第27章 相似 初中数学人教版九年级下册单元检测卷(含解析)

第二十七章相似检测卷(时间：100分钟满分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分)1.下列各组中的四条线段是成比例线段的是(C)A.a＝6，b＝4，c＝10，d＝5B.a＝3，b＝7，c＝2，d＝9C.a＝2，b＝4，c＝3，d＝6D.a＝4，b＝11，c＝3，d＝22.如图，在△ABC中，点D，E分别为AB，AC的中点，则△ADE与四边形BCED的面积比为(C)A.1∶1B.1∶2C.1∶3D.1∶43.如图在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，DE⊥BC，那么与△ABC相似的三角形的个数有(D)A.1个B.2个C.3个D.4个4.如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC边上的点，DE∥BC，点F为BC边上一点，连接AF交DE于点G，则下列结论中一定正确的是(C)A.eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,EC)B.eq\f(AG,GF)＝eq\f(AE,BD)C.eq\f(BD,AD)＝eq\f(CE,AE)D.eq\f(AG,AF)＝eq\f(AC,EC)5.志远要在报纸上刊登广告，一块10cm×5cm的长方形版面要付广告费180元，他要把该版面的边长都扩大为原来的3倍，在每平方厘米版面广告费相同的情况下，他该付广告费(C)A.540元B.1080元C.1620元D.1800元6.如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，若∠ACD＝∠B，AD＝1，AC＝2，△ADC的面积为1，则△BCD的面积为(C)A.1B.2C.3D.47.“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为(B)A.1.25尺B.57.5尺C.6.25尺D.56.5尺8.如图所示，在矩形ABCD中，F是DC上一点，AE平分∠BAF交BC于点E，且DE⊥AF，垂足为点M，BE＝3，AE＝2eq\r(6)，则MF的长是(D)A.eq\r(15)B.eq\f(\r(15),10)C.1D.eq\f(\r(15),15)9.如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(－1,0).以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍.设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是(D)A.－eq\f(1,2)aB.－eq\f(1,2)(a＋1)C.－eq\f(1,2)(a－1)D.－eq\f(1,2)(a＋3)10.如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC交BC于点E，点F是CD边上一点(不与点D重合).点P为DE上一动点，PE＜PD，将∠DPF绕点P逆时针旋转90°后，角的两边交射线DA于H，G两点，有下列结论：①DH＝DE；②DP＝DG；③DG＋DF＝eq\r(2)DP；④DP·DE＝DH·DC，其中一定正确的是(D)A.①②B.②③C.①④D.③④二、填空题(每小题4分，共24分)11.如图，在△ABC中，AB≠AC.D，E分别为边AB，AC上的点.AC＝3AD，AB＝3AE，点F为BC边上一点，添加一个条件：DF∥AC或∠BFD＝∠A，可以使得△FDB与△ADE相似.(只需写出一个)12.若△ABC∽△A′B′C′，且AB∶A′B′＝3∶4，△ABC的周长为12cm，则△A′B′C′的周长为16cm.13.如图，E为▱ABCD的边AB延长线上的一点，且BE∶AB＝2∶3，连接DE交BC于点F，则CF∶AD＝3∶5.14.如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A(2,4)，B(6,0)，O(0,0)，以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的eq\f(1,2)，可以得到△A′B′O，已知点B′的坐标是(3,0)，则点A′的坐标是(1,2).15.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE＝50cm，EF＝25cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.6m，CD＝10m，则树高AB＝6.6m.16.如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝4，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C，使CB′∥AB，分别延长AB，CA′相交于点D，则线段BD的长为6.三、解答题(共66分)17.(6分)如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，若DE∥BC，DE＝2，BC＝3，求eq\f(AE,AC)的值.解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵DE＝2，BC＝3，∴eq\f(AE,AC)＝eq\f(DE,BC)＝eq\f(2,3).18.(6分)如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(－1,2)，B(－3,4)，C(－2,6).(1)画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1；(2)以原点O为位似中心，画出将△A1B1C1三条边放大为原来的2倍后的△A2B2C2.解：如图：(1)△A1B1C1即为所求；(2)△A2B2C2即为所求.19.(6分)如图，在梯形ABCD中，DC∥AB，AD＝BC，E是DC延长线上的点，连接AE，交BC于点F.(1)求证：△ABF∽△ECF；(2)如果AD＝5cm，AB＝8cm，CF＝2cm，求CE的长.(1)证明：∵DC∥AB，∴∠B＝∠ECF，∠BAF＝∠E，∴△ABF∽△ECF.(2)解：∵AD＝BC，AD＝5cm，AB＝8cm，CF＝2cm，∴BF＝3cm.∵由(1)知，△ABF∽△ECF，∴eq\f(BA,CE)＝eq\f(BF,CF)，即eq\f(8,CE)＝eq\f(3,2).∴CE＝eq\f(16,3)(cm).20.(8分)如图，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，∠BAE＝∠BCE，∠AED＝∠CED，点G是BC，AE延长线的交点，AG与CD相交于点F.(1)求证：四边形ABCD是正方形；(2)当AE＝2EF时，判断FG与EF有何数量关系？并证明你的结论.(1)证明：∵∠CED是△BCE的外角，∠AED是△ABE的外角，∴∠CED＝∠CBE＋∠BCE，∠AED＝∠BAE＋∠ABE.∵∠BAE＝∠BCE，∠AED＝∠CED，∴∠CBE＝∠ABE.∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠BCD＝∠BAD＝90°，AB＝CD.∴∠CBE＝∠ABE＝45°.∴△ABD与△BCD是等腰直角三角形.∴AB＝AD＝BC＝CD，∴四边形ABCD是正方形.(2)解：当AE＝2EF时，FG＝3EF，证明如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴△ABE∽△FDE，△ADE∽△GBE.∵AE＝2EF，∴BE∶DE＝AE∶EF＝2.∴BG∶AD＝BE∶DE＝2，即BG＝2AD，∵BC＝AD，∴CG＝AD.∵△ADF≌△GCF，∴FG＝AF＝AE＋EF＝3EF.21.(8分)如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF＝∠GAC.(1)求证：△ADE∽△ABC；(2)若AD＝3，AB＝5，求eq\f(AF,AG)的值.解：(1)∵AG⊥BC，AF⊥DE，∴∠AFE＝∠AGC＝90°，∵∠EAF＝∠GAC，∴∠AED＝∠ACB，∵∠EAD＝∠BAC，∴△ADE∽△ABC；(2)由(1)可知：△ADE∽△ABC，∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)＝eq\f(3,5)，由(1)可知：∠AFE＝∠AGC＝90°，∴∠EAF＝∠GAC，∴△EAF∽△CAG，∴eq\f(AF,AG)＝eq\f(AE,AC)，∴eq\f(AF,AG)＝eq\f(3,5).22.(8分)晚饭后，小聪和小军在社区广场散步，小聪问小军：“你有多高？”小军一时语塞.小聪思考片刻，提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高.于是，两人在灯下沿直线NQ移动，如图，当小聪正好站在广场的A点(距N点5块地砖长)时，其影长AD恰好为1块地砖长；当小军正好站在广场的B点(距N点9块地砖长)时，其影长BF恰好为2块地砖长.已知广场地面由边长为0.8米的正方形地砖铺成，小聪的身高AC为1.6米，MN⊥NQ，AC⊥NQ，BE⊥NQ.请你根据以上信息，求出小军身高BE的长.(结果精确到0.01米)解：由题意得：∠CAD＝∠MND＝90°，∠CDA＝∠MDN，∴△CAD∽△MND，∴eq\f(CA,MN)＝eq\f(AD,ND)，∴eq\f(1.6,MN)＝eq\f(1×0.8,(5＋1)×0.8)，∴MN＝9.6，又∵∠EBF＝∠MNF＝90°，∠EFB＝∠MFN，∴△EFB∽△MFN，∴eq\f(EB,MN)＝eq\f(BF,NF)，∴eq\f(EB,9.6)＝eq\f(2×0.8,(2＋9)×0.8)，∴EB≈1.75，∴小军身高约为1.75米.23.(12分)如图，⊙O是△ABC的外接圆，O点在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD，CD，过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P.(1)求证：PD是⊙O的切线；(2)求证：△PBD∽△DCA；(3)当AB＝6，AC＝8时，求线段PB的长.(1)证明：∵圆心O在BC上，∴BC是圆O的直径，∴∠BAC＝90°，连接OD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠DAC，∵∠DOC＝2∠DAC，∴∠DOC＝∠BAC＝90°，即OD⊥BC，∵PD∥BC，∴OD⊥PD，∵OD为圆O的半径，∴PD是圆O的切线；(2)证明：∵PD∥BC，∴∠P＝∠ABC，∵∠ABC＝∠ADC，∴∠P＝∠ADC，∵∠PBD＋∠ABD＝180°，∠ACD＋∠ABD＝180°，∴∠PBD＝∠ACD，∴△PBD∽△DCA；(3)解：∵△ABC为直角三角形，∴BC2＝AB2＋AC2＝62＋82＝100，∴BC＝10，∵OD垂直平分BC，∴DB＝DC，∵BC为圆O的直径，∴∠BDC＝90°，在Rt△DBC中，DB2＋DC2＝BC2，即2DC2＝BC2＝100，∴DC＝DB＝5eq\r(2)，∵△PBD∽△DCA，∴eq\f(PB,DC)＝eq\f(BD,AC)，则PB＝eq\f(DC·BD,AC)＝eq\f(5\r(2)×5\r(2),8)＝eq\f(25,4).24.(12分)(1)如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，AE⊥BF于点M，求证：AE＝BF；(2)如图2，将(1)中的正方形ABCD改为矩形ABCD，AB＝2，BC＝3，AE⊥BF于点M，探究AE与BF的数量关系，并证明你的结论.(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠C，AB＝BC.∵AE⊥BF，∴∠AMB＝∠BAM＋∠ABM＝90°，∵∠ABM＋∠CBF＝90°，∴∠BAM＝∠CBF.在△A