数学学案：学习导航一次函数和二次函数

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2.2一次函数和二次函数自主整理1。一次函数(1）定义:函数y=kx+b（k≠0)叫做一次函数，又叫线性函数；它的定义域为R，值域为R.(2)性质：①函数的改变量y2—y1与自变量的改变量x2-x1的比值等于常数k；k的大小表示直线与x轴的倾斜程度;②当k>0时，一次函数为增函数，当k<0时，一次函数为减函数；③当b=0时，一次函数为正比例函数，是奇函数；当b≠0时,一次函数既不是奇函数也不是偶函数;④直线y=kx+b（k≠0）与x轴的交点为（，0）,与y轴的交点为(0，b)。2.二次函数(1)定义:函数y=ax2+bx+c(a≠0）叫做二次函数，它的定义域为R。(2)性质:①函数的图象是一条抛物线,它的顶点坐标为(,)，它的对称轴为x=.②当a〉0时,抛物线开口向上，函数在x=处取得最小值,在区间（—∞,]上是减函数，在区间［，+∞）上是增函数。③当a<0时，抛物线开口向下，函数在x=处取得最大值，在区间[，+∞）上是减函数，在区间(-∞，］上是增函数.④当二次函数图象的对称轴与y轴重合即b=0时二次函数为偶函数，否则既不是奇函数也不是偶函数.⑤在y=ax2(a≠0)中,若a〉0，a越大，抛物线的开口越小，a越小，抛物线的开口越大;反之,若a<0,a越大，抛物线的开口越大，a越小，抛物线的开口越小.总之，y=ax2（a≠0)中，若｜a｜越大，抛物线的开口越小，|a|越小,抛物线的开口越大.（3）三种形式:①一般式：f（x）=ax2+bx+c(a≠0),其中a是开口方向与大小，c是y轴上的截距,而是对称轴.②顶点式（配方式)：f(x)=a（x—h）2+k(a≠0）,其中(h，k）是抛物线的顶点坐标.h=,k=.③两根式(因式分解）：f（x)=a（x-x1）(x-x2)(a≠0)，其中x1、x2是抛物线与x轴两个交点的横坐标.3。待定系数法如果知道一个函数的一般形式,可先把所求函数写为一般形式,其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数，这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法称为待定系数法。高手笔记1。常数函数是较为特殊的函数，原因在于在函数解析式y=b中没有出现自变量x。其实常数函数就是一个多对一的映射.注意:当a=0时,函数y=ax2=0是一个常数函数,其图象即为x轴.2。式子x=a（a是一固定常数）虽然含有x，但不能称其为函数，原因在于一个x对应无穷多个y，不符合函数的定义,应将其与y=b区别开来。3.二次函数是重要的基础函数,必须作为重点内容来掌握。应从解析式、定义域、值域、图象、单调性、奇偶性几个方面的内容进行把握.4。解决二次函数的问题一定要牢牢树立数形结合的思想，通过对函数图象的分析寻找解决问题的思路和分类讨论的依据。名师解惑1。如何认识与理解常数函数？剖析：要全面认识一个函数,主要从解析式、定义域、值域、单调性、奇偶性等五个方面来认识,对于常数函数：解析式：当k=0时,y=kx+b就变成了y=b，这就是常数函数的解析式,其中b是某一固定常数。这个解析式的特点在于没有出现自变量x,这也是许多同学对常数函数感到难于理解的原因.定义域：自变量x可以取任意实数.解析式中没有出现x，说明解析式对x没有要求,可以取任意实数。值域：常数函数的值域为｛b}。常数函数只有一个函数值b,就是说不论自变量怎么取值，都对应同一个函数值b.图象:因为不论自变量x取什么值都对应一个函数值b，所以函数图象是平行于x轴的水平直线(特殊情况是x轴）。单调性:因为函数值是固定的常数b，没有增减变化,函数图象也是一条水平的直线，没有起伏变化，所以常数函数在定义域上没有单调性.奇偶性:定义域为R，并且f(—x)=f(x）=b,所以一定是偶函数.如果b=0则既是奇函数又是偶函数。2.如何由函数y=x2的图象变化得到函数y=a·x2(a≠0）的图象？又如何由函数y=ax2(a≠0）的图象变化得到y=a（x+h)2+k（a≠0)的图象？再如何由函数y=ax2（a≠0）的图象得到函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象？剖析：（1）二次函数y=a·x2（a≠0)的图象可由y=x2的图象各点的纵坐标变为原来的a倍得到，而横坐标保持不变。（2）二次函数y=a(x+h）2+k（a≠0)可由y=ax2(a≠0）的图象向左（或向右)平移｜h｜个单位，再向上（或下)平移|k|个单位得到.（3）要得到二次函数y=ax2+bx+c(a≠0）的图象，先将其化为y=a（x+h）2+k(a≠0)的形式,再通过y=ax2（a≠0）的图象上下左右平移得到.3.二次函数的性质常见有哪些综合应用？剖析:（1）关于对称轴问题:若二次函数f(x)满足f(t+x)=f（t-x),则f（x)关于直线x=t对称,这一性质对于一般函数也适用.(2）关于二次函数在闭区间上的最值的问题:当a>0时,f(x）在区间[p，q］上的最大值为M,最小值为m，令x0=（p+q)。若<p，则f（p)=m，f(q）=M；若p≤〈x0,则f（)=m,f（q）=M;若x0≤〈q,则f(p）=M，f()=m；若≥q，则f(p）=M，f（q）=m。(3)关于二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的实根分布问题：①方程f（x）=0的两根中一根比r大,另一根比r小a·f(r)<0.②二次方程f(x）=0的两根都大于r③二次方程f(x)=0在区间(p,q)内有两根讲练互动【例题1】方程ax—by+c=0(ab≠0)所对应的一次函数，当a、b满足什么条件时函数为减函数？分析：首先将直线的方程化为一次函数y=kx+b的形式，然后根据k>0时函数为增函数，k〈0时函数为减函数，进而求得a、b所满足的条件，即ab<0。解：把ax-by+c=0整理,得y=x+,要使得一次函数为减函数，则<0，即只要a、b异号就可以了。绿色通道处理一次函数问题常把解析式整理成标准形式,然后再求解.变式训练1.直线mx+（m-2)y=3(m≠2,m≠0）所对应的一次函数,当函数为增函数时m满足的条件是(）A。0<mB。m<2C.0<m〈2解析：把mx+（m-2)y=3整理,得y=x+,要使得一次函数为增函数，则>0，即只要-m、m-2同号就可以了,所以易得0<m〈2.答案：C【例题2】已知二次函数f（x)=ax2+(2a—1）x+1在区间［,2］上的最大值为3，求实数a的值.分析：这是一个逆向最值问题，若从求最值入手，需分a>0与a〈0两大类五种情形讨论，过程烦琐不堪.若注意到f（x)的最值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到，因此先计算这些点的函数值，再检验其真假,过程简明。解：(1）令f（）=3,得a=.此时抛物线开口向下，对称轴为x=-2，且-2[,2］，故a=不合题意。(2)令f（2）=3,得a=，此时抛物线开口向上，对称轴为x=0,闭区间的右端点2距离对称轴远些,故a=符合题意.(3）若f()=3,得a=，此时抛物线开口向下,对称轴为x=，闭区间为单调减区间，所以a=-符合题意。综上，a=或a=.绿色通道本题利用特殊值检验法，先计算特殊点(闭区间的端点、抛物线的顶点）的函数值，再检验其真假，思路明了、过程简洁，是解决逆向型闭区间二次函数最值问题的一种有效方法。变式训练2.二次函数y=x2+2ax-3,x∈［1,2］,试求函数的最小值.分析：首先观察到函数图象过（0，—3），再考虑对称轴的位置,由于对称轴在不同的位置会出现不同的结果，所以需要分三种情况讨论。解：y=x2+2ax-3=(x+a）2—a2—3，当—a∈（2，+∞），即a<—2时，此时函数在[1，2］上为减函数，故此时的最小值为f(2）=4a+1；当—a∈（—∞，1)，即a〉-1时,函数的最小值为f(1)=2a-2；当-a∈[1,2]，即—2≤a≤—1时,函数的最小值为f(-a）=—a2-3.【例题3】已知二次函数的图象过(0,1）、（2,4）、(3，10）三点,求这个二次函数的解析式.分析:已知是二次函数,且知三个点的坐标,所以可以先设出二次函数的解析式,用待定系数法求得.解：根据题意设这个二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0),然后将图象所经过的三个点的坐标分别带入方程，联立三个方程,得解得故f（x）=x2x+1。绿色通道使用待定系数法解题的基本步骤是第一步,设出含有待定系数的解析式;第二步，根据恒等的条件,列出含待定系数的方程或方程组；第三步，解方程或方程组解出待定系数,使问题得到解决。变式训练3.若f（x)为一次函数,且满足f［f(x)]=1+2x，则f（x）的解析式为______.解析：已知f（x）为一次函数，可以使用待定系数法。设f（x）=kx+b,则f［f（x）］=f（kx+b)=k(kx+b)+b=k2x+kb+b，利用对应系数相等即可求得k=,b=-1或k=2,b=-1。答案：f(x)=x-1或f（x）=x+—14.（2007黄冈第一次高三诊断试卷,17）已知二次函数f（x）满足条件f（0)=1，及f(x+1）—f（x)=2x.（1)求f（x)的解析式;(2）求f（x）在[-1,1]上的最值。分析：本题求函数解析式的基本方法仍然是待定系数法,但确定待定系数的方法是根据代数式恒等对应项系数相等来确定的。求函数在给定区间上的最值时，要注意对称轴的位置。解：(1）由f(0)=1，可设f(x)=ax2+bx+1。则由f（x+1）-f（x）=2x,可得2ax+a+b=2x。∴a=1,a+b=0，即b=-1。∴f（x）=x2-x+1。（2)∵f（x）=x2—x+1=(x）2+,又x∈［—1，1］，∴当x=时有最小值，x=—1时有最大值3。【例题4】二次函数f（x）=ax2+bx+c,a∈N＊,c≥1,a+b+c≥1，方程ax2+bx+c=0有两个小于1的不等正根,则a的最小值为(）A.2B。3C。4解析：由题意有由于方程有两个小于1的不等正根，画图可知0〈〈1，即b2<4a2.∴4ac〈b2<4a2,即a（a-c)〉0。又a∈N*，且c≥1，∴a的最小值为2。答案：A绿色通道一般地，一元二次方程根的分布情况问题往往从三个角度加以考虑:Δ的符号,对称轴是否在区间内，端点函数值的正负。变式训练5.已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.若方程有两根，其中一根在区间(-1，0）内,另一根在区间(1,2)内,求m的范围。分析：二次方程根的问题实质上是讨论二次函数的图象与x轴交点与坐标原点的位置关系的问题,因此,理解交点及二次函数系数(a——开口方向，a、b—-对称轴,c——图象与y轴的交点)的几何意义，掌握二次函数图象的特点,是解决此类问题的关键。解：条件说明抛物线f（x）=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间（—1,0)和(1,2)内,画出示意图，得∴<m<.教材链接1.[探索与研究]设一次函数y=5x—3，取一系列的x值,使得每一个x值总是比前一个大2,然后计算对应的y值，这一系列的函数值之间有什么关系？对任意一个一次函数都有类似的性质吗？答:对于一次函数y=5x—3,取一系列的x的值总是比前一个大2时，则有与之对应的每一个y的值总是比前一个大10；对任意一个一次函数y=kx+b(k〉0）,若取一系列的x的值总是比前一个大m时(m为正整数)，则有与之对应的每一个y的值总是比前一个大mk。2.［探索与研究］结合课件1207,对一次函数的性质进行探索。答：注意强调一次函数定义中的一次项系数k≠0这一条件，当k=0时,函数为y=b，它不再是一次函数,它的图象是一条与x轴平行的直线,通常称为常值函数。函数值的改变量y2—y1与自变量的改变量x2-x1的比值,称作函数x1到x2之间的平均变化率,对一次函数来说它是一个常数，等于这条直线的斜率.一次函数y=kx+b（k≠0)的单调性与一次项系数的正负有关,当k〉0时,函数为增函数,当k〈0时，函数为减函数.理由如下：设x1、x2是任意两个不相等的实数,且x1〈x2，则Δx=x2—x1>0，所以Δy=f(x2)-f(x1）=(kx2+b)-(kx1+b)=k(x2—x1)=kΔx.当k>0时，kΔx〉0，所以Δy〉0，所以f(x)在R上是增函数;当k〈0时,同理可证f（x）在R上是减函数.要准确地作出一次函数的图象，只要找准图象上的两个点即可，这两个点通常是找图象与坐标轴的交点.3.［探索与研究］在同一坐标系中,作函数y=x2,y=（x+1）2，y=(x-1）2,y=x2+1,y=x2—1的图象,研究它们的图象之间的关系。答：列表:x…-3-2-10123…y=x2…9410149…y=(x+1)2…41014916…y=(x—1）2…16941014…y=x2+1…105212510…y=x2-1…830—1038…在同一坐标系中画出这五个图，如图2—2-1所示：图2-2-1通过图象,可知后四个图象都可以由y=x2通过左右上下平移得到,y=（x+1)2由y=x2向左平移一个单位得到；y=（x-1）2由y=x2向右平移一个单位得到,y=x2+1由y=x2向上平移一个单位得到，y=x2—1由y=x2向下平移一个单位得到。4.［探索与研究］二次函数y=ax2+bx