2024-2025学年北京市东城区第五十中学高三上学期期中考试数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年北京市东城区第五十中学高三上学期期中考试数学试题一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在复平面内，复数z满足iz=3−4i，则z的虚部为(

)A.3i B.−3i C.3 D.−32.已知集合A=x∣x−2≤0,B=x∣x2A.−1,2 B.−3,1 C.−∞,2 D.−∞,33.函数fx=3sinωx−π6ω>0，fx1=−3，fA.12 B.1 C.2 D.4.已知向量a=1,1,b=x,−1，则“x=−1A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件5.在▵ABC中，(a+c)(sinA−sinC)=b(sinA.π6 B.π3 C.2π36.记Sn为数列{an}的前n项和．若aA.{an}有最大项，{Sn}有最大项 B.{an}有最大项，{Sn}有最小项7.在等腰梯形ABCD中，AB=−2CD．M为BC的中点，则AM=A.12AB+12AD B.38.已知函数fx=aex−x在区间1,2上单调递增，则实数A.e2 B.e C.e−1 9.点M,N分别是棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中棱BC,CC1的中点，动点P在正方形BCC1B1A.2,5 B.322,10.已知函数fx=x2−x,x≤0,x−alnx,x>0,若∀x1A.−∞,0∪e,+∞ B.e,+∞

C.0,e 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11.二项式(x−2x)12.函数f(x)=1x+1−x13.已知命题p：∃x∈R，ax2+2ax+1≤0，若命题p为假命题，则实数a的取值范围是

14.已知等边▵ABC的边长为4，E , F分别是AB , AC的中点，则EF⋅EA=

；若M , N是线段BC上的动点，且MN=1，则EM⋅15.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，点O为底面ABCD①D②存在一点P，D1③若D1O⊥OP，则△D④若P到直线D1C1的距离与到点B其中所有正确结论的序号是

．三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.在▵ABC中a=1， b=2．(1)若c=22，求(2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使▵ABC存在，求∠A．条件①：∠B=2∠A；条件②：∠B=π3+∠A；条件③：17.如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2， AC=CD=5(1)求证：PD⊥AB；(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；(3)在棱PA上是否存在点M，使得BM//平面PCD？若存在，求AMAP的值；若不存在，说明理由．18.人工智能正在逐渐改变着我们的日常生活，不过，它所涉及的数学知识并非都是遥不可及的高深理论.为了解“拼音输入法”的背后原理，随机选取甲类题材“新闻稿”中1200字作为样本语料库A，其中“一”出现了30次，统计“一”与其后面一个字(或标点)的搭配情况，数据如下：“一”与其后面一个字(或标点)的搭配情况频数“一个”6“一些”4“一穷”2“一条”2其他a假设用频率估计概率．(1)求a的值，并估计甲类题材中“一”出现的概率；(2)在甲类题材“新闻稿”中随机抽取2个“一”，其中搭配“一个”出现的次数为X，求X的分布列和期望；(3)另外随机选取甲类题材“新闻稿”中800字作为样本语料库B进行统计，“一”出现了24次，“一格”出现了2次，若在甲类题材“新闻稿”的撰写中，输入拼音“yige”时，“一个”和“一格”谁在前面更合适？(结论不要求证明)19.已知椭圆E:x2a2+y(1)求椭圆E的方程；(2)过点G0,2作直线l交椭圆E于不同的两点A,B，直线PA交y轴于点M，直线PB交y轴于点N.若GM⋅GN=220.已知函数fx=x(1)求曲线y=fx在点0,f(2)求fx在区间−1,1(3)当a=1时，求证：fx≥21.对于数列A:a1，a2，a3，定义“T变换”：T将数列A变换成数列B:b1，b2，b3，其中bi=ai−ai+1(i=1,2)，且b(1)直接写出A:2，6，4经过1次“T变换”得到的数列B，及B再经过3次“T变换”得到的数列E；(2)若A经过n次“T变换”后变换结束，求n的最大值；(3)设A:a1,a2,a3ai∈N,i=1,2,3，B=T(A).已知B:2，a，b，且B的各项之和为2022，若B参考答案1.D

2.C

3.A

4.A

5.B

6.A

7.B

8.C

9.B

10.A

11.60

12.(−∞,0)∪(0,1]

13.0,1

14.2

；

；

；

；

；

；1115.①③

16.(1)由题意可知a=1，b=2，c=2所以cosC=又因为C∈0,π，所以C∈所以sinC=所以S▵ABC(2)若选①，则有∠B=2∠A且a=1，b=2，由asinA=所以1cosA=1因为0<A<π，故无解，不满足题意；若选②，则有∠B=π3+∠A且a=1由asinA=所以2sin即32sinA−又因为A∈0,π，解得A=若选③，则有∠C=2∠A且a=1， b=2，由asinA=所以c=2cos所以cosA=b2因为a<b，所以A不可能为钝角或直角，只能为锐角，所以cosA=3综上，选②或选③，A=π

17.(1)因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，AB⊥AD，所以AB⊥平面PAD，又因为PD⊂平面PAD，所以AB⊥PD，(2)取AD的中点O，连结PO，CO，因为PA=PD，所以PO⊥AD．又因为PO⊂平面PAD，平面PAD⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD．因为CO⊂平面ABCD，所以PO⊥CO．因为AC=CD，所以CO⊥AD．以O为坐标原点，OC,OA,OP所在直线为坐标轴建立如图建立空间直角坐标系O−xyz，由题意得，A0,1,0，B1,1,0，C2,0,0，D设平面PCD的法向量为n=(x,y,z)n⋅PD令z=2，则x=1，y=−2．所以n=又PB=1,1,−1，所以所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为3(3)设M是棱PA上一点，则存在λ∈0,1使得AM因此点M0,1−λ,λ，BM因为BM⊄平面PCD，所以BM//平面PCD当且仅当BM⋅即−1,−λ,λ⋅1,−2,2=0所以在棱PA上存在点M使得BM//平面PCD，此时AMAP

18.解：(1)由题意可得a=30−6−4−2−2=16

，故甲类题材中“一”出现的概率为301200(2)由题意在甲类题材“新闻稿”中随机抽取2个“一”，搭配“一个”出现的概率为P=6则X∼B(2,15)，则P(X=0)=P(X=2)=C故X的分布列为：X012P1681则E(X)=2×1(3)由题意知样本语料库B中“一格”出现的概率为2800甲类题材中“一个”出现的概率为61200由于1200>1

19.(1)将点P−2,1,Q22,0坐标代入椭圆E的方程，得4a(2)若直线l的斜率不存在，即直线l为x=0时，A和M重合，B和N点重合，分别为椭圆的上下顶点0,20,−若直线l斜率存在，设直线AB的方程为y=kx+2，Ax1,y1Bx2,y2xx1+x2=−16k4k2+1由GM⋅GN=2得2y1−1x1即2k−124k2−8k+3=1，因为k>12综上所述，直线l的方程为y=x+2或x=0．

20.解：(1)f′x=1+axeax

，

f′0所以曲线

y=fx

在点

0,f0

处的切线方程为

y=x(2)f′x=1+axeax当

0<a≤1

时，

f′x≥0

在区间

−1,1

上恒成立，

fx

在区间

所以函数

fx

的最小值为

f(−1)=−e−a

，最大值为

当

a>1

时，令

f′x=0

，得

x=−

在区间

−1,−1a

上f′x<0，函数

在区间

−1a,1上，

f′x>0所以函数

fx

的最小值为

f−f(−1)=−e−a

，

f1=ea

，显然

f1>f−1

综上可知，当

0<a≤1

时，函数

fx

的最小值为

f(−1)=−e−a

，最大值为

当

a>1

时，函数

fx

的最小值为

f−1a=−1(3)当

a=1

时，

fx=xex

，即证明不等式设

gx=xex−lnx−x−1

，

设

ℎx=ex−1x

，

所以

ℎx

在

0,+∞上

单调递增，并且

ℎ12=e所以函数

ℎx

在

12,1

上存在唯一零点

x0

，使即

g′x0=0

，则在区间

0,x0

，

g′x在区间

x0,+∞

，

g′x>0

，所以

gx

的最小值为

gx由

ℎx0=ex0−1x0所以

gx0所以

gx=xex−ln

21.(1)B=T(A)A:2，6，4经过1次“T变换”得B：4，2，2，B：4，2，2，经过1次“T变换”得2，0，2；B经过第2次“T变换”得2，2，0；B经过第3次“T变换”得0，2，2.即E：0，2，2．(2)n的最大值为1①先证明n可以为1构造A：1，1，1，则T(A)：0，0，0，变换结束，此时n=1．②再证明n≤1反证法：假设n≥2设经过n−1次“T变换”后得到的数列为x,y,z，且x,y,z不全为0．因为A经过n次“T变换”后变换结束，所以x−y=y−z=z−x=0，所以设x,y,z(即t,t,t)由x1,y则x不妨设x所以x所以x1−z综上，n的最大值为1(3)因为B的各项之和为2+a+b=2022，不妨设a≤b，所以b为B的最大项即a1−a3当a1≥所以2+a=b，则a=1009,b=1011当a1≤所以2+a=b，则a=1009,b=1011定义：若一个数列有三项，且最小项为2，较大两项相差2，则称此数列与数列B“结构相同”．若数列B的三项为x+2,x,2(x≥2)，则无论其顺序如何，经过“T变换”得到的数列的三项为x,x−2,2(不考虑顺序)所以与数列B“结构相同”的数