(0，2,I)

NP=(2/l-l,-l,2),MW=(-1,1,1)

设平面PMN的一个法向量为〃=(x,y,z),

N尸〃=0un|(2/l-l)x-y+2z=6

,即"八令x=3,得科二(3,24+1,2—22)

NM=0(-x+y+z=0

UU

乂平面46c的一个法向量为4二(0,0,I)

-1A2k_________|2_2川_________2-2-_4际

cos<n}J%>

匐同^9+(2A+l)2+(2-2A)2V/12-4X+1421

工11万+264+35=0,又/<0,故方程无根,

所以线段的上不存在点P，使平面PMN与平面的所成角的余弦值为蜉.

9.⑴日

PM3-V5

(2)存在,

~PA~4

【分析】(1)证明出QO_L平面A8CQ,OG1AD,设A8=2,以点。为坐标原点，。4、

0G、。户所在宜线分别为文、>\z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得结果；

IILIUUU

(2)设PM-4PA,其中OWiWl,利用空间向量法可得出关于；.的方程，结合可

求得2的值，即可得出结:仑.

(1)

解：因为△QAO是正三角形，。为4。的中点，所以，POA.AD,

因为CO_L平面E4。，POu平面PAD,/.POLCD,

QAD?CD力，..POJ.平面ABC。,

因为AD//BC且AO=3C,0、G分别为A。、BC的中点，所以，AO〃BG且4O=BG,

所以，四边形/WGO为平行四边形，所以，OG〃AB,〈AB1AD,则OGJ.AQ,

以点。为坐标原点，04、0G、。。所在直线分别为％、V、z釉建立如下图所示的空间直

角坐标系,

设A8=2,则AO=4,A（2,0,（））、G（0,2,0）、。（一2,0,0）、C（—2,2,0）、P（0,0,2x/3）.

4-1,1,9、川―1,0,百j,

£F=（0,-l,0）,EG=（l,l->/3）,

n-EF=-y=0

设平面KFG的法向量为4=(苍y,z),则

n-EG=x+y--0

取x=JL可得〃=(6,0,1),易知平面ABC£＞的一个法向量为m=(0,0,1),

mn_1

所以，cos<m,n>=

\m\]n\2'

因此，平面£"G与平面48co所成的锐二面角为

J

（2）

解：假设线段Q4上是否存在点M,使得直线GM与平面EFG所成角的大小为%

O

设PM=4PA=/l（2。-2@=（240,-2&）,其中0W2W1,

GM-GP+PM-（0,-2,26）+（22,0,—2恁）-（22,—2,2g-2&）,

由题意可得卜os<七GM>|=_________2y/3____」

仲皿2^4A2+4+12（l-2）25

整理可得4万一64+1=0,因为0W4W1,解得九二三更.

4

因此，在线段附上是否存在点使得直线GM与平面EFG所成角的大小为且

6

PM3-75

~PA~~4-,

10.(1)证明见解析;

(2)存在;1=2—夜：—.

【分析】(1)证明面面垂直即证3M，面24£线面垂直，证明线面垂直即证尸、

线线垂直；

(2)首先利用二面角人即一人的大小为45,求出C/、CE的长，然后建立空间直角坐标

系，求平面的法向量，然后再求其线面角.

(1)

4=:时，点E、/为BC及CO的中点.

连接"与8M交于点G,

在LABM和AZMF中，AB=AD,AM=DF,ZBAM=ZADF=90°

所以..ABMm.AA/，于是NABM=NE4T>.

而NE4O+N8A/=90。

所以ZA8W+ABAF=90°

故Z4G8=90。，即

又抬L面八BCO,BWu面ABCD,

所以.

因为3M_LP4,BMA.AF,R4u面RAF,A/u面24尸，PAr>AF=A

所以AW_L面24/.

又因为BWu面PHM,所以面28用_1_面~4尸.

(2)

连接AC,交EF于点、Q,连接PQ,记8。与AC交于点。，如图：

因为CE=2C8，CF=ACD,

所以EF//BD,

因为八C_L8O,

所以人CIEF从而PQtEF.

所以乙4。尸为二面角p-£厂一A的一个平面角.

由题意，4QP=45。，从而AQ=R4=2,

所以CQ=2虚-2

于是八笠二/=卒=2-技

CBCOV2

所以CF=CE=4-，BE=DF=2&-2.

如图，以A8方向为x轴，A。方向为y轴，AP方向为z轴建立空间直角坐标系，.

于是尸(0,0,2),£(2,272-2,0),尸(2点一2,2,0),8(200),M(0,1,0),

=(-2,1,0),PE=(C,2亚-2,-2),PF=(2>/2-2,2,-2),

设面PEF的一个法向量是〃=(x,y,z)

〃•PE=2x+(2&-2)y-2z=0x=y

由.=,，得：h

/?-PF=(2V2-2)x+2y-2z=0[z=sj2x

取4=1,则y=i,z=®,则〃=(1,1,应).

所以直线与面庄户所成角为仇则

sin0-cos(«,BA/)1=J：1--2+1_立

':刷叫V4xV5-io.

11.(1)证明见解析

⑵存在，CF=^

【分析】（1）证面面垂直，先证其中一个平面内的直线AC垂直另一个平面8CQ；

（2）由第•问结论，建立合适的坐标系，用空间向量求解即可.

（1）

取AC中点G,连接EG,因为ED〃4C,CG=[AC=EO,

所以EG”?。，所以四边形EOCG为平行四边形，所以EG=AC=

又因为AG=：AC=I,AE=2,所以472+反72=八炉，所以4G_LEG,

又因为CO〃EG,所以AC_LCO.

因为AC_L8C,BC,CO是平面4co内的两条相交直线.所以AC_L平面8cO,

因为ACu平面ABC,所以平面ABC_L平面BCD

(2)

解法一:

在平面BCD内过点C作BC的垂线/,因为AC_L平面BCD,

所以/、CA,CB两两相互垂直，故以C为坐标原点.

如图所示，建立空间直角坐标系,

则A（2,0,0）,8（020）,D（0,l,V2）,E（1,1,V2）,

设在线段4C上存在点F(DxO)(O</<2),使二面角3-A£—尸的余弦值为半，

则==(-2,2,0),AF=(-2,/.O)

设平面AEF的法向量4二(5,X,4).

则【第"7即卜"伍”不妨令y=2,则』=’，】&z,所以

1

[AF-ny=0-2百+第=02

「何”2)1

仆=1，2,--一.

设平面AA打的一个法向量为4=(.r,,>2»22),

则卜口〃2=+%+任2=°,即卜9+%+显2=。

AB•坦=一2占+2y2=0'-2X2+2y2=0

不妨令电=1，%印，Z2=°»所以%=(11,0)

"2|2五

（

所以I|cos'/w“7=1同J"；•同=

万12+22+任/

2

化简得：15产—68，+60=0,解得，=4或与（舍去），故尸（0，*。），所以C/

所以存在点F,当C尸=$时，二面角K-AE-尸的余弦值为这.

53

解法二:

取8CMB的中点0、〃，连接0D,0H,

因为O8=£>C,。是8。中点，所以DO_L8C,

又因为ZX）u平面8CZ）,平面ABC_L平面8C。且交于8C,所以DOJ■平面A8C,

因为“是中点，即O〃〃AC,所以O〃_L8C,

故。。，OH,8c两两互相垂直,

则以。为坐标原点，OH，（）B，0D'为x,y,z轴，如图建立空间直角坐标系，

则A（2,—l,0）,8（01,0）,D（0,0,V2）,£（1,0,弦）.

设在线段3c上存在点，'（0,£,0）（-1<^<1）,使二面用3—AE—尸的余弦值为半,

则AE=（-1,1,夜），/tB=（-2,2,0）,4F=（-2j+l,0）.

设平面AEF的一个法向量为〃1=（X,y,zj,

则A属Etl=30叫不妨令…则…「广中’所以

2

又因为EO〃，4C,OH//-AC,所以OH〃DE,所以四边形OE”O为平行四边形，

=2=2=

因为DO_L平面ABC,所以K”_L平面ABC,

因为C”u平面48C,所以EHLCH,又因为AC=B