《现代控制理论》第3版(刘豹-唐万生)课后习题答案

《现代控制理论》第3版（刘豹.唐万生）课后习题答案

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《现代控制理论参考答案》

第一章答案

1-1试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。

图1-27系统方块结构图

解•：系统的模拟结构图如下:

系统的状态方程如下:

■

-r5=■IXJ+K[X6

,K,K,

.「=----x,---------Xz+-L

K°K、6

pfKp

令6(s)=X则y=¥

所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为

rn010000

Kb0

・L00000

0

x2

Knj_K,0

00yV3

/二+

AJA0u

00I000

0

00~Ki00“

/Lh]K,

K1__£i_

00001

LJV6JL

1-2有电路如图1-28所示。以电压MO为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状

态变量的状态方程，和以电阻R？上的电压作为输出量的输出方程。

R2

图”28也路图

010000

%0_4仄0

+

1001七00

0-a5-a4-a3/4_0b、

y=Doi0]

1-5系统的动态特性由下列微分方程描述

列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。

解：令卡，三则有

y=[23i].“

相应的模拟结构图如下:

1

1项=

1-6(2)已知系统传递函数《ST06s，试求出系统的约旦标准型的实现，并画出相

应的模拟结构图

1O

三-^〜4-+0，--△-弓

解:

-31

x20-3

00

00

10

-43

T

1-7给定下列状态空间表达式

-3

y=[o01]々

(1)画出其模拟结构图

(2)求系统的传递函数

解：

—1O

SH-3O

—1

O

O

7o

O

O+^^36+D

-^-5.v—12

3今

G46-D

CS-F^4H^4H-I)

(2^+4)

1-8求下列矩阵的特征矢量

0

A=30

(3)-12

解：A的特征方程

解之得:

()()/?!小

3O2Pi\:一小

当4=—l时,小Bi

解得：Z3田产衣】令乃i=l得

（或令"I=T,得

O1O〃2召2

/**

302分2-----WI22

当4=9时,-12-7-6

Pl22

P?=P22=-4

解得彳."彳2

令。l2=2得_。321

P2

（或令“21,得

■O

3

当4=一3时,-12

解得：令Pi3=]

1-9将下列状态空间表达式化成约旦标准型

■^二T>L

l_T1

解：A的特征方程

^2=3^=1

41-2Pxx

/■

102Pl\------Pl\

当4=3时,1-13_n、._/%L

解之得月开？开？1令n1=1得

4

1O

当％=3时,1-1

解之得令P\2=得

~41-2P13-鬲

102P23—%

当4=1时，

JT3_/33_八3一

令〃=1

解之得33得

1102

7=102-2

101

1—10已知两系统的传递函数分别为W,(s)和W2(s)

叱($)=叱(s)=75+4

0

_s+1

试求两子系统串联联结和并联连接时，系统的传递函数阵,并讨论所得结果

解：(1)串联联结

W(s)=暝(s)叱(s)=s；3s+4s+1s+2

s+1

00

5+17+2

]52+5S+7

(5+1)(5+3)(5+2)(5+3)(5+4)

[1

($+1)2(s+l)(s+2)

（2）并联联结

1

SH4SH3

ON

1-11（第3版教材）己知如411—22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为

叱G)=10

W(s)=

201

求系统的闭环传递函数

解：

1

=s3-^44

oO

inriHa1-

口上?Jfo*

v-i2j[_

1J5H4

嘿喟s

4s

KV-0_

s+311

询=[/+叫（5）*『何）=碧7+27+1

s+21

0

s+L.s+2_

s+31s+1

s+1(s+2)6+D4s+3)

s+3o0

s+3

1—11（第2版教材）已知如期1—22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为

11

s+1s

W](s)=

2—!—叱⑸=

s+2

求系统的闭环传递函数

解：

11

"好A.v-f-l

2

2

S

4v+3

Sr-\-2,s

A-HL

5+3111

W(s)=[/十％G)%(s)『叱(5)=2"：Dc.9+2ss+2

s+5s+2s+2

-2

7+T

s+325+3

---r+---------------1--------------

S(S+1)(s+2)s(s+2)5(5+2)

s~+5s+222(s+2)21

-----4-——+----

5+25+1S54-1

(s+1)2(35+8)5+1

($+2)2(1+55+2)s~+5s+2

53+6.s2+6ss+2

(s+2)(s~+5s+2)s?+5s+2

1-12已知差分方程为

试将其用离散状态空间表达式表示,并使驱动函数u的系数b（即控制列阵）为

(1)u」

解法1：

ii

V<>£*>-==^---------------1-----

_^>=0g^>

解法2:

人（A+Df（©

X衣）=羽（©+2^a）

_XAH-D=

1-1

LB=

求T,使得LU得L°LI所以oi

o那IP】产一

所以，状态空间表达式为

"+D仁*j；

乂©干一眄

第二章习题答案

2-4用三种方法计算以下矩阵指数函数”’。

1')

(2)A二」U

解：第一种方法：令IM=°

/i—1—1

-4A-1即（2410

求解得到4=3,A=-l

[Pn

当4二3时，特征矢量"[Pn

由知=初，得_41LH

/Pi+Ai=3p11p[1

即14序+%=3%，可令，

当4=-[时，特征矢量P'IPJ

用十%=一〃2

即14/七十/々=一/々，可令

.?7

T=11

则12I?-?]

第二种方法，即拉氏反变换法:

T二］

第三种方法，即凯莱一哈密顿定理

由第一种方法可知4二3

2-5下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，如果满足，试求与之对应的A阵。

解：（3）因为,所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件

,所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件

2-6求下列状态空间表达式的解:

oinr（）

X=U

y=（Lg

x（0）=

初始状态w,输入M时单位阶跃函数。

-of

解：口。0

sI-A=

0s

J_/2

+2

-r2+/+l

2

ti\

2-9有系统如图2.2所示，试求离散化的状态空间表达式。设采样周期分别为T=0.1s和1s,

而"i和"：为分段常数。

U|---------------修@|/I/SX2

AK/（S+I）1

2

图2。2系统结构图

解：将此图化成模拟结构图

U2

U1XI

>Kw>Taf—F2一

+

2

列出状态方程

与NW

则离散时间状态空间表达式为

sL

独得:

第三章习题

3-1判断下列系统的状态能控性和能观测性.系统中a,b,c,d的取值对能控性和

能观性是否有关，若有关，其取值条件如何？

（1）系统如图3.16所示：

IH3.16系统模拟”，构图

解：由图可得:

x1=-axy+ii

x2=-bx2

xy=-cx3+x2+&=+x2-cr3

x4=x3-dxA

y=心

状态空间表达式为:

—a000x\1

■

X0—b00修0

■2+

11—(0当0

X3.

001-d匕0

?4_

产0010卜

由于I?、一、I，与〃无关，因而状态不能完全能控,为不能控系统.由于y只与工3有

关，因而系统为不完全能观的，为不能观系统。

(3)系统如下式：

£--1121

■

X—0-1+a0u

•2

一00b0

--

C0d

y=X

_000_

解：如状态方程与输出方程所示，A为约旦标准形.要使系统能控，控制矩阵b中相

对于约旦块的最后一行元素不能为0,故有。WR。

要使系统能观，则C中对应于约旦块的第一列元素不全为0,故有。心毋＞。

3-2时不变系统

试用两种方法判别其能控性和能观性。

解:方法一：

f11

1c=

1-1

M=[B;-2-2

-2-2

铳不能控。

11

C1-1

N=

CA-2-2

-44

"丽铳能观。

方法二：将系统化为约旦标准形.

A+3T

|a=O^T=O

—1A+3

>^=-2

则状态矢物=4耳f[J

AB=42=^2=^_J

11T'1=}2

T=£

1-J.L42-2

TAU22心一山田身

LzN

Hi11

()()

T“B中有全为零的行，系统不可控。CT中没有全为0的列，系统可观。

3-3确定使下列系统为状态完全能控和状态完全能观的待定常数弓和笈

6tEH—

解：构造能控阵：

…“乳；T

要使系统完全能控，则。+<Ky,即*

构造能观阵:

要使系统完全能观，则1WF，即

3—4设系统的传递函数是

3C0_AMtSZ

(1)当a取何值时，系统将是不完全能控或不完全能观的？

(2)当a取上述值时，求使系统的完全能控的状态空间表达式。

(3)当a取上述值时,求使系统的完全能观的状态空间表达式。

-----—

解：(1)方法］：3

系统能控且能观的条件为训(S)没有零极点对消。因此当a=1,或a=3或a=6时,

系统为不能控或不能观.

方法2：

*1口＜5

g=1()6S尸5

S-F4

a-1a-3a-6

V=----------------------------

10615

系统能控且能观的条件为矩阵C不存在全为0的列。因此当a=1，或a=3或a=6时,

系统为不能控或不能观。

(2)当"1,a=3或"6时，系统可化为能控标准I型

0101「01

x=001x+0u

-18-27-iq]L1

y=[a1O]x

(3)根据对偶原理，当"1,a=2或a=4时、系统的能观标准II型为

3—6已知系统的微分方程为：.竟备口.询令

试写出其对偶系统的状态空间表达式及其传递函数。

解:

系统的状态空间表达式为

0

x=0

y=[6

传递函数为

其对偶系统的状态空间表达式为:

00

x=0

01

y=[o0

传递函数为V1s

3-9已知系统的传递函数为

VVv;

W-b4y+3

试求其能控标准型和能观标准型。

---------------------------------------

解:

系统的能控标准I型为

010

x=X+LI

-3-41

y=[52]x+u

能观标准II型为

0-3

x=x+同u

1-4

y=[o1}X4-U

370给定下列状态空间方程,试判别其是否变换为能控和能观标准型0

0100

x=-2-30X+1U

-11-32

y=[00l]x

O1-a

AZ?阉1=1q7

2-^511

fzz奉m&gQ用忑诩云自偿伤书上隹卷幺

3-11试将下列系统按能控性进行分解

Fb—1-4

7k。Ah阕=OOO

-13°」rankM=2<3,系统不是完全能控的.

O—L

毕不O娱:45O£=1

构造奇异变换阵R，：3E”,其中R3是任意的，只要满

足R，满秩。

0-10301

1

Re=001R-=100

即［13()

得-01°-

O-32一

A=^A^=14-2

OO1

3-12试将下列系统按能观性进行结构分解

1

(1)

0TU

解：由已知得

C1-11

N=CA2-32

则有CA4-74

rankN=2<3,该系统不能观

1-11

R：=2-32

构造非奇异变换矩阵片，有001

3-1-1

风=2-10

则001

oio|rr

3Q&-2x

T321

3—13试将下列系统按能控性和能观性进行结构分解

1oc5irr

G223b=2H14

(1)O12

111

/e\A21225

解：由已知得2O4

rankM=3,则系统能控

c112

N=(A-125

M2-7411

rankN=3,则系统能观

所以此系统为能控并且能观系统

111

T.=21226

取2」20一2-311

，则44J

-fl02'T

彳二10-58二C»0

则I。14.0）,

3-14求下列传递函数阵的最小实现。

（1）m

B=MA尸0

解：。0=1,"h"，’[o-1

Flolfli]foo'

B=C=D=

c[o1J,[1,[oo

系统能控不能观

fl11fl-f

取L°Il，则L°I」

所以X跳卷口产抵外;]

(M、ro»■

所以最小实现为儿T,良邛I,‘1

验证：语》令乱收

3—15设%和'是两个能控且能观的系统

有§=3幺=4,G=L

（1）试分析由'和'所组成的串联系统的能控性和能观性，并写出其传递函数;

（2）试分析由'和"所组成的并联系统的能控性和能观性,并写出其芍递函数。

解:

（1）L和I串联

r

当一的输出九是％

x=

则rankM=2<3,所以系统不完全能控。

0g生

当得输出L是1的输入"时

00

x=-3-4x+0u

001y=[21

rankN=2<3则系统不能观

(2)-i和、并联

0

x=-3

0

因为rankM=3,所以系统完全能控

1

-2

4

因为rankN=3,所以系统完全能观

现代控制理论第四章习题答案

4—1判断下列二次型函数的符号性质:

=EW七］1-3--%,

1k

—1——11

L2」

-11-1

—1

A=-i<o,竿1=2>0-1---11

2

因此他是负定的

(2)由已知得

&)=［不一天一下一加

1-1-1

1T-14一=-16<0

ZA\=l1>八0J4=T4=3>O

»-1-31

因此他不是正定的

4-2已知二阶系统的状态方程:

试确定系统在平衡状态处大范围渐进稳定的条件.

解：方法(1)：要使系统在平衡状态处大范围渐进稳定，则要求满足A的特征值

均具有负实部.

即:

=无-<4刍

=O

有解，且解具有负实部。

方法(2)：系统的原点平衡状态'「°为大范围渐近稳定，等价于曲乐

P=

取。，令L,则带入曲处9,得到

■>.羽O丁耳】f

%41F%2=O

。不与g-;----1|—T-1

4七

若o4,则此方程组有唯一解。即

壬1争度

其中3

要求p正定，则要求

因此4也<0,且血4>。

4-3试用lyapunov第二法确定下列系统原点的稳定性。

-ii

x=X

(1)L2-3」

-ir

X=X

(2)-IT

解：(1)系统唯一的平衡状态是七二°o选取Lyapunov函数为,

则

V(x)=2%*+2q.q

=2X](-%]+2苍)+2々(4-3与)

=-2r；+6xrq-6工；

=-2(A,-1^)2-1A^<0

I

州是负定的。抑-8,有外一8o即系统在原点处大范围渐近稳定。

(2)系统唯一的平衡状态是七二°o选取Lyapunov函数为#哙°,则

\<用=2^\+2^

+石)+2^(—v;f)

=^<-2^<O

则是负定的。W-S，有外一Wo即系统在原点处大范围渐近稳定.

4-6设非线性系统状态方程为:

试确定平衡状态的稳定性.

解:若采用克拉索夫斯基法，则依题意有:

J°T『11

_oo1

O-2h—

很明显，则的符号无法确定,故改用李雅普诺夫第二法。选取Lyapunov函数为

件存母Q,则

=2^V+2^T不）

=。小学同＜O

I

则是负定的。箱-8,有心+o即系统在原点处大范围渐近稳定。

4-9设非线性方程：

试用克拉索夫斯基法确定系统原点的稳定性。

解：（1）采用克拉索夫斯基法，依题意有:

/«=

Wf0,有

取p=/

-Q(x)=JT(x)+J(x)

则，根据希尔维斯特判据，有:

，佃的符号无法判断。

⑵李雅普诺夫方法：选取Lyapunov函数为尸A,则

«/）=滤*+3^

二封王+冽（^_玉）

=-龙<0

I

加是负定的。Ml-00,有—廿。即系统在原点处大范围渐近稳定。

4-12试用变量梯度法构造下列系统的李雅普诺夫函数

\=-x^+2J^X2

<

、为4=-%q

解：假设帆的梯度为：

计算附的导数为:

选择参数,试选针于是得：

vv=卓q

引，显然满足旋度方程咨o,咨q，表明上述选择的参数是允许

的。则有:

我V2,V/-知

如果一-2，则如是负定的，因此，.2是好叱的约束条件

计算得到网为:

Aj(，V2=O)七('=%)

V(x)=J卒饵+Jjy%

oo

=掂+¥)

乂E咽Wn

阳是正定的，因此在2范围内，4=0是渐进稳定的。

现代控制理论第五章习题答案

5-1已知系统状态方程为:

试设计一状态反馈阵使闭环系统极点配置为7,-2,-3o

解：依题意有:

oir

M^hAb殉二O12

|_112

以私俗,系统能控.

系统2?抽。的特征多项式为:

则将系统写成能控标准I型，则有

引入状态反馈后，系统的状态方程为：,其中依灯矩阵，设

年%《幻，则系统君"。的特征多项式为：

___，型■■一-一一・一.―一-

根据给定的极点值，得到期望特征多项式为：

比较人4,（为各对应项系数，可解得：右则有：W59月。

5—3有系统：

-211「0一

x=x+U

0-1J|_1_

y=[l0]x

（1）画出模拟结构图。

（2）若动态性能不满足要求，可否任意配置极点?

（3）若指定极点为-3,-3,求状态反馈阵.

解（1）系统模拟结构图如下:

题54系统模拟结沟图

（2）系统采用状态反馈任意配置极点的充要条件是系统=钻。完全能控。

对于系统》独。

有:

「

吁3O］T1

口的且,系统能控，故若系统动态性能不满足要求，可

任意配置极点。

（3）系统空钻。

的特征多项式为:

0