数学课堂导学案：两角和与差的正弦、余弦和正切公式（三）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂导学三点剖析1。运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行化简，求值和证明【例1】求值：（tan10°-）·解法1：（tan10°—）=（tan10°-tan60°）=（）==解法2：（tan10°—)=(tan10°—tan60°)=tan（10°—60°）（1+tan10°tan60°)=-tan50°（1+tan10°·tan60°）=-tan50°（1+sin10°·)=温馨提示（1)在给角问题中,既有弦函数又有切函数的往往将切函数化为弦函数；（2)在给角求值问题中应首先观察角之间的关系,要根据减元的思想即尽量减少一般角的个数.2。两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活运用【例2】化简：3sin(x+20°)—5sin（x+80°）+cos（x+20°）思路分析:注意到式子中涉及的两角x+80°与x+20°之差为60°，是特殊角,进行变换化简.解:原式=3sin（x+20°)-5sin［（x+20°）+60°］+cos（x+20°)=3sin(x+20°）—5sin（x+20°）cos60°—5cos(x+20°）sin60°+23cos（x+20°）=sin（x+20°）-cos（x+20°)=sin（x+20°）cos60°-cos（x+20°）sin60°=sin（x+20°-60°)=sin(x—40°）温馨提示对公式的灵活运用,主要从整体结构入手.还要特别注意角的联系及三角函数的名称。3。注意角与角之间的联系，从整体入手解决问题【例3】化简：sin（α+β）cosα—［sin（2α+β)-sinβ].思路分析:本题中出现α+β，α,2α+β,β四个角,为尽量减少角的个数,可以将2α+β，表示成（α+β)+α,将β表示成(α+β）—α，然后再利用两角差和的正余弦公式便可获解.解：sin（α+β）cosα—［sin（2α+β）-sinβ］=sin（α+β）cosα-［sin(α+β+α）—sin（α+β—α）］=sin(α+β）cosα—[sin（α+β）cosα+cos（α+β)sinα-sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα］=sin（α+β）cosα—cos（α+β）sinα=sin(α+β—α)=sinβ.温馨提示本题仍是抓住题目中角之间的联系，利用角的变换将2α+β表示成（α+β）+α，将β表示成（α+β）-α.不要盲目的展成单角α与β的三角函数，那将会使题目变得相当复杂.各个击破类题演练1求值：。解：=变式提升1化简:sin50°(1+·tan10°)。解：原式=sin50°（1+）=sin50°·=sin50°·=sin50°·=sin50°·==类题演练2tan3A-tan2A—tanA—tan3A·tan2A·tanA=___________。解析：tan3A—tan2A-tanA—tan3A·tan2A·tanA=tanA（1+tan3A·tan2A)-tanA-tan3A·tan2A·tanA=tanA·tan2A·tan3A-tan3A·tan2A·tanA=0。答案：0变式提升2（2004重庆）sin163°sin223°+sin253°sin313°等于(）A.—B。C。—D。解析:原式=sin（180°-17°）·sin(180°+43°）+sin（180°+73°）·sin（360-47°）=sin17°·（-sin43°）+（—sin73°）·（-sin47°)=—sin17°·sin43°+cos17°·cos43°=cos（43°+17°)=cos60°=.答案:B类题演练3求证：—2cos(α+β)=.证明：左边======右边.∴原式得证.变式提升3已知3sinβ=sin(2α+β），求证：tan(α+β）=2tanα。证明:∵3sinβ=sin（2α+β），∴3sin［（α+β）-α］=sin[（α+β)+α］，3sin（α+β）