数学学案：学习导航幂函数

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精3。3幂函数自主整理1。幂函数的定义（1）定义:一般地，我们把形如y=xα（α∈R）的函数叫做幂函数，其中x为自变量,α为常数.（2)关于定义的理解：①幂的底数是自变量；②幂的指数是一个常数,它可以取任意实数；③幂值前面的系数是1，否则不是幂函数，如函数y=5x就不是幂函数。④幂函数的定义域是使xα有意义的所有x的集合,因α的不同，定义域也不同,如函数y=x2的定义域为R，而函数y=的定义域为｛x｜x∈R,且x≠0}.2.函数y=x，y=x2,y=x3，y=x，y=x—1的图象与性质：y=xY=x2y=x3y=xy=x-1图象定义域RRR[0，+∞)（-∞,0）∪（0，+∞)值域R［0，+∞）R［0,+∞)（—∞,0）∪（0，+∞)奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增增增定点(0，0)，（1，1）（0,0）,（1，1）（0，0）,(1，1）(0,0），（1，1）（1,1）3.幂函数的性质当n〉0时,幂函数y=xn有下列性质：（1)图象都通过点(0，0)，（1，1）；(2)在第一象限内,函数值y随x的增大而增大。当n<0时，幂函数y=xn的性质:（1）图象都过点（1，1）；（2）图象以直线x=0，y=0为渐近线；(3）在第一象限内的图象是下降的，即函数值y随x的增大而减小；（4）x∈(0,1)时，n越大曲线越靠近y轴;x∈(1，+∞)时,n越小曲线越靠近x轴.高手笔记1.判断函数是否为幂函数时要根据定义，即xα的系数为１，指数位置的α为一个常数，且常数项要为０，或者经过变形后满足条件的均可.2。在研究幂的性质时，通常将分数指数幂化为根式形式,负指数整数幂化为分式形式再去进行讨论。3.记忆口诀：如何分析幂函数,记住图象是关键，虽然指数各不同，分类之后变简单。大于0时抛物线，小于0时双曲线，还有0到1之间，抛物开口方向变,不仅开口向右方,原来图象取一半。函数奇偶看指数，奇母奇子奇函数，奇母偶子偶函数,偶母非奇偶函数.图象第一象限内，函数增减看正负。名师解惑1.如何理解幂函数的图象和性质？剖析:幂函数y＝xn的性质和图象，由于n的取值不同而比较复杂，我们可以从下面几个方面来把握:（1）n<0时，图象不过原点,在第一象限内图象是下降的曲线,幂函数的图象在区间(0,+∞)上是减函数.在第一象限内,当x从右边趋向原点时,图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴。n>0时，图象必经过原点和（1,1)两定点，在第一象限内图象是上升的曲线,并且在区间[0，+∞)上是增函数。（2）幂函数的图象和性质，可归纳为下表:图象幂函数y=xn(n为常数)n>0n<0性质（1）图象都通过点（0，0)和（1，1）;（2)在第一象限内，函数值随x的增大而增大(1）图象都通过(1，1）;（2)在第一象限内，函数值随x的增大而减小;(3)以x、y轴为渐近线2。当n取不同的有理数时，幂函数y=xn的定义域怎样?剖析：当n∈N*时，定义域为R；当n=0时，定义域为｛x|x≠0｝；当n为负整数时，定义域为{x|x≠0};当n=(p,q∈N＊,q〉1且p，q互质）时,①若q为偶数，则定义域为［0，+∞）；②若q为奇数,则定义域为R；当n=(p,q∈N*,q>1且p，q互质)时，①若q为偶数，则定义域为（0，+∞)；②若q为奇数，则定义域为{x|x≠0}.讲练互动【例题1】若（a+1）＜（3-2a）,则a的取值范围是__________。解析：因为函数y＝x在[0，+∞）上单调递增，所以y＝x在(0,+∞）上单调递减.所以解得＜a＜。答案：（，）绿色通道虽然解决恒成立问题方法很多,但这里由于是选择题,用赋值法较方便.黑色陷阱忘记负指数幂函数底数需大于0,将导致解题错误.用幂函数的单调性解不等式，但要注意x的取值范围。变式训练1。已知（x-3)〈(1+2x),求x的取值范围。分析:其实质是解不等式(x-3)〈(1+2x)，由于不等式的左右两边的幂指数都是，因此可借助于幂函数y=x的图象性质来求解。解:因为y=x在(—∞,0）和（0，+∞)上为减函数.x〉0时，y>0；x〈0时，y<0，原不等式可以化为:①②③①无解；②的解为x<—4；③的解是<x〈3。所以所求的x的取值范围为{x|x<-4或〈x<3}.【例题2】已知0＜a＜1，试比较aa，（aa)a,的大小为__________。解析：为比较aa与（aa）a的大小,将它们看成指数相同的两个幂.由于幂函数f（x）＝xa（0＜a＜1）在区间［0，＋∞）上是增函数,因此只需比较底数a与aa的大小.由于指数函数y＝az（0＜a＜1）是减函数，且a＜1，所以a＜aa，从而aa＜(aa）a。比较aa与（aa)a的大小，也可将它们看成底数相同（都是aa）的两个幂，于是可以利用指数函数y＝bx(b＝aa，0＜b＜1)是减函数，由a＜1，得到aa＜（aa）a.由于a＜aa,函数y＝az(0＜a＜1)是减函数，因此aa＞。答案：a＜aa＜（aa)a绿色通道解以上两个例题的关键都在于适当地选取某一个函数，函数选得恰当,解决问题就简单.变式训练2。比较下列各组中两个值的大小：(1)1。5与1。6;（2）0。61.3与0。71。3;（3）3.5与5。3;（4)0。18—0.3与0.15—0.3。分析：比较幂值的大小是一种常见题型，也是一类容易做错的问题。如果指数相同,可以利用幂函数的单调性比较，如果底数相同就利用指数函数的单调性比较.解：（1)∵1。5与1.6可分别看作幂函数y=x在1。5与1.6处的函数值,且>0，1.5〈1。6,∴由幂函数单调性，知1.5<1.6。（2)∵0.61.3与0。71.3可分别看作幂函数y=x1.3在0.6与0。7处的函数值，且1.3>0，0.6〈0.7,∴由幂函数单调性，知0.61。3〈0。71。3.(3）∵3。5与5.3可分别看作幂函数y=x在3。5与5.3处的函数值,且<0，3。5〈5.3,∴由幂函数单调性,知3。5〉5.3。（4）∵0。18—0.3与0.15-0。3可分别看作幂函数y=x-0.3在0。18与0.15处的函数值，且—0.3〈0，0.18>0.15,∴由幂函数单调性,知0.18-0.3<0。15—0.3.【例题3】幂函数y=xa，y=xb,y=xc，y=xd在第一象限内的图象如图3-3-1所示，则a,b,c，d的大小关系是()图3—3-1A。b〈c〈d<aB。b〈c<a<dC。a〈b<c〈dD。a<d〈c<b解析：重点掌握幂函数在第一象限的图象特征，它是判断一些问题的法宝,当自变量x＞1时，幂指数大的函数的函数值大。方法一(性质法）：由幂函数的性质可知,当自变量x＞1时，幂指数大的函数的函数值较大，故有b＞c＞d＞a.方法二(类比法）：当x趋于+∞时，函数y=xa图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴,类似于典型幂函数y=x-1,故a〈0.函数y=xb在区间［0，+∞)上是增函数，图象下凸,类似于函数y=x2,故b〉1.同法可知y=xc,y=xd类似于y=x，故0<c<1,0〈d<1.∴a最小，b最大.方法三(特殊值法):作直线x=2,由图象可知2a〈2d〈2c〈2答案:D绿色通道通过这道题，可知对于幂函数不仅仅是从“形式上”掌握其概念、图象和性质，更重要的是真正的理解，例如需要掌握幂函数在第一象限的图象特征,这在今后的学习中也应注意。变式训练3。图3—3—2中曲线是幂函数y=xα在第一象限的图象，已知α取±2，±四个值，则对应于曲线C1，C2，C3，C4的指数α依次为()图3-3—2A.-2,,,2B。2,,,-2C.,—2，2,D.2，，—2,解析：要确定一个幂函数y=xα在坐标系内的分布特征，就要弄清幂函数y=xα随着α值的改变图象的变化规律。随着α的变大，幂函数y=xα的图象在直线x=1的右侧从低向高分布。从图中可以看出，直线x=1右侧的图象，由高向低依次为C1,C2，C3，C4,所以C1,C2,C3,C4的指数α依次为2，，,—2.答案：B【例题4】画函数y=1+的草图,并求出其单调区间。分析:此函数的作图有两个途径,一是根据描点的方法作图，二是利用坐标系的平移来作图。一般说来，作草图时，利用坐标平移较为方便。解:y=1+=+1。∴此函数的图象可由下列变换而得到:先作函数y=的图象，作其关于y轴的对称图象，即y=的图象，将所得图象向右平移3个单位，向上平移1个单位，即为y=1+的图象〔如图3-3-3（1）-(4）所示〕。图3-3-3黑色陷阱本题容易发生的错误:一是函数概念不清（该函数是以x为自变量的函数）；二是在将函数式变形的过程不是等价变形，导致变形后的函数已不再是原有的函数了.变式训练4.求出函数f（x)=的单调区间，并比较f（—π）与f（）的大小。分析:要写出f(x）的单调区间，可通过化简把f（x）转化成我们熟悉的基本初等函数的形式，利用基本初等函数的单调区间，表示出f（x）的单调区间.解:f（x)==1+=1+（x+2）—2,它是由g(x）=x—2向左平移2个单位,再向上平移1个单位而得到的。∵g（x)的单调增区间是（—∞,0)，单调减区间是（0,+∞）,∴f（x）=的单调增区间是（—∞，—2)，单调减区间是（—2，+∞)，f（x)的图象关于直线x=—2对称.∵-π∈（—∞，—2）,∈（—2，+∞），关于x=-2对称的点的横坐标是-4，又∵-4〈—π，∴f（-4）〈f（—π），即f（）〈f（-π）。教材链接［思考与讨论］(1）在幂函数y=xα中，如果α是正偶数（α=2n，n为非零自然数),如α=2,4，6,…，这一类函数具有哪些重要性质？（2）在幂函数y=xα中,如果α是正奇数（α=2n—1,n为非零自然数）,如α=1，3,5，…，这一类函数具有哪些重要性质?（3)幂函数y=xα，x∈［0,+∞），α〉1与0<α〈1的图象有何不同？答：(1)y=xαα是正偶数定义域R值域[0，+∞)奇偶性偶单调性x∈［0，+∞)时，增x∈（-∞，0］时，减定点(1