实际问题与一元一次方程第4课时方案选择问题 2024-2025学年七年级数学上册（人教版2024）

5.3实际问题与一元一次方程人教版（2024）七年级数学上册第五章一元一次方程第四课时方案选择问题目录/CONTENTS数学活动考点梳理知识导图课本复习题学习目标1.会寻找数量关系列方程，确定最优方案.2.掌握分段计费问题.情景导入不同能效空调的综合费用比较购买空调时，需要综合考虑空调的价格和耗电情况.某人打算从当年生产的两款空调中选购一台，下表是这两款空调的部分基本信息.如果电价是0.5元/(kW·h)，请你分析他购买、使用哪款空调综合费用较低.匹数能效等级售价/元平均每年耗电量/(kW·h)1.51级30006401.53级2600800新知探究分析：在这个问题中，综合费用=空调的售价+电费选定一种空调后，售价是确定的，电费则与使用的时间有关.设空调的使用年数是

t，

则

1

级效能空调的综合费用(单位：元)是

3000+0.5×640t，

即

3000+320t3级效能空调的综合费用(单位：元)是

2600+0.5×800t，

即

2600+400t先来看t

取什么值时，两款空调的综合费用相等.列方程3000+320t=2600+400t解得t=5为了比较两款空调的综合费用，我们把表示3级能效空调的综合费用的式子2600+400t

变形为1级能效空调的综合费用与另外一个式子的和，即(3000+320t)+(80t-400)也就是

3000+320t+80(t–5)这样，当t<5时，80(t-5)

是负数，这表明3级能效空调的综合费用较低；当

t>5时，80(t-5)

是正数，这表明1级能效空调的综合费用较低；由此可见，同样是

1.5

匹的空调，1

级能效空调虽然售价高，但由于比较省电，使用年份长

(超过

5

年)时综合费用反而低.根据相关行业标准，空调的安全使用年限是

10

年

(从生产日期计起)，因此购买、使用

1

级能效空调更划算.通常，1级能效空调既节能又省钱课堂练习1.在甲复印店用A4纸复印文件，复印页数不超过20时，每页收费

0.12元；复印页数超过20时，超过部分每页收费降为

0.09元，在乙复印店用A4纸复印文件，不论复印多少页，每页都收费

0.1元，复印页数为多少时，两店的收费相同？解：设复印页数为x

时，两店的收费相同.由题意可知，x>20.根据题意，得20×0.12+(x-20)×0.09=0.1x.解得x=60.答：复印页数为60时，两店的收费相同.2.现有两种地铁机场线计次月票：第一种售价200元，每月包含10次；第二种售价300元，每月包含20次.两种月票超出每月包含次数后都需要另外购票，票价为25元/次，某人每月乘坐地铁机场线超过10次，他购买哪种月票比较节省费用？解：设他每月乘坐地铁机场线x

次.当10<x<20

时，购买第一种月票需[200+25(x-10)]元，购买第二种月票需

300

元.令200+25(x

-10)

＝300，解得

x＝14.当

x

≥20

时，购买第二种月票比较节省费用.因此，当他每月乘坐地铁机场线14次时，购买两种月票所需费用相同，超过

10

次且低于14

次时，购买第一种月票比较节省费用，超过14

次时，购买第二种月票比较节省费用.习题5.31.结合本节内容体会例2后归纳的框图.解：将实际问题转化为数学问题（列一元一次方程），再通过解方程得到数学问题的解（x=a），最后将得到的解代回原方程检验，得到实际问题的答案.2.制作一张桌子要用1

个桌面和4条桌腿，1m3

木材可制作20个桌面，或者制作400条桌腿.现有12m3

木材，应怎样计划用料才能制作尽可能多的桌子？解：设用xm3

木材制作桌面，则用(12-x)m3

木材制作桌腿.根据题意，得

4×20x＝400(12-x).解得x=10.所以12-

x＝2.答:用10

m3

木材制作桌面，2m3

木材制作桌腿，才能制作尽可能多的桌子.3.某车间每天能制作500个甲种零件，或250个乙种零件（同一天内不能同时制作这两种零件），甲、乙两种零件各1个配成1套产品.现要用30天制作最多的成套产品，甲、乙两种零件各应制作多少天？解：设甲种零件应制作x

天，则乙种零件应制作(30-

x)天.根据题意，得500x＝250(30-

x).解得x＝10.所以30-

x＝20.答：甲种零件应制作10

天，乙种零件应制作20

天.4.某项工作由甲、乙两人单独做分别需要7.5h和5h.如果让甲、乙两人一起工作1h，再由乙单独完成剩余部分，一共需要多长时间？解：设剩余部分由乙单独完成需xh.根据题意，得.解得.所以.

答：一共需要h.5.整理一批数据，由1人整理需

80h完成.现在计划先由一些人整理2h，再增加5人整理

8h，完成这项工作的.怎样安排参与整理数据的具体人数？解：设先安排x人整理2h.解得x＝2.答:应先安排2

人整理2h，再增加

5

人整理8h.根据题意，得.6.用A型和

B

型机器生产同样的产品，已知5台

A型机器一天生产的产品装满8箱后还剩4个，7台

B型机器一天生产的产品装满

11箱后还剩1个，每台A型机器比B型机器一天多生产1个产品.求每箱装多少个产品.解：设每箱装x

个产品.根据题意，得.解得x

＝12.答:每箱装12

个产品.7.下表中记录了一次实验中时间和温度的数据，假设温度的

变化是均匀的.（1）实验进行21min时的温度是多少？时间/min0510152025温度/℃102540557085解：由题意可知，实验开始21

min

时的温度是（℃）时间/min0510152025温度/℃102540557085（2）实验进行多长时间的温度是34℃？设实验开始xmin后的温度是34℃.答：实验进行8min的温度是

34℃.根据题意，得10+x

＝34.解得

x＝8.8.某糕点厂中秋节前要制作一批盒装月饼，每盒中装2块大月饼和4块小月饼.制作1块大月饼要用0.05kg面粉，制作1块小月饼要用0.02kg面粉.现有面粉4500kg，应各用多少千克面粉制作两种月饼，才能生产最多的盒装月饼？解：设制作x

块大月饼，则需要制作2x

块小月饼.根据题意，得0.05+0.02×2x

＝4500.解得x＝50000所以

0.05x

＝2500，0.05×2x＝2000.答：应用2500kg

面粉制作大月饼，2000kg面粉制作小月饼，才能生产最多的盒装月饼.9.李明和刘伟分别从A，B两地同时出发，李明骑自行车，刘伟步行，沿同一条道路相向匀速而行，出发24

min

后两人相遇，相遇时李明比刘伟多行进

4.8km，相遇后6

min

李明到达B地.两人每小时分别行进多少千米？相遇后经过多长时间刘伟到达A地？解:设刘伟的行进速度是xkm/h，则李明的行进速度是(x+12)km/h.根据题意，得0.4(x+x+12)

＝0.5(x+12).解得x＝4.所以

x+12＝16，0.4×16÷4＝1.6(h).答:刘伟的行进速度是4km/h，李明的行进速度是16km/h，相遇后经过1.6h

刘伟到达A

地.10.商店对某商品降价20%促销，为了使销售总金额不变，

销售量要比按原价销售时增加百分之几？解：设销售量要比按原价销售时增加x％.根据题意，得(1-20％)(1+x％)

＝1.解得x＝25.答：销售量要比按原价销售时增加25％.11.甲组的4名工人3月份完成的总工作量比此月人均定额的4倍多20件，乙组的5名工人3月份完成的总工作量比此月人均定额的6倍少20件.（1）如果两组工人此月人均实际完成的工作量相等，那么此月人均定额是多少件？解：设此月人均定额是x件.根据题意，得.解得x＝45.答：此月人均定额是45

件.（2）如果甲组工人此月人均实际完成的工作量比乙组的多2件，那么此月人均定额是多少件？设此月人均定额是y

件.根据题意，得.解得y＝35.答：此月人均定额是35

件.（3）如果甲组工人此月人均实际完成的工作量比乙组的少2件，那么此月人均定额是多少件？设此月人均定额是z

件.根据题意，得.解得z＝55.答：此月人均定额是55

件.12.将探究2的积分表换为你们学校某次足球联赛（或其他联赛）积分表，请你根据积分表提出一些数学问题并加以解决.13.（古代问题）希腊数学家丢番图的墓碑上记载着：“他生命的六分之一是幸福的童年；再活了他生命的十二分之一，两颊长起了细细的胡须；又度过了一生的七分之一，他结了婚；再过五年，他有了儿子，感到很幸福；可是儿子只活了他父亲全部年龄的一半；儿子死后，他在极度悲痛中度过了四年，也与世长辞了.”根据以上信息，请你算出:（1）丢番图的寿命；（2）丢番图开始当爸爸时的年龄；（3）儿子死时丢番图的年龄.解：如图，设丢番图的寿命为x

岁.（1）根据题意，得.解得x＝84.答：丢番图的寿命是84

岁.答：丢番图开始当爸爸时的年龄是38

岁.（2）由（1）知，.（3）儿子死时丢番图的年龄是84－4＝80（岁）.14.下面是某购物平台的两种图书促销方式，方式一：满100元减50元.方式二：单件打六折.考虑下列问题：（1）设某本书的原价为t元.列表说明当t在不同价格范围内取值时，按两种方式购买分别需要支付的金额.解：促销方式需要支付的金额/元t<100t

≥100方式一tt-50方式二0.6t（2）观察你的列表，你能从中发现如何根据图书的原价选择省钱的购买方式吗？通过计算验证你的想法.当

t<100

时，选择方式二购买更省钱.当t

≥100

时，令

t－50＝0.6t，解得

t＝125.因此，当t

＝125时，选择方式一和方式二购买所需支付的金额相同，当

t<100

或

t>125

时，选择方式二购买更省钱.当

100<t<125

时，选择方式一购买更省钱.分层练习-基础1.

[2024周口淮阳区月考]制作一张桌子要用1个桌面和4条桌

腿，1立方米木材可制作20个桌面或者400条桌腿.现有12

立方米的木材，则下列方案能制作尽可能多的桌子的是(

)AA.2立方米木材制作桌腿，10立方米制作桌面B.3立方米木材制作桌腿，9立方米制作桌面C.4立方米木材制作桌腿，8立方米制作桌面D.5立方米木材制作桌腿，7立方米制作桌面2.

某保险公司的汽车保险中的汽车修理费是分段赔偿的，具

体赔偿细则如下表，某人在汽车修理后在该保险公司得到

的赔偿金是2

000元，那么此人的汽车修理费是(

B

)汽车修理费

x

元赔偿率0＜

x

≤50060％500＜

x

≤1

00070％1

000＜

x

≤3

00080％……BA.2

687元B.2

687.5元C.2

688元D.2

688.5元3.

[2024唐山丰南区期末]甲、乙两店以同样价格出售一种商品，并推出不同的优惠方案，在甲店累计购物超过100元后，超出100元的部分打九折；在乙店累计购物超过50元后，超出50元的部分打九五折，则顾客到两店购物花费一样时为(

D

)DA.

累计购物不超过50元B.

累计购物超过50元不超过100元C.

累计购物超过100元D.

累计购物不超过50元或刚好为150元4.

[教材P138探究3变式]亮亮家所在城市利用“分时阶梯”

的方式计算电价，收费标准如下表：时段峰时(8：00－21：00)谷时(21：00－8：00)每千瓦时电价0.60元0.40元

156

分层练习-巩固5.

【情境题·教育政策】为贯彻落实“双减”政策，积极开

拓校本研修课程，某校课外实践小组欲到植物园开展研修

活动.植物园提供以下三种购票方式：购买散票：每人一张20元；(当购票人数不少于100人时，可以选择购买优惠票或团队票)购买优惠票：可以享受票价九折优惠；购买团队票：一张团队票2

400元，且入园时，每人还需付10元.(1)若有100名学生到植物园开展研修活动，你认为如何购票优惠？请计算说明.解：

(1)购买散票：100×20＝2

000(元)；购买优惠票：100×20×90％＝1

800(元)；购买团队票：2

400＋100×10＝3

400(元).因为1

800＜2

000＜3

400，所以购买优惠票优惠.(2)当入园人数达到多少时，购买优惠票与购买团队票的价钱相同？解：

(2)设入园人数达到

x

(

x

≥100)人时，购买优惠票

与购买团队票的价钱相同，由题意得20×90％

x

＝2

400＋10

x

，解得

x

＝300.答：当入园人数达到300人时，购买优惠票与购买团队

票的价钱相同.6.

【情境题·生活应用】[2024孝感期末]某市民用天然气价格分为三个档次，费用跟每年每户用气量有关，具体如下：级别每年每户用气量(单位：立

方米)气价(单位：元/立

方米)第一档300及以下2.4第二档超过300但不超过450的部分2.8第三档超过450的部分3.6即实行梯级收费，例如小红家全年用气量为500立方米，

那么她家就需要缴纳的费用为300×2.4＋(450－

300)×2.8＋(500－450)×3.6＝1

320(元).根据以上资料，回答下列问题：(1)若小明家全年用气量为400立方米，则需要缴纳的费用

是多少元？解：

(1)小明家全年用气量为400立方米，需要缴纳的费用为300×2.4＋(400－300)×2.8＝1

000(元).所以小明家需要缴纳的费用为1

000元.(2)若小明家全年缴纳的费用为1

536元，则全年用气量是多少立方米？解：

(2)因为当用气量为500立方米时的费用是1

320

元，而小明家全年缴纳的费用为1

536元，1

536＞1

320，所以小明家全年用气量大于500立方米.设小明家全年用气量为

x

立方米，则300×2.4＋(450－300)×2.8＋(

x

－450)×3.6＝1

536，

解得

x

＝560.答：小明家全年用气量是560立方米.(3)若小明家全年用气的平均价格为2.5元，则全年用气量是多少立方米？

答：小明家全年用气量为400立方米.分层练习-拓展7.

【情境题·方案策略型教材P141习题T14变式】为拓宽学

生视野，引导学生主动