2024春新教材高中数学第六章平面向量及其应用6.4平面向量的应用6.4.3.2正弦定理分层演练含解析新人教A版必修第二册

PAGE6.4平面对量的应用A级基础巩固1.在△ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,若2b=ccosB+bcosC,则ab=(A.1 B.2 C.3 D.4解析:依据正弦定理得到2sinB=sinCcosB+sinBcosC=sin(B+C)=sinA,进而得到2b=a,故ab=2答案:B2.在△ABC中,A,B,C所对的边分别是a,b,c,若a=3bsinA,则sinB=()A.3 B.33 C.63解析:由正弦定理,得sinA=3sinBsinA,故sinB=33答案:B3.在△ABC中,若3b=23asinB,cosA=cosC,则△ABC的形态为()A.直角三角形 B.等腰三角形C.等边三角形 D.等腰直角三角形解析:由正弦定理,知3b=23asinB可化为3sinB=23sinAsinB.因为0°<B<180°,所以sinB≠0,所以sinA=32所以A=60°或120°.因为cosA=cosC,所以A=C,所以A=60°,所以△ABC为等边三角形.答案:C4.在△ABC中,若sinA∶sinB∶sinC=5∶7∶8,则角B的大小是π3解析:设sinA=5k,sinB=7k,sinC=8k,asinA=bsinB=所以a=5km,b=7km,c=8km,所以由余弦定理,得cosB=12,所以B=π5.在△ABC中,A=60°,sinB=12,a=3,求三角形中其他边与角的大小解:由正弦定理,知asinA=即b=a·sinBsinA因为sinB=12,所以B=30°或150°因为a>b,所以A>B,所以B=30°.所以C=90°,所以c=asinCsinB级实力提升6.如图所示,正方形ABCD的边长为1,延长BA至点E,使AE=1,连接EC,ED,则sin∠CED=()A.31010 B.1010 C.解析:由题意,得EB=EA+AB=2,则在Rt△EB中,EC=EB4+1=5.在△EDC中,∠EDC=∠EDA+∠ADC=π4+π2=由正弦定理,得sin∠CEDsin∠EDC=DCEC=所以sin∠CED=55·sin∠EDC=55·sin3π4答案:B7.在△ABC中,A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知b-c=14a,2sinB=3sinC,则cosA的值为-1解析:由2sinB=3sinC及正弦定理,得2b=3c,即b=32因为b-c=14a所以12c=14a,即a由余弦定理,得cosA=b2+c2-a28.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a+c=6,b=2,cosB=79(1)求a,c的值;(2)求sin(A-B)的值.解:(1)由余弦定理,得b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac(1+cosB).因为a+c=6,b=2,cosB=79,所以ac=9由a+c=6,ac=9,解得a=3,c=3.(2)在△ABC中,因为cosB=79所以sinB=1-cos由正弦定理,得sinA=asinBb因为a=c,所以A为锐角,所以cosA=1-sin所以sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB=102C级挑战创新9.多选题在△ABC中,下列关系中肯定成立的是()A.a>bsinA B.asinB=bsinAC.a<bsinA D.a≥bsinA解析:由正弦定理asinA=bsinB,得asinB=bsinA,所以B正确.在△ABC故asinB≤a,所以a≥bsinA,故D也正确.答案:BD10.有一道解三角形的题目,因纸张破损有一个条件模糊不清,详细如下:“在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=3,B=π4,b=6或c=32+62,求角A.”经推断,破损处的条件为三角形一边的长度,且答案提示A解析:分两种状况: