2024-2025学年云南省昭通市昭通一中教研联盟高二（上）期中数学试卷（B卷）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年云南省昭通一中教研联盟高二（上）期中数学试卷（B卷）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.满足条件{1,2}⫋A⊆{1,2,3,4}的集合A的个数是(

)A.1 B.2 C.3 D.42.在四面体OABC中，OA+AB+A.OC B.OA C.AB D.AC3.已知向量a=(cosθ,13)，b=(7A.−59 B.59 C.−4.棣莫佛定理：若复数z=r(cosθ+isinθ)，则zn=rn(cosnθ+isinnθ)A.−1 B.−12+325.已知a=(12)12，b=(13)A.a>b>c>d B.c>a>b>d C.a>c>b>d D.c>a>d>b6.已知平面α经过点A(0,1,2)，且法向量为(−2,1,−1)，P(x,y,z)是平面α内任意一点，则(

)A.x+y−z=0 B.x+y−z=−1 C.2x−y+z=0 D.2x−y+z=17.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的表面积为(

)A.100π

B.500π3

C.50π

D.8.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积S=a24，则b2A.[2,5] B.[2,6]二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知空间中三点A(0,1,0)，B(2,2,0)，C(−1,3,1)，则下列说法正确的是(

)A.|AC|=6

B.AB与BC是共线向量

C.AB和AC夹角的余弦值是1

D.10.若圆x2+y2−2x−6y+a=0(a∈R)上至多存在一点，使得该点到直线3x+4y+5=0的距离为2，则实数A.5 B.6 C.7 D.811.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数f(x)=1,x∈Q,0,x∈∁RQ,被称为狄利克雷函数，其中A.对于任意的x∈R，都有f(f(x))=1

B.函数f(x)是偶函数，且函数f(x)的值域是[0,1]

C.若T≠0且T为有理数，则f(x+T)=f(x)对任意的x∈R恒成立

D.在f(x)图象上存在不同的三个点A，B，C，使得△ABC为等边三角形三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若样本数据x1，x2，…，x10的方差为16，则数据2x1−1，2x13.若a,b,c为空间两两夹角都是120°的三个单位向量，则|14.直线(m+2)x+(m−1)y−5m−1=0与圆x2+y2=16交于A，B两点，则OA四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA−sinBc−b=sin(A+B)a+b．

(1)求角A；

(2)16.(本小题15分)

某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率：

(1)第1次拨号接通电话；

(2)第3次拨号才接通电话；

(3)拨号不超过3次而接通电话．17.(本小题15分)

2015年7月16日，电影《捉妖记》上映，上映至今全国累计票房已超过20亿，某影院为了解观看此部电影的观众年龄的情况，在某场次的100名观众中随机调查了20名观众，已知抽到的观众年龄可分成5组：[20,25)，[25,30)，[30,35)，[35,40)，[40,45)，根据调查结果得出年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示．

(1)根据已知条件，补充画完整频率分布直方图，并估计该电影院观看此部电影的观众年龄的平均数；

(2)现在从年龄属于[25,30)和[40,45)的两组中随机抽取2人，求他们属于同一年龄组的概率．18.(本小题17分)

已知圆心为C的圆经过点A(3,−1)和B(2,6)且圆心C在直线x+y−1=0上．

(Ⅰ)求圆C的标准方程；

(Ⅱ)过点M(4,1)作圆的切线，求切线方程；

(Ⅲ)求直线上y=2x−1被圆C所截得的弦长|MN|．19.(本小题17分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是梯形，AD//BC，AD⊥平面PAB，PA=PB=AB=AD，E为PB的中点，AE//平面PCD．

(1)求证：平面PCD⊥平面PBC；

(2)求平面PCD与平面PAB所成的角的正弦值．

参考答案1.C

2.B

3.A

4.A

5.B

6.D

7.A

8.C

9.AD

10.BC

11.ACD

12.8

13.2114.[−16,10]

15.解：(1)由题意，sinA−sinBc−b=sin(A+B)a+b=sinCa+b，

由正弦定理得：a−bc−b=ca+b，

即b2+c2−a2=bc，

所以cosA=b2+c2−a22bc=12，

又A∈(0,π)，16.解：(1)根据题意，由于人忘记了电话号码的最后一个数字，

现随意地拨号有10种可能，正确数字只有一个，

第1次接通电话可表示为A1，

第1次拨号接通电话概率为P(A1)=110．

(2)设Ai={第i次拨号接通电话}，i=1，2，3．

第3次才接通电话可表示为A1−A2−A3，

第3次拨号才接通电话概率为P(A1−A2−17.解：(1)根据频率分布直方图，年龄在[25,30)的频率为

1−(0.01+0.07+0.06+0.02)×5=0.2，

∴年龄在[25,30)的小矩形的高为0.25=0.04，

补充画完整频率分布直方图如图所示，

∴估计该电影院观看此部电影的观众年龄的平均数为

22.5×0.01×5+27.5×0.04×5+32.5×0.07×5+37.5×0.06×5+42.5×0.02×5=33.5；

(2)年龄在[25,30)内的频率为0.2，对应的人数为20×0.2=4，记为a、b、c、d；

年龄在[40,45)内的频率为0.02×5=0.1，对应的人数为20×0.1=2，记为E、F；

现从这6人中随机抽取2人，基本事件是

ab、ac、ad、aE、aF、bc、bd、bE、bF、cd、cE、cF、dE、dF、EF，共15种，

属于同一年龄组的基本事件是ab、ac、ad、bc、bd、cd、EF，共7种，

所以，所求的概率是P=718.解：(Ⅰ)由题意设圆心C(a,−a+1)，

因为|AC|=|BC|，

即(a−3)2+(−a+1+1)2=(a−2)2+(−a+1−6)2，

解得a=−1，

即C(−1,2)，半径r=|CA|=(−1−3)2+(1+1+1)2=5，

所以圆C的标准方程为：(x+1)2+(y−2)2=25；

(Ⅱ)当切线的斜率不存在时，则切线方程为x=4，

此时圆心C(−1,2)到直线x=4的距离为5=r，符合条件；

当切线的斜率存在时，设过M(4,1)的切线的方程为：y−1=k(x−4)，

即kx−y−4k+1=0，

则圆心C(−1,2)到切线的距离d=|−k−2−4k+1|k2+(−1)2=5，

解得19.解：(1)证明：取PC的中点F，连接EF，DF，如图，

∵E为PB中点，

EF/​/BC，EF=12BC，

∵AD/​/BC，∴AD/​/EF，

∴AD，EF确定平面ADEF，

又AE/​/平面PCD，平面PCD∩平面ADEF=DF，

∴AE/​/DF，

∵AD⊥平面PAB，AE⊂平面PAB，

∴AD⊥AE，

∵PA=AB，∴AE⊥PB，∴DF⊥PB，DF⊥EF，

∵PB∩EF=E，PB，EF⊂平面PBC，

∴DF⊥平面PBC，

∵DF⊂平面PCD，

∴平面PCD⊥平面PBC．

(2)∵AD⊥平面PAB，AB⊂平面PAB，

∴AD⊥AB，

由(1)ADEF是平行四边形，则BC=2EF=2AD，

以A为原点，AB，AD所在直线为x轴、y轴建立空间直角坐标系，如图，

设AD=2a，则PA=PB