26.1 解决实际问题的一般思路 同步练习

第二十六章综合运用数学知识解决实际问题26.1解决实际问题的一般思路基础过关全练知识点解决实际问题的一般思路1.某抗美援朝题材电影自上映以来，赢得了观众的赞赏.据某网站统计，截至2022年3月14日，该电影票房收入突破40亿元，若平均每张电影票约58元，估计观影人次为（）A.0.69×107 B.6.9×108 C.6.9×107 D.69×1082.(2022湖北宜昌中考)周末，小华和家人到公园游玩.湖边有大小两种游船，小华发现1艘大船与2艘小船一次共可以满载游客32人，2艘大船与1艘小船一次共可以满载游客46人，则1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客的人数为（）A.30 B.26 C.24 D.223.(2021四川自贡中考)已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示.下列说法正确的是（）A.函数解析式为I=13R C.当I≤10A时，R≥3.6Ω D.当R=6Ω时，I=4A4.(2022浙江杭州中考)某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度，把标杆DE直立在同一水平地面上(如图).同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长BC=8.72m，EF=2.18m.已知B，C，E，F在同一直线上，AB⊥BC，DE⊥EF，DE=2.47m，则AB=m.

5.如图，高速公路的同一侧有A，B两个城镇，它们到高速公路所在的直线MN的距离AC=2km，BD=4km，已知CD=8km，要在高速公路上C，D之间建一个出口P，使A，B两个城镇到P的距离之和最小，则这个最短距离为km.

6.把一些苹果分给几个小朋友，如果每人分5个，那么还剩2个苹果；如果每人分6个，那么还缺3个苹果.一共有多少个苹果?[变式]把一些苹果分给几个小朋友，如果每人分5个，那么还剩2个苹果；如果每人分6个，那么最后一个小朋友分到了苹果，但分到的苹果不足3个.一共有多少个小朋友?7.(2022辽宁铁岭中考)多功能家庭早餐机可以制作多种口味的美食，深受消费者的喜爱，在新品上市促销活动中，已知8台A型早餐机和3台B型早餐机需要1000元，6台A型早餐机和1台B型早餐机需要600元.(1)每台A型早餐机和每台B型早餐机的价格分别是多少元?(2)某商家欲购进A，B两种型号的早餐机共20台，但总费用不超过2200元，那么至少要购进A型早餐机多少台?8.(2022北京门头沟期末)“永定楼”是门头沟区的地标性建筑，某数学兴趣小组开展了测量“永定楼”高度的社会实践活动.如图，他们先在点D处用高1.5米的测角仪AD测得楼顶M的仰角为30°，然后沿DF方向前行70米到达点E处，在点E处测得楼顶M的仰角为60°.求永定楼的高MF.(结果保留根号)9.(2022北京东城景山学校期末)某景区推出销售纪念品活动，已知每件纪念品的进货价为30元，经市场调研发现，当该纪念品的销售单价为40元时，每天可销售280件，销售单价每增加1元，每天的销售量将减少10件.(销售利润=(销售单价-进货单价)×销售量)(1)若该纪念品的销售单价为43元，则每天的销售量是件，每天的销售利润是元；

(2)求销售单价增加多少元时，该纪念品每天的销售利润是3450元.10.如图①是气势如虹的开封北门，也叫安远门，有安定远方之寓意.其主门洞的截面如图②，上部分可看成是抛物线，下部分可看成是矩形，边AB为16米，BC为6米，最高处点E到地面AB的距离为8米. 图① 图②(1)请在图②中建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的解析式；(2)该主门洞内设双向行驶车道，正中间有0.6米宽的双黄线，车辆必须在双黄线两侧行驶，不能压双黄线，并保持车辆最高点与门洞有不少于0.6米的空隙(安全距离)，一辆大型货运汽车装载某大型设备后，宽3.7米，高6.6米，这辆货运汽车能否安全通过该主门洞?请说明理由.能力提升全练11.(2022北京平谷一模)研究发现，近视镜的度数y(度)与镜片焦距x(米)成反比例函数关系，小明的近视镜的度数为400度，焦距为0.25米，经过一段时间的矫正治疗加之注意用眼健康，现在镜片的焦距为0.4米，则小明现在的近视镜的度数为（）A.300度 B.500度 C.250度 D.200度12.(2022北京顺义二模)某中学为积极开展校园足球运动，计划购买A和B两种品牌的足球，已知一个A品牌足球的价格为120元，一个B品牌足球的价格为150元.学校准备用3000元购买这两种足球(两种足球都买)，并且3000元全部用完，则该校共有种购买方案.

13.(2022北京东城一模)我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中提到：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同.如图，从冬至到夏至晷长逐渐变小，从夏至到冬至晷长逐渐变大，相邻两个节气晷长减少或增加的量均相同，周而复始.若冬至的晷长为13.5尺，夏至的晷长为1.5尺，则相邻两个节气晷长减少或增加的量为尺，立夏的晷长为尺.

14.(2022河南中考)教育部印发的《义务教育课程方案》和课程标准(2022年版)将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来.某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动.据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的54倍，用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆(1)求菜苗基地每捆A种菜苗的价格；(2)菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元.学校决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，且A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数.菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠，求本次购买菜苗最少花费多少钱.15.(2022山东聊城中考)我市某辖区内的兴国寺有一座宋代仿木楼阁式空心砖塔，塔旁有一棵唐代古槐，称为“宋塔唐槐”.数学兴趣小组利用无人机测量古槐的高度，如图所示，当无人机从位于塔基B点与古槐底D点之间的地面H点(点B，H，D三点在同一直线上)，竖直起飞到正上方45米的E点时，测得塔AB的顶端A和古槐CD的顶端C的俯角分别为26.6°和76°.已知塔高为39米，塔基B与古槐底D的水平距离为20米，求古槐的高度(结果精确到1米).(参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01)16.(2022北京中考)单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台.运动员起跳后的飞行路线可以看成是抛物线的一部分.建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y=a(x-h)2+k(a<0).某运动员进行了两次训练.(1)第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如表：水平距离x/m02581114竖直高度y/m20.0021.4022.7523.2022.7521.40根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系式y=a(x-h)2+k(a<0)；(2)第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y=-0.04(x-9)2+23.24.记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d1，第二次训练的着陆点的水平距离为d2，则d1d2(填“>”“=”或“<”).

素养探究全练17.(2022江西中考)跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分(如图中实线部分所示)，落地点在着陆坡(如图中虚线部分所示)上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高.2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度OA为66m，基准点K到起跳台的水平距离为75m，高度为h(单位：m，h为定值).设运动员从起跳点A起跳后的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式为y=ax2+bx+c(a≠0).(1)c的值为.

(2)①若运动员落地点恰好到达K点，且此时a=-150，b=910，求基准点K②若a=-150，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为(3)当运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由.

第二十六章综合运用数学知识解决实际问题26.1解决实际问题的一般思路答案全解全析基础过关全练1.C4000000000÷58≈6.9×107.故选C.2.B设1艘大船一次可以满载x人，1艘小船一次可以满载y人，依题意，得x+2y=32①,2x+y=46②,①+②，得3x+33.C设I=kR(k≠0)，∵函数图象经过点(4，9)，∴k=4×9=36，∴I=36R，∴蓄电池的电压是36V，∴A，B均错误；当I=10A时，R=3.6Ω，由题图知，当I≤10A时，R≥3.6Ω，∴C正确，符合题意；当R=6Ω时，I=6A，∴4.9.88解析∵同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长BC=8.72m，EF=2.18m，∴AC∥DF，∴∠ACB=∠DFE，∵AB⊥BC，DE⊥EF，∴∠ABC=∠DEF=90°，∴Rt△ABC∽△Rt△DEF，∴ABDE=BCEF，即AB2.47=8.722.18，∴AB5.10解析如图，作点A关于直线MN的对称点A'，连接A'B，交直线MN于点P，连接AP，此时AP+PB最小，为A'B的长，过点B作BE⊥CA，交CA的延长线于点E，易知A'E=6km，BE=8km，在Rt△A'EB中，A'B=62+82=10(km)，则AP6.解析设一共有x个小朋友，根据题意，得5x+2=6x-3，解得x=5，∴5x+2=27.答：一共有27个苹果.[变式]解析设一共有x个小朋友，根据题意，得0<5x+2-6(x-1)<3，解得5<x<8，∵x为整数，∴x=6或7.答：一共有6个或7个小朋友.7.解析(1)解法1：设A型早餐机每台x元，B型早餐机每台y元，依题意，得8x+3答：每台A型早餐机80元，每台B型早餐机120元.解法2：设A型早餐机每台x元，则B型早餐机每台(600-6x)元，依题意，得8x+3(600-6x)=1000，解得x=80，600-6x=120.答：每台A型早餐机80元，每台B型早餐机120元.(2)设购进A型早餐机n台，依题意，得80n+120(20-n)≤2200，解得n≥5.答：至少要购进A型早餐机5台.8.解析由题意得，AB=70米，CF=1.5米，∠MAC=30°，∠MBC=60°，∴∠AMB=30°，∴∠AMB=∠MAB，∴MB=AB=70米，在Rt△BCM中，∠MCB=90°，∠MBC=60°，∴∠BMC=30°.∴BC=12BM=35米，MC=32BM=353∴MF=CM+CF=(353+1.5)米.答：永定楼的高MF为(353+1.5)米.9.解析(1)当该纪念品的销售单价为43元时，每天的销售量是280-10×(43-40)=250(件)，每天的销售利润是(43-30)×250=3250(元).(2)设销售单价增加x元，则每件的销售利润是(40+x-30)元，每天的销售量是(280-10x)件，依题意，得(40+x-30)(280-10x)=3450，整理，得x2-18x+65=0，解得x1=5，x2=13.答：销售单价增加5元或13元时，该商品每天的销售利润是3450元.10.解析(1)建立平面直角坐标系如图所示，由题意可得，点E的坐标为(0，8)，点D的坐标为(-8，6)，设抛物线的解析式为y=ax2+8(a≠0)，∵点D在抛物线上，∴6=(-8)2a+8，解得a=-132∴抛物线的解析式为y=-132x2+8(2)这辆货运汽车能安全通过该主门洞.理由：3.7+0.62=4，将x=4代入y=-132x2得y=-132×42+8=7.5∵7.5>6.6+0.6，∴这辆货运汽车能安全通过该主门洞.能力提升全练11.C设反比例函数的解析式为y=kx(x>0)∵400度的近视镜的焦距为0.25米，∴k=400×0.25=100，∴反比例函数的解析式为y=100x当x=0.4时，y=1000.4=250故小明现在的近视镜度数为250度，故选C.12.4解析设购买A品牌足球x个，B品牌足球y个，依题意，得120x+150y=3000，∴y=20-45x.∵x，y均为正整数，∴x=5,y=16或x∴该校共有4种购买方案.13.1；4.5解析∵相邻两个节气晷长减少或增加的量均相同，从冬至到夏至晷长变化12次，∴相邻两个节气晷长减少或增加的量为(13.5-1.5)÷12=1(尺)，立夏的晷长为13.5-9×1=4.5(尺).14.解析(1)设菜苗基地每捆A种菜苗的价格是x元，则市场上每捆A种菜苗的价格是54x元根据题意，得300x=30054x+3，经检验，x=20是原方程的解，且符合题意.答：菜苗基地每捆A种菜苗的价格是20元.(2)设购买A种菜苗m捆，则购买B种菜苗(100-m)捆，∵A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数，∴m≤100-m，解得m≤50，设本次购买菜苗花费w元，∴w=20×0.9m+30×0.9(100-m)=-9m+2700，∵-9<0，∴w随m的增大而减小，∴m=50时，w取得最小值，最小值为-9×50+2700=2250.答：本次购买菜苗最少花费2250元.15.解析如图，过点A作AM⊥EH于M，过点C作CN⊥EH于N，由题意知，AM=BH，CN=DH，AB=MH，在Rt△AME中，∠EAM=26.6°，tan∠EAM=EMAM∴AM=EMtan∠EAM=EH−MH∴BH=AM=12米，∵BD=20米，∴DH=BD-BH=8(米)，∴CN=8米，在Rt△ENC中，∠ECN=76°，tan∠ECN=ENCN∴EN=CN·tan∠ECN≈8×4.01=32.08(米)，∴CD=NH=EH-EN=12.92≈13(米)，答：古槐的高度约为13米.16.解析(1)根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为(8，23.20)，∴h=8，k=23.20，即该运动员竖直高度的最大值为23.20m，将(0，20.00)代入y=a(x-8)2+23.20得，20.00=a(0-8)2+23.20，解得a=-0.05，∴函数关系式为y=-0.05(x-8)2+23.20.(2)设第一次训练时，着陆点的纵坐标为t，t=-0.05(x-8)2+23.20，解得x=8+20(23.20−t)