2024北京五中高三（上）期中数学（教师版）

第1页/共1页2024北京五中高三（上）期中数学班级__________姓名__________学号__________成绩__________一.选择题（共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）（1）已知集合，若，则集合可以是（A） （B） （C） （D）（2）若直线与直线平行，则实数的值为（A）0 （B） （C）1 （D）或1（3）曲线是双曲线，则“的方程是”是“的渐近线方程为”的（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件（4）已知函数，设，，，则，，的大小关系是（A） （B） （C） （D）（5）已知两点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值是（A）8 （B）6 （C） （D）4（6）已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，过点作准线的垂线交准线于，若，则（A） （B） （C） （D）（7）中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如下图所示的“曲池”，其高为，底面，底面扇环所对的圆心角为，长度为长度的3倍，且线段，则该“曲池”的体积为（A） （B）5π （C） （D）（8）在直角三角形中，，，，点在斜边的中线上，则的取值范围（A） （B） （C） （D）（9）金针菇采摘后会很快失去新鲜度，甚至腐烂，所以超市销售金针菇时需要采取保鲜膜封闭保存.已知金针菇失去的新鲜度与其采摘后时间（天）满足的函数解析式为.若采摘后1天，金针菇失去的新鲜度为；若采摘后3天，金针菇失去的新鲜度为80%.现在金针菇失去的新鲜度为，则采摘后的天数为（结果保留一位小数，）（A）1.5 （B）1.8 （C）2.0 （D）2.1（10）已知定点，，若点在圆上运动，则的最小值为（A） （B）6 （C） （D）二.填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）复数的共轭复数__________.（12）已知为正方形，若椭圆与双曲线都以、为焦点，且图像都过、点，则椭圆的离心率为__________，双曲线的离心率为__________.（13）在中，，，点在边上，，，则_______；的面积为__________.（14）已知函数，，，其中表示，中最大的数.若，则__________；若对恒成立，则的取值范围是__________.（15）已知函数.给出下列四个结论：①过点存在1条直线与曲线相切；②过点存在2条直线与曲线相切；③过点存在3条直线与曲线相切；④过点存在3条直线与曲线相切时，的取值范围是.其中，正确结论的序号是__________.三.解答题（共6小题，共85分）（16）（本小题14分）如图，在直三棱柱中，，，，点是线段的中点.（I）求证：；（II）试求二面角的余弦值；（III）求点到平面的距离.（17）（本小题13分）设过点，且一个周期的图象（原点，最高点，最低点）如图所示：（I）求，；（II）再从以下三个条件中任选其一，使函数唯一确定，并求的单调递增区间.条件①：；条件②：；条件③：.（18）（本小题13分）自2022北京冬奥会以来，花样滑冰项目引起了广泛关注.选手们在冰上起舞，做出步法、旋转、跳跃等技术动作.“技术动作分”由“基础分”和“执行分”相加得到.不同的技术动作，其“基础分”也不同，其中四个跳跃动作，，，的“基础分”如表1所示.跳跃动作4T4S4F4Lz基础分9.59.711.011.5表1选手表演完，得到相应动作的“执行分”.把“执行分”为非负值的跳跃动作记为“成功”，否则记为“失败”.表2为某选手在上一赛季各跳跃动作的“技术动作分”.4T12.0411.224.759.069.9711.6310.984S10.9810.5711.324.859.5112.074F13.695.5014.0212.924Lz13.5414.2311.218.3811.87表2假设用频率估计概率，且选手每个跳跃动作是否“成功”相互独立.（I）从该选手上一赛季所有动作中任选一次，估计这次跳跃为“成功”的概率；（II）若该选手在本赛季中，计划完成，，这三个动作，且每个动作只完成一次.将这三个动作中成功的跳跃个数记为，求的分布列和数学期望；（III）在本赛季中，从四个跳跃动作，，，中选出三个，使得该选手这三个动作中“成功”的跳跃个数的期望最大，请直接写出这三个动作的名称.（19）（本小题15分）已知函数，其中.（I）当时，求曲线在点处的切线方程；（II）求的单调区间；（III）当且时，判断与的大小，并说明理由.（20）（本小题15分）设椭圆，且离心率为，过点的直线与椭圆交于，两点，当直线经过椭圆中心时，.（I）求椭圆的方程；（II）已知点，直线和直线分别与轴交于，，与轴交于，，若，求直线的斜率.（21）（本小题15分）设正整数数列满足.（1）若，请写出所有可能的取值；（2）记集合，且不是5的倍数，求证：；（3）存在常数，对于都有，求所有可能的取值.

参考答案一.选择题12345678910DBACDBDABA二.填空题11.12.，13.，14.，.15.①②③三.解答题16.【答案】解：（1）证明：在中，，，，，，平面，平面，，又，，平面，平面，又平面，. ……5分（2）由（1）可知，平面，，平面，所以，，又，以为原点，以，，为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，，，，，平面，是平面的一个法向量，设平面的法向量为，则，即，解得，令可得，，，由图形可知二面角为锐二面角，二面角的余弦值为. …11分（3）由（2）可知，，设与平面所成角为，则，到平面的距离为. …14分（17）解：（I）过结合图象，有：则由，有所以， 【5分】（II）选择条件①则故令，有，所以单调递增区间为， 【13分】选择条件②则由，有故以下同①选择条件（3），由，有故以下同①（18）（1）（2）分布列见解析，数学期望为（3）4T，4S，4F【分析】（1）根据题意，结合表格的数据，结合古典概型的概率公式代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，由条件可得的所有可能取值为0，1，2，3，然后分别计算对应的概率，即可得到分布列，再由期望的计算公式即可得到结果.（3）根据题意，结合表格中的数据即可得到结果.【详解】（1）根据题中数据，该选手上一赛季7个4T动作中，有5个跳跃为“成功”，所以从该选手上一赛季所有动作中任选一次，这次跳跃“成功”的概率可以估计为. …4分（2）同（1）从该选手上一赛季所有，动作中分别任选一次，这次跳跃“成功”的概率分别可以估计为，，的所有可能取值为0，1，2，3.，，，.所以随机变量的分布列为：0123所以. …10分（3）由表格可知，动作成功的概率为，失败的概率为，动作成功的概率为，失败的概率为，动作成功的概率为，失败的概率为，动作成功的概率为，失败的概率为，由可知，选，，. …13分（19）解：（1）当时，；；而，；故曲线在点处的切线方程为，即. …4分（2）的定义域为，且；令，得.当变化时，与的变化情况如下表：﹣﹣0+单调递减单调递减极小值单调递增所以的单调递增区间为；单调递减区间为和； …9分（3）当且时，，证明如下：令，则.设，则.所以当时，；当时，.所以在上单调递减，在（上单调递增.从而，即，所以的单调递增区间为和（.当时，，即；当时，，即.综上，当且时，. …15分（20）解：（I），所以； …5分（II）①当直线的方程为时，显然，；直线的方程为，所以；直线的方程为，所以；此时点与点重合，点与点重合，易知；②设直线，，，，即，也即或，；，；，；直线，直线令，，令，，则即也即则，，斜率为；综上，直线的斜率为0或. …15分（21）（1），， …4分（2）设中最小数为，，①当