江苏省常州市2024-2025学年高三上学期期中质量调研数学试题（解析版）

第第页常州市2024—2025学年第一学期高三期中质量调研数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干冷后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】解不等式化简集合，再利用交集的定义求解即得.【详解】依题意，，而，所以.故选：D2.已知a，，则“”是“”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据指数式和对数式以及充分、必要条件等知识来确定正确答案.【详解】根据指数式和对数式的互化公式可知，所以“”是“”的充要条件.故选：A3已知复数z满足，则（）A. B. C.0 D.2【答案】B【解析】【分析】设，代入已知条件，求得，进而求得.【详解】设，则，，所以，解得，所以.故选：B4.有甲、乙等5名同学咨询数学史知识竞赛分数.教师说：甲不是5人中分数最高的，乙不是5人中分数最低的，而且5人的分数互不相同.则这5名同学的可能排名有（）A.42种 B.72种 C.78种 D.120种【答案】C【解析】【分析】先计算，然后减去不符合题意的情况，由此求得正确答案.【详解】不符合题意的情况是：甲是最高分或乙是最低分，所以这5名同学的可能排名有种.故选：C5.已知是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，下列条件中，一定得到直线的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据直线、平面的位置关系的判断可得结果.【详解】对于A，，则与相交、平行或，故A错误；对于B，，则与相交、平行或，故B错误；对于C，，由线面垂直的性质知，故C正确；对于D，，则与相交、平行或，故D错误.故选：C.6.已知函数的最小正周期为T.若，且曲线关于点中心对称，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据余弦函数的周期公式以及对称中心，建立方程，可得答案.【详解】由，则，由，则，解得，由，则当时，函数取得对称中心，由题意可得，化简可得，当时，，显然当时，，所以，则.故选：B.7.已知，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据同角三角函数的平方式，求得已知角的正弦值和余弦值，结合余弦的差角公式，可得答案.【详解】由，则，，，由，易知，解得，由，，且，则，可得，所以，当时，，，此时，则，由，，则，易知，解得，此时；当时，，，此时，则，由，，则，易知，解得，；故选：B.8.已知函数（，且）.，使得成立，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据复合函数的单调性以及函数的最值进行分析，从而确定正确答案.【详解】在单调递减，时，,即,另外，0<a<1时，单调递减，在单调递增，综上所述，的取值范围是.故选：A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知平面内两个单位向量的夹角为，则下列结论正确的有（）A.B.的取值范围为C.若，则D.在上的投影向量为【答案】AB【解析】【分析】根据向量垂直、模、夹角、投影向量等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，由于，所以，所以A选项正确.B选项，，，所以B选项正确.C选项，，解得，所以，所以C选项错误.D选项，在上的投影向量为，所以D选项错误.故选：AB10.甲、乙两选手进行象棋比赛，有3局2胜制、5局3胜制两种方案.设每局比赛甲获胜的概率为，且每局比赛的结果互不影响，则下列结论正确的有（）A.若采用3局2胜制，则甲获胜的概率是B.若采用5局3胜制，则甲以3：1获胜的概率是C.若，甲在5局3胜制中比在3局2胜制中获胜的概率大D.若，采用5局3胜制，在甲获胜的条件下比赛局数的数学期望是3【答案】AC【解析】【分析】对于选项A:采用3局2胜制，甲获胜分为一二局甲胜，一三局甲胜，二三局甲胜三种情况分别计算求和即可；对于选项B:采用5局3胜制，要让甲以3：1获胜，则前三局中甲胜两局，第四局甲胜；对于选项C:分别计算5局3胜制与3局2胜制甲胜的概率，比较即可；对于选项D:在甲获胜的条件下比赛局数，借助条件概率分别计算进而求出期望即可判断.【详解】对于选项A:若采用3局2胜制，甲获胜分为一二局甲胜，一三局甲胜，二三局甲胜三种情况，则最终甲胜的概率为，故选项A正确；对于选项B:若采用5局3胜制，要让甲以3：1获胜，则前三局甲胜两局，最后一局甲胜，则甲以3：1获胜的概率是，故选项B错误；对于选项C:因为，结合选项A可知，若采用3局2胜制，最终甲胜的概率为，若采用5局3胜制，甲获胜的比分为三种情况，所以甲在5局3胜制中甲获胜的概率是因为，所以甲在5局3胜制中比在3局2胜制中获胜的概率大，故选项C正确；对于选项D:因为，且采用5局3胜制，甲获胜的概率为在甲获胜的条件下比赛局数由条件概率公式可知：;;;所以在甲获胜的条件下比赛局数的数学期望是,故选项D错误.故选：AC.11.已知函数，2为的极大值点，则下列结论正确的有（）A.B.若4为函数的极小值点，则C.若在内有最小值，则b的取值范围是D.若有三个互不相等的实数解，则b的取值范围是【答案】AD【解析】【分析】先求得，然后根据函数的极值、最值、方程的解等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】对于A，，，，则或，而，则，令，得或；令，得；在单调递增，单调递减，单调递增，的极大值点为，，A对.对于B，若4为极小值点，则，则，B错.对于C在内有最小值，则在处取得最小值，，，即，，，故C错误.对于D有三个互不相等的实数解，，则，故，故D正确；故选：AD【点睛】关键点睛：导数的准确求解与符号分析：通过求导并分析导数的符号变化，是判断函数单调性和极值点的关键步骤.确保每一步的符号处理准确，是得出正确答案的基础.条件验证的完整性：对于多项选择题，通过完整地验证每个选项的条件，可以确保答案的准确性.尤其是涉及极值点和方程解的条件时，要特别注意每个条件的符号和数量判断.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知正数满足，则的最小值为__________.【答案】【解析】【分析】利用基本不等式来求得正确答案.【详解】依题意，，当且仅当时等号成立.，所以的最小值为.故答案为：13.在平面直角坐标系中，已知点，将线段绕原点按顺时针方向旋转至线段.若，则点的纵坐标为__________.【答案】【解析】【分析】根据任意角三角函数的定义，结合诱导公式，可得答案.【详解】由题意可知，终边为的角为，则终边为的角为，点的纵坐标为.故答案为：.14.已知一个母线长为，底面半径为的圆锥形密闭容器（容器壁厚度忽略不计），能够被整体放入该容器的球的体积最大时，________.【答案】【解析】【分析】通过求圆锥轴截面的内切圆的方法，结合导数来求得正确答案.【详解】如图所示，圆锥的轴截面是，设内切圆的半径为，也即圆锥内切球的半径为，则，解得，设,所以在上单调递增，在区间上单调递减，所以当时，取得极大值也即是最大值，所以当时，能够被整体放入该容器球的体积最大.故答案为：【点睛】关键点睛：几何模型的准确构造：通过构造圆锥轴截面并确定内切球的半径，是解题的关键.几何模型的正确设定为后续的导数求解提供了基础.导数与单调性的结合应用：在求解极值问题时，利用导数分析函数的单调性，是找到最大值的有效方法.通过对函数的求导，并结合单调区间的判断，可以确保解的准确性.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某研究性学习小组为研究两个变量x和y之间的关系，测量了对应的五组数据如下表：2345647121314（1）求y关于x的经验回归方程；（2）请估计时，对应的y值.附：在经验回归方程中，，其中为样本平均值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据回归方程的求法求得正确答案.（2）利用回归方程求得预测值.【小问1详解】，，，所以回归方程为.【小问2详解】时，.16.在锐角中，，，分别是角，，所对的边，已知.（1）求的值；（2）若，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据二倍角的余弦公式和两角和的正弦公式以及同角三角函数商的关系求解即可；（2）利用正弦定理以及三角形面积公式求解即可.【小问1详解】由，得，即，，，为锐角三角形，，，，整理得，即，；【小问2详解】由（1）知，根据正弦定理得，，，.17某校由5名教师组成校本课程讲师团，其中2人有校本课程开设经验，3人没有校本课程开设经验.先从这5名教师中随机抽选2名教师开设校本课程，该期校本课程结束后，再从这5名教师中随机抽选2名教师开设下一期校本课程.（1）在第一次抽选的2名教师中，有校本课程开设经验的教师人数记为X，求X的分布列和数学期望；（2）求“在第二次抽选的2名教师中，有校本课程开设经验的教师人数是1”的概率.【答案】（1）分布列见解析，数学期望为（2）【解析】【分析】（1）根据超几何分布的知识求得分布列并求得数学期望.（2）利用全概率公式来求得正确答案.【小问1详解】的可能取值为0,1,2，，所以随机变量的分布列为012其数学期望为.【小问2详解】用表示事件“在第二次抽选的2名教师中，有校本课程开设经验的教师人数是”，用表示事件“第一次抽选的2名教师中，有校本课程开设经验的教师人数是”，两两互斥，，由(1)知，由全概率公式得，，所以在第二次抽选的2名教师中，有校本课程开设经验的教师人数是的概率为.18.已知函数是定义域为的奇函数，当时，.（1）求的解析式；（2）求曲线在处的切线方程；（3）若，都有，求实数的最小值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据函数的奇偶性求得的解析式.（2）根据切点和斜率求得切线方程.（3）先求得的值域，由此求得的最小值.【小问1详解】依题意，函数是定义域为R的奇函数，所以，当x>0时，，所以.【小问2详解】x>0时，，，切点，在x=2处的切线方程为.【小问3详解】当x=0时，.当时，，所以，当时，f′x<0，函数单调递减，且.当时，f′x>0，函数单调递增，且当所以，当时，函数取得最小值，所以，当时，的取值范围是因为函数是定义域为的奇函数，所以，当x>0时，，可得的取值范围是所以函数的值域为.由题，都有其中的取值范围是，所以实数的最小值为.【点睛】思路点睛：利用函数性质求解析式：首先根据奇函数的性质和已知条件，确定函数的解析式，这一步奠定了后续求解的基础.利用导数求切线方程：通过求导得到函数在特定点的斜率，从而求得曲线的切线方程.单调性与值域的结合：通过分析函数的单调性，确定其值域，从而找到实数的最小值.19.如图，在四棱柱中，已知底面，，，，，点E是线段上的动点.（1）求证：平面；（2）求直线与所成角的余弦值的最大值；（3）在线段上是否存在与B不重合的点E，使得二面角的正弦值为?若存在，求线段BE的长；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）（3）存在，【解析】【分析】（1）根据四棱柱几何性质，结合线面判定定理，可得答案；（2）根据直线与其斜交平面内的直线的交角的取值范围，求得平面与直线的夹角，结合法向量与线面距，可得答案；（3）求得组成二面角的两平面的法向量，结合夹角的向量公式，建立方程，可得答案.【小问1详解】在四棱柱中，易知，因为平面，平面，所以平面.【小问2详解】取中点，连接，在梯形中，因为，，所以，，则在中，，由，则，易知两两垂直，分别以为轴，建立空间直角坐标系，如